Continuité en topologie symplectique

5. Si 1 et µ sont les générateurs respectifs de H0ÔNÕet HnÔNÕ, alors,
L1Õ
cÔµ, LÕ�¡cÔ1, LÕ,
où L�ØÔx,¡pÕ�Ôx, pÕÈLÙ.
6. Pour tous u, vÈH¦ÔNÕ, et toutes lagrangiennes L1 et L2,
cÔu�v, L1�L2Õ�cÔu, cÔv, L2Õ,
où L1�L2�ØÔx, p2Õ�Ôx, p1 p1ÕÈL1,Ôx, p2ÕÈL2Ù.
ξ1Õ
Remarque 1.12. L’ensemble L1�L2 n’est bien sûr en général pas une sousvariété,
mais on vérifie sans difficulté qu’il peut être décrit, au sens de la
définition 1.1, par la f.g.q.i.
S1�S2 : N¢ÔE1¢E2Õ�R,Ôx, ξ1, ξ2Õ��S1Ôx, S2Ôx, ξ2Õ,
où pour i�1, 2, Si : N¢Ei�Rest une f.g.q.i. de Li. On peut donc lui
appliquer la définition 1.9 pour obtenir des nombres cÔu, L1�L2Õ.
Remarque 1.13. Voici quelques éléments de démonstration de la proposition
1.11.
La première propriété est claire. En vertu de la remarque 1.8, la première
propriété implique l’existence des deux points d’intersection xu et xv de la
deuxième propriété. L’égalité cÔu, LÕ¡cÔv, λ résulte alors du fait que
LÕ��c sur L, la forme de Liouville n’est autre que dS.
La troisième propriété résulte de la théorie de Lusternik-Schnirelmann et
en particulier du corollaire C.11, prouvé en annexe.
La quatrième propriété repose sur le lemme de Sard, d’après lequel l’ensemble
des valeurs critiques des fonctions génératrices est totalement discontinu
et sur un argument de continuité.
Nous renvoyons le lecteur à [57], pour la démonstration complète.
Remarque 1.14. Notons que l’énoncé suivant résulte de la troisième propriété
de la proposition 1.11.
Pour toute lagrangienne LÈLÔT¦NÕ, le nombre de points d’intersection
de L avec la section nulle 0N est au moins clÔNÕ 1, où clÔNÕest le plus
grand entier tel qu’il existe uiÈH¦ÔNÕ¡H 0ÔNÕ, iÈØ1, . . .,kÙ, pour lesquels
u1�. . .�uk�0.
Ce théorème est dû à Hofer [24]. Il est à comparer avec la remarque C.10
qui se trouve en annexe.
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