Continuité en topologie symplectique

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Rd k¢E�R une f.g.q.i. de L. Alors la fonction SX�S�ÔRd¢Øx0ÙÕ¢E est une f.g.q.i. pour LX. De plus, les fonctions S et SX s’étendent en des fonctions ˆS : Sd k¢E�RetÜSX : Sd¢Øx0Ù¢E�Rqui sont des f.g.q.i. de ˆ L etÜLX. CommeÜSX est une restriction de ˆ H¦ÔSdÕ ,ÜSX¡�Õ S, on a une inclusion des sous-niveaux λ�ˆ λ ÜSX Sλ . Celle-ci induit iλ : H¦Ôˆ λ S , ˆ ,ÜSX¡�Õ. La naturalité S¡�Õ�H¦ÔÜSX de l’isomorphisme de Thom et le fait que les différentes inclusions commutent rendent le diagramme kÕ suivant commutatif. T λ ��H¦ÔÜSX�,ÜSX¡�Õj¦X,λ ��H¦ÔÜSX ��H¦Ôˆ T S�, H¦ÔSd ˆ S¡�Õ S¡�Õ ��H¦Ôˆ j¦λ λ S , ˆ Supposons maintenant que j¦X,λ¥TÔ1Õ�0. Alors, iλ¥j¦λ¥TÔ1Õ�j¦X,λ¥ T¥i¦Ô1Õ�j¦X,λ¥TÔ1Õ�0, donc j¦λ¥TÔ1Õ�0. Ceci prouve l’inégalité cÔ1,ÜLXÕ�cÔ1, ˆ LÕ. Dans le cas de LY , nous allons prouver qu’il existe aussi une f.g.q.i. dont les sous-niveaux se plongent dans ceux de la f.g.q.i. associée à L. On conclura ensuite en étudiant le diagramme commutatif analogue au cas de LX. Commençons par considérer la fonction T : Rd¢ÔRk¢EÕ�R,Ôv; ξÕ�� x, SÔv, x; ξÕ—la variable base x devient une variable fibre. La fonction T est une fonction génératrice pour LY . En revanche, elle coïncide à l’infini avec une forme quadratique Q sur E qui, vue comme une forme quadratique sur Rk¢E est dégénérée. Soient K un compact de Rd¢ÔRk¢EÕen dehors duquel T coïncide avec Q, et q une forme quadratique non-dégénérée et définie négative sur Rk . On peut alors choisir une fonction f : Rd¢ÔRk¢EÕ�Rlisse, ξÕ nulle sur un voisinage de K, négative, coïncidant avec qÔxÕhors d’un compact (plus grand que K bien sûr!) et telle que la fonctionÔv, x, ξÕ��fÔv, x, QÔξÕadmette 0 pour unique valeur critique. On pose maintenant SY�T f. Par construction, SY est une f.g.q.i. de LY . Après compactification, on obtient deux fonctions ˆ S etÜSY , respectivement f.g.q.i. de ˆ L etÜLY . Si l’on regarde les sous-niveaux de ces fonctions, on voit que T λ�S λ donc comme f est négative, on a un plongement Sλ Y��S λ . Comme les niveaux sont compacts, cela nous donne un plongement λ��ˆ ÜSY λ S , et l’on conclut comme dans le cas de LX. Enfin, cÔµ,ÜLXÕ�cÔµ, ˆ LÕ�cÔµ,ÜLYÕs’obtient de cÔ1,ÜLXÕ�cÔ1, ˆ Ð LX� LÕ� cÔ1,ÜLYÕpar dualité (proposition 1.11, propriété 5), en remarquant que LX et LY�LY . 32 i¦íï íïi� íïiλ
Lemme 1.46. Soit W un sous-espace vectoriel coisotrope de R2n . Notons N la section nulle R2n�T¦R n . Alors, il existe une décomposition en somme directe d’espaces isotropes R2n�N1�V1�N2�V2�N3�V3, N� où N1�N2�N3 et chaque Ni�Vi, i�1, 2, 3 forme un sous-espace vectoriel symplectique, tel que W�N1�V1�N2�V3. Démonstration — Rappelons d’abord que si W est coisotrope, d’orthogonal symplectique W ω�W, tout sous-espace F tel que F�W ω�W ω�W� est symplectique. En effet, comme F�W, F�F ω�F�F F�ÔF�W ωÕω�F�W ω�Ø0Ù. S’il existe une décomposition comme dans l’énoncé du lemme 1.46, alors W ω�N2�V3. Posons donc N2�W ω�N. Ensuite, on définit N1 comme un supplémentaire de N2 dans W�N, et F1 comme un supplémentaire de W ω dans W, contenant N1. Par la remarque ci-dessus, F1 est symplectique, et l’on peut choisir V1 parmi les supplémentaires lagrangiens de N1 dans F1. A présent, définissons V3 comme un supplémentaire de N2 dans W ω . Comme W�N�N1�N2, V3�N�0, et on peut définir N3 comme un supplémentaire de N1�N2 dans N. Alors, F3�N3�V3 est symplectique car c’est un supplémentaire deÔN1�N2�F3Õω dans N1�N2�F3. Enfin, on définit F2 comme étant un supplémentaire de F1�F3 dans R 2n , contenant N2. Alors, F2 est symplectique pour une raison similaire à F3, et l’on peut choisir V2 parmi les lagrangiens supplémentaires à N2 dans F2. La décomposition R 2n�N1�V1�N2�V2�N3�V3 satisfait à toutes les hypothèses du lemme 1.46. Ð Démonstration de la proposition 1.44 — Comme le groupe linéaire symplectique agit transitivement sur l’ensemble des paires de sous-espaces lagrangiens supplémentaires (voir proposition 7.4 du chapitre 1 de [36]), et comme l’espace des sous-espaces lagrangiens supplémentaires à un lagrangien donné est connexe par arc, il existe une isotopie symplectique Ψt de R2n telle que Ψ0�Id, et telle que Ψ1 laisse tous les éléments de N invariants et applique V sur V1�V2�V3. Comme R2n est simplement connexe, cette isotopie est hamiltonienne. La réduction de L par W s’identifie avec la réduction de Ψ1ÔLÕpar Ψ1ÔWÕ. cÔµ,ÝLWÕ� Par conséquent, en appliquant deux fois le lemme 1.45, on obtient cÔµ,ßΨ 1ÔLÕÕet cÔ1,ÝLWÕ�cÔ1,ßΨ 1ÔLÕÕ. Cependant, par la proposition 1.11, on a pour toute classe de cohomologie u, cÔu, ˆ LÕ�cÔu,ßΨ 1ÔLÕÕ. Ð Ceci conclut donc notre démonstration. 33
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¯ �ôρnÔadÔgÕj fÕs j�N j
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