TH`ESE ´Etude des Orbites Nilpotentes par l'Application de Springer ...

Chapitre 1
Généralités
1.1 Préliminaires
Ce chapitre présente des rappels sur les groupes algébriques et les algèbres de Lie [Bou81, Spr98].
un corps algébriquement clos. Notons par
Soit
sur . Soit un idéal de . Posons
£ ©
¦¦
l’algèbre des polynômes à indéterminées
¦ £ ©
de sorte que £ © est l’ensemble des zéros communs à tous les polynômes de . On dit que £ © est l’ensemble
algébrique affine défini par . Les ensembles algébriques affines sont les fermés d’une topologie sur
, appelée topologie de Zariski.
Soit une partie de . Notons par
£ ©
¦ £ ©
£ © alors est l’idéal des polynômes qui s’annulent
sur . La restriction sur des polynômes de forme
une -algèbre qui est isomorphe
¢¢ £ © à .
Alors est une -algèbre réduite de type fini, appelée
l’algèbre affine de X . En munissant de la topologie induite de Zariski, on dira que est irréductible si
n’est pas l’union de deux fermés propres. Alors, cette définition est équivalente au fait que £ © l’idéal
est
premier ou encore que l’anneau est intègre.
à valeurs dans est dite régulière au point x s’il existe ¦
Soit un ensemble algébrique affine et soit
. Une fonction définie dans un voisinage de
dans
de
et
et un voisinage ouvert
sur lequel ne s’annule pas et tels £ © £ ©¤£ © que pour tout . Si
est un ouvert de
si est régulière en tout point de , alors on dira que est régulière sur . Notons £© par la -algèbre
des fonctions régulières sur . Alors, on obtient les deux propriétés suivantes:
(A) Si
, la restriction définit un morphisme d’algèbres
sont deux ouverts non vides
de
© £ © £
(B) Soit
¢ un recouvrement d’ouverts de . Supposons
que pour tout , on a
une
£©
fonction
telle que si
n’est pas vide, les restrictions de et à donnent
une £
© même fonction de . Alors il
£©
existe une fonction dont
la restriction
à
est ,
pour tout .
L’application qui à tout ouvert de
associe £©
la -algèbre , est appelée le faisceau structural
des fonctions sur
. La paire £ © est appelée une variété algébrique affine sur . On appelle une
¦
prévariété sur la donnée
d’une paire £ © telle que, ¦
soit un
espace topologique quasi-compact,
soit un faisceau d’anneaux sur
, et tout point de possède un voisinage tel que la paire £¦ © soit
isomorphe à une variété algébrique affine sur , un tel voisinage sera qualifié d’affine. Soient et
deux ensembles algébriques affines, alors l’espace § produit
sur , son algèbre affine est donnée par le produit
tensoriel .
Soit à présent une prévariété sur . Notons par la diagonale de l’espace produit
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est un ensemble algébrique affine
. On munit alors