TH`ESE ´Etude des Orbites Nilpotentes par l'Application de Springer ...

1.5. – Système de racines – 15
sous-algèbre de Cartan ; en particulier si
, alors on
a
, par conséquent on a:
£ ©
£ © £ © pour tout
avec
¡
Montrons que le centralisateur de dans est exactement . Puisque est un tore, on peut alors faire
une diagonalisation simultanée de son centralisateur par rapport aux éléments de ; mais on vient de voir
que ce dernier est contenu dans , on peut affirmer que le centralisateur de dans est somme directe
de et de certaines droites . Si est dans ce centralisateur, alors il en est de § même de . Soit
une racine £
¢© positive telle que ; on
peut ¦
écrire avec et
£
.
¢© Puisque , on en déduit £
©
que . Mais on vient de voir que est exactement constitué
des éléments de sur lesquels les racines de s’annulent, par conséquent ce qui démontre notre
résultat. Nous pouvons remarquer § que l’espace quotient est une algèbre de Lie réductive (cf. théorème
1.3.6) qui est isomorphe à ¡ ; on peut également voir d’une autre façon que ¡ est réductive, c’est
¡
parce que
est le centralisateur du tore , [Bor91, p. 175]. De manière générale, on appelle sous-algèbre de Levi de
, tout centralisateur dans d’un tore.
Présentons à présent quelques propriétés concernant les sous-algèbres paraboliques:
Proposition 1.5.7 ([Hum72], p. 88).
i) Toute sous-algèbre parabolique standard s’obtient de la manière ci-dessus; c’est à dire qu’il existe
une partie de racines simples telle que si on note par le sous-système de racines engendré
par , on a alors ¡ ¢ , où ¡
algèbre de Lie réductive ¢
¢¥
et
¢ est le radical de ;
est la composante de Levi qui est une sous-
¢
est le radical nilpotent de ; de plus si
la composante de Levi, alors
ii) Toute sous-algèbre parabolique est conjuguée sous l’action adjointe de à l’une des sous-algèbres
paraboliques standards, et chaque classe de conjugaison de sous-algèbre parabolique a un unique
représentant standard; de plus toute sous-algèbre parabolique est égale à son normalisateur dans .
iii) Soit une sous-algèbre parabolique de . Alors l’ensemble des conjugués de sous l’action de
recouvre .
est le centre de
Du point de vue du groupe à présent. On appelle un sous-groupe de Borel (resp. parabolique) tout
sous-groupe fermé de dont l’algèbre de Lie est une sous-algèbre de Borel (resp. parabolique) de . Remarquons
au passage que l’on n’a pas besoin de demander à un tel sous-groupe d’être connexe car c’est une
propriété qui est automatiquement vérifiée, résultat dû à C. Chevalley, [Bor91, p.154]. De plus, dire que le
sous-groupe fermé est un sous-groupe parabolique revient exactement à voir que l’espace quotient
est une variété complète, [Bor91, p. 148].
Notons par G le groupe algébrique qui est le corps des nombres complexes muni de l’opération d’addi-
tion. Soit le sous-groupe fermé connexe de dont l’algèbre de Lie est la sous-algèbre de Cartan . Le
normalisateur de dans £
© , noté , est le même que le normalisateur de dans ; de plus est égal
à son centralisateur [Bor91, p. 175], et coïncide avec la composante neutre de son normalisateur, [Bor91,
p. 162]; alors le quotient
sur ; en particulier, il agit sur le système de racines et est identifié au groupe de Weyl , [Spr98, p. 132].
Pour chaque
racine , il existe un isomorphisme G de sur un unique sous-groupe fermé de
£ © est un groupe fini (cf. proposition 1.2.4 © ) qui agit aussi bien sur que
d’algèbre de Lie qui est donnée par le sous-ensemble de racines simple . Pour tout élément
normalisé par tel £© que , [Spr98, p. 132]. Soit un sous-groupe parabolique standard
,
fixons un représentant de £
© dans . Notons £ © par le sous-ensemble de racines, défini de la
manière suivante:
¦ £ ©
Soit le sous-groupe algébrique de engendré par les sous-groupes , avec
£ ©
est un sous-groupe du radical unipotent du sous-groupe de Borel standard .
Alors on a le résultat suivant, (cf. [Spr98, p. 145], [BT65, p. 100]):
£ © ; notons que