TH`ESE ´Etude des Orbites Nilpotentes par l'Application de Springer ...

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4.3. – La représentation d’opérateurs sur – 37 Proposition 4.3.7 ([BB82] p. 448). Dans ¢¡¤£ ¦ ¨© , l’application moment est toujours birationnelle et son image, qui est l’adhérence de l’orbite de Richardson associée, est une variété normale.
Chapitre 5 Les orbites nilpotentes dans ¤ En 1970, dans un article célèbre [Bri70], E. Brieskorn a mis en évidence une relation, initialement conjecturée par A. Grothendieck, entre les points doubles rationnels de surfaces (qui sont aussi appelées des singularités simples de surfaces) et celle des algèbres de Lie simples complexes. Son résultat est le suivant. Soit un groupe algébrique simple de ¦ ¦ ¦ ¦ type d’algèbre de Lie Soit . la variété des éléments nilpotents de . La variété est l’adhérence de l’orbite nilpotente régulière. Il y a une unique orbite nilpotente de codimension 2 dans ( vérifiant est appelée l’orbite nilpotente sous-régulière), (cf. p. 20). Soit dans en un élément une section transverse à l’orbite simple de même type que . Quelques années plus tard, H. Esnault [Esn76] obtient le même résultat par une approche géométrique qui consiste à passer par la résolution de la variété des éléments nilpotents de l’algèbre de §§ £ © Lie, , où est un sous-groupe de Borel de , cette résolution ayant été obtenue par T.A. Springer, (cf. proposition 3.4.4, [Spr69]). Win H. Hesselink, ensuite H. Kraft et C. Procesi obtiennent une généralisation de ce résultat ¡¤£ ¦ ¨© dans [Hes76b, KP81], ils montrent en particulier que si sont deux orbites nilpotentes dans ©¥ , et une section transverse à l’orbite dans ¦ ¨© au point ¡¤£ ¡¤£ ¦ ¨© avec £ le germe £ . Alors £ ¦ © est un germe de surface normale à singularité , alors © est “smoothly equivalent” à un germe de surface de type ; deux germes de variété ¦ , et £¦© sont dit smoothly equivalent s’il existe un germe de variété £ ¦© et deux morphismes £¦© £ ¦© £¦© , £ ¦© £¦© tels que £ © , £ © et , sont lisses au point . Nous proposons ici de faire une étude géométrique de l’application de Springer généralisée, (cf. remarque 3.4.5 i)): £ © où est un sous-groupe parabolique d’un groupe algébrique semi-simple complexe, d’algèbre de Lie et est l’orbite de Richardson associée à , (cf. proposition 4.3.7). Nous verrons l’analogie entre l’étude des fibres d’une telle application et celle de la trace des orbites sur le radical nilpotent de , (cf. p. 39). Dans un premier temps, on obtiendra un résultat sur la dimension des fibres de , (cf. théorème 5.1.1) qui généralise en partie celui de R. Steinberg, [Ste74, Ste76], ce dernier résultat va nous permettre de donner la description de certaines composantes irréductibles des fibres de (cf. proposition 5.1.3). Ensuite, on s’intéressera au cas où SL £ ¦ ¨© ; on va donner une description de la trace de sur le radical nilpotent de (cf. théorème 5.2.3), ceci va nous permettre de donner une description explicite de l’adhérence de la trace de toute orbite adjacente à (cf. théorème 5.2.6), et on fera une description géométrique des fibres de au dessus de tout élément appartenant à une telle orbite (cf. théorème 5.2.8). Enfin, en adoptant le travail de H. Esnault, on retrouvera le résultat de Hesselink-Kraft-Procesi (cf. théorème 5.3.5). 5.1 Étude générale Plaçons nous sous les hypothèses et notations (H-N) de la page 19. L’action naturelle à gauche de sur P , induit une action hamiltonienne sur son fibré £ © cotangent , (cf. théorème 4.2.2), on 38
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