Continuité en topologie symplectique

est une distance sur HcÔUÕ.
Elle est de plus bi-invariante : pour tous φ, ψ, χÈHcÔUÕ,
γÔχφ, χψÕ�γÔφχ, ψχÕ�γÔφ, ψÕ.
Elle est appelée distance de Viterbo.
Les exemples où l’on sait calculer explicitement la distance de Viterbo, sont
assez rares. On sait cependant la décrire dans un voisinage C 1 de l’identité
(cf. proposition 1.37). En général, on la calcule en commençant par dresser la
liste des valeurs critiques de la fonctionnelle d’action. Lorsque c’est possible,
on exclut de la liste certaines valeurs, rendues impossibles par les propriétés
connues de c ou c¡. Dans les bons cas, il ne reste que deux valeurs possibles,
qui sont précisément celles que prennent c et c¡.
Remarque 1.23. La distance de Viterbo n’est définie que sur le groupe
hamiltonien de R2n . Cependant, sur certaines variétés symplectiques plus
générales, on peut construire une distance tout à fait analogue, en remplaçant
la théorie de Morse sur les fonctions génératrices par la théorie de Floer.
M. Schwarz a construit une telle distance sur les variétés symplectiquement
asphériques, c’est-à-dire telles queÜω, π2ÔMÕÝ�0 (cf. [48]).
Une variante
Nous allons introduire dans la suite quelques variantes possibles de la
distance de Viterbo. Une motivation pour les introduire est par exemple de
formuler plus simplement notre résultat sur l’équation d’Hamilton-Jacobi,
présenté dans la partie 3. Voici une première variante.
Définition 1.24 (Cardin-Viterbo [8]). Pour tous difféomorphismes hamiltoniens
φ et ψ à supports compacts contenus dans un ouvert U de R 2n , on
pose
˜γÔφ, ψÕ�supØγÔφÔLÕ, ψÔLÕÕ�LÈLÔR 2nÕÙ.
L’application ˜γ : HcÔUÕ¢HcÔUÕ�Rainsi définie est une distance sur
HcÔUÕ.
La non-dégénérescence et l’inégalité triangulaire vérifiées par ˜γ résultent
du fait que la distance de Viterbo sur les lagrangiennes (proposition 1.18)
vérifie ces mêmes propriétés. Nous prouverons dans la partie 1.2.5 que cette
nouvelle distance est plus petite que la distance de Viterbo γ.
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