Continuité en topologie symplectique

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L’obstacle que nous rencontrons pour prouver cette conjecture provient du défaut de régularité extérieure de l’invariant ξ (voir la section 2.2.2). En revanche, avec quelques hypothèses supplémentaires, une preuve devient possible. Théorème 2.7. La conjecture 2.6 est vraie si l’une des deux hypothèses suivantes est vérifiée. 1. Il existe une suite de voisinagesÔUkÕde K, telle que ξ Hk cÔUkÕconverge vers 0, lorsque k et k tendent vers l’infini. 2. La limite presque partout deÔHkÕest un hamiltonien lisse. Sous cette deuxième hypothèse,ÔHkÕconverge pour ˜γu et γu vers sa limite presque partout. Si de plus ξeÔKÕ�0,ÔHkÕconverge aussi pour ˆγ et ˇγ. Nous démontrerons ce théorème dans la section 2.2.4. Par ailleurs, nous verrons dans la section 2.2.5 que l’on ne peut pas remplacer l’hypothèse ξÔKÕ�0 par l’hypothèse plus faible cÔKÕ�0. On peut généraliser le point 2 du théorème 2.7 aux cas où la fonction limite admet certains types de discontinuités. Pour cela, introduisons la définition suivante. Définition 2.8. On note F l’ensemble des fonctions H : R¢R 2n�R� R�Ø¡�, �Ùqui vérifient les trois conditions suivantes. 1. L’ensemble des points à l’infini, ne dépend pas du temps t et est d’énergie de déplacement nulle : eÔØx�HÔt, xÕÈØ¨�ÙÙÕ�0. 2. H s’annule à l’infini : ε�0,�r,Ô�x��r�Ôt,�HÔt, xÕ��εÕÕ. 3. H est continue sur R¢R 2n R¢ , à valeurs dans R. Les fonctions de F peuvent donc être vues comme des fonctions sur R2n , continues sauf sur un ensemble de capacité nulle, en les points duquel elles tendent vers l’infini. Nous donnerons la démonstration du théorème suivant à la partie 2.2.6. Théorème 2.9. Soit H un élément de F. Il existe alors un unique élément de�Ham, représenté par toute suiteÔHkÕ, convergeant vers H uniformément sur les compacts deÔR¢R 2nÕ¡H¡1ÔØ¨�ÙÕ. L’application qui, à H, associe cet élément, définit une application ι : F��Ham, dont la restriction aux éléments lisses hors des discontinuités est injective. De plus, l’image de ι est incluse dans Ham, et même dansÞHam et�Ham. 42
H R 2 � ¡� Fig. 2.1 – Représentation graphique d’un élément H de F, sur R2 . L’ensemble des points de discontinuité, qui est bien de capacité nulle, est tracé en gras. Remarque 2.10. L’ensemble des points de discontinuité d’un élément lisse et indépendant du temps de F est "stable". Il admet en effet des voisinages invariants par le champ hamiltonien. C’est grâce à cette remarque que l’on peut considérer des fonctions ayant un ensemble de discontinuité plus grand que ce que prévoit la conjecture : e�0 au lieu de ξ�0. 2.2.2 L’invariant ξ Proposition 2.11. On a les propriétés suivantes : 1. V1�V2�ξÔV1Õ�ξÔV2Õ; 2. ξÔφÔVÕÕ�ξÔVÕpour tout difféomorphisme hamiltonien φÈHcÔR2nÕ; 3. ξÔλVÕ�λ 2ξÔVÕpour tout réel λ�0. Démonstration — Ces propriétés résultent de manière immédiate des propriétés analogues vérifiées par les capacités c et e. Pour la troisième, il faut aussi remarquer que λφ t HÔUÕ�φ t HÔλ¡1¤ÕÔλUÕ. 43
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