Continuité en topologie symplectique

Notre résultat principal est un critère de convergence. Nous définissons un
invariant ξÔKÕ, associé à toute partie K de R 2n . Celui-ci est construit à partir
d’une capacité symplectique (mais n’en est pas une), et donne une nouvelle
notion de "taille" pour un ensemble de R 2n . Par exemple, les sous-variétés
fermées de R 2n de dimension au plus n¡2 ont un ξ nul, les ouverts ont un
ξ infini. Nous conjecturons l’énoncé suivant :
Soit K un compact vérifiant ξÔKÕ�0. Alors, toute suite d’hamiltoniens
lisses qui converge uniformément sur tout compact de R 2n¡K, converge
dans Ham, et la suite des difféomorphismes hamiltoniens qu’ils engendrent,
converge dans H.
Nous prouvons cette conjecture dans un cadre assez général (théorème
2.7). Par conséquent, il devient possible de représenter une large classe d’éléments
de Ham par des fonctions hamiltoniennes discontinues. Nous prouvons
R�Ø¡�, �Ùvérifiant les trois conditions :
1. l’ensemble des points à l’infini, ne dépend pas du temps t et est de
capacité nulle,
ainsi (théorème 2.9) que Ham contient toute fonction H : R¢R 2n�R�
2. H converge vers 0 à l’infini,
3. H est continue sur R¢R 2n , à valeurs dans R.
Notre étude des espaces complétés se poursuit dans le but de comprendre
de manière aussi concrète que possible leurs éléments. En premier lieu, nous
montrons qu’il est possible de définir, de deux manières différentes, une notion
de support pour les éléments de H et Ham, qui coïncide avec la notion
usuelle pour les objets continus. Nous suggérons ensuite différentes approches
pour définir l’image d’un ouvert par un élément de H. Nous introduisons une
notion de système intégrable généralisé, et conjecturons que ceux-ci sont tous
représentés par des fonctions hamiltoniennes continues. Enfin, nous proposons
des approches aux deux problèmes ouverts suivants :
1. quels sont les compacts de H et Ham?
2. peut-on représenter tous les éléments de H par des applications mesurables?
Tous les résultats de ce paragraphe sont vrais pour certaines variantes de la
distance de Viterbo, définies dans ce mémoire (définitions 1.24, 1.25 et 1.26).
Enfin, mentionnons que bien que nous ayons développé notre théorie dans le
cadre de R 2n , des résultats analogues pourraient probablement être obtenus
sur toute variété symplectiquement asphérique, en remplaçant la distance de
Viterbo par celle définie par M. Schwarz sur de telles variétés [48].
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