Continuité en topologie symplectique

Introduction
De la mécanique classique à la topologie symplectique
Comme de nombreux domaines des mathématiques, la topologie symplectique
tire ses origines de la physique, et plus précisément de la mécanique
classique.
La mécanique hamiltonienne est issue des travaux de Lagrange à la fin du
18 e siècle, et de Hamilton au début du 19 e siècle. Il s’agit d’une reformulation
des équations établies par Newton au 17 e siècle. Les équations du mouvement
y sont écrites dans un espace des phases à 2n dimensions, ayant pour coordonnéesÔq,
pÕ, où q�Ôq1, . . .,qnÕrepère la position, et p�Ôp1, . . .,pnÕla
quantité de mouvement. La dynamique est ainsi décrite par les Équations de
Hamilton : ��p�¡�H �q
�q��H �p
où H est une fonction, dite hamiltonienne, définie sur l’espace des phases.
Par exemple, le mouvement d’un point matériel dans un champ de potentiel
VÔqÕ, que la mécanique newtonienne décrivait par l’équation bien connue
m�q�¡∇VÔqÕ,
satisfait, si l’on pose p��q, aux équations de Hamilton pour la fonction
hamiltonienne HÔq, VÔqÕ. Celle-ci représente alors l’énergie
pÕ�1 2m�p�2
totale, somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle.
Les équations de Hamilton déterminent un mouvement du système étudié,
c’est-à-dire une transformation de l’espace des phases. Lorsque ce dernier
est de dimension 2, il est facile de voir que cette transformation préserve
l’aire orientée. En dimension quelconque, on a une propriété analogue, qui
s’exprime en termes mathématiques par : le flot engendré par les équations
de Hamilton préserve la forme différentielle ω0��n i�1 dpi�dqi.
La forme ω0 donne une structure symplectique à l’espace des phases, qui
sera ainsi, en général, une variété symplectique, c’est-à-dire une variété munie
d’une 2-forme différentielle localement équivalente à ω0. Pour bien comprendre
la dynamique hamiltonienne, il est utile d’étudier d’une part les
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