TH`ESE ´Etude des Orbites Nilpotentes par l'Application de Springer ...
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4.2. – Approche symplectique – 33<br />
¦ <br />
<br />
©<br />
<br />
£<br />
© £ <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
£ © <br />
l’application , son application tangente à l’élément neutre est une application linéaire<br />
<strong>de</strong> noyau , le centralisateur <strong>de</strong> dans ; la transposée <strong>de</strong> cette application linéaire est une<br />
application d’image . En faisant varier dans <br />
£ <br />
© <br />
<br />
£<br />
<br />
© <br />
on obtient alors<br />
une application , et en composant cette <strong>de</strong>rnière application avec la projection suivant la<br />
<strong>de</strong>uxième coordonnée on obtient alors . Alors on a:<br />
4.2 Approche symplectique<br />
£ £ ©© § <br />
Ici on va voir que le morphisme peut ap<strong>par</strong>aître naturellement d’une autre façon. Mais au<strong>par</strong>avant<br />
nous avons besoin d’introduire quelques définitions. Soit £ ¦© , une variété algébrique complexe lisse,<br />
<br />
£ ¦ <br />
© . On dira que la paire £ ¦© est une variété symplectique si est<br />
<br />
munie d’une 2-forme, <br />
une 2-forme complexe fermée, non-dégénérée.<br />
Soit un groupe algébrique affine complexe, agissant sur <br />
<br />
. Alors on peut visualiser £ ©<br />
comme un sous-groupe <strong><strong>de</strong>s</strong> automorphismes <strong>de</strong> <br />
. On dira que c’est une action symplectique si <strong>de</strong> plus la<br />
2-forme est préservée <strong>par</strong> pull-back <strong>de</strong> tout automorphisme <strong>de</strong> <br />
<br />
<br />
issu <strong>de</strong> .<br />
Pour tout , notons <strong>par</strong> le champ fondamental défini sur <br />
associé à <br />
, [LM87, p. 421]. Soit<br />
hamiltonien si la 1-forme £ © est fermée, c’est à dire qu’il existe une fonction régulière <br />
<br />
sur <br />
telle<br />
que £ © <br />
<br />
. On dira que l’action symplectique <strong>de</strong> sur <br />
est hamiltonienne si tous les champs<br />
fondamentaux sont hamiltoniens. A cette action hamiltonienne <strong>de</strong> sur <br />
, on peut associer une certaine<br />
application <br />
© appelée l’application moment, définie <strong>de</strong> la manière suivante:<br />
£<br />
<br />
© le produit intérieur <strong>de</strong> £ <strong>par</strong> le champ fondamental . On dit que le champ fondamental est <br />
<br />
<br />
¦<br />
<br />
<br />
<br />
où ¦ est le crochet <strong>de</strong> dualité entre et . Par un calcul rapi<strong>de</strong> on peut voir que l’élément <br />
£ £ © ©¦<br />
<br />
<br />
<br />
£ ©<br />
<strong>de</strong> est invariant sous l’action <strong>de</strong> , ce qui est logique car l’algèbre <strong>de</strong> Lie est i<strong>de</strong>ntifiée à l’espace<br />
<br />
<strong><strong>de</strong>s</strong><br />
<br />
champs <strong>de</strong> vecteurs invariants à gauche il en va <strong>de</strong> même <strong>de</strong> qui est i<strong>de</strong>ntifié à l’espace <strong><strong>de</strong>s</strong> -formes<br />
différentielles invariantes à gauche. De plus, l’application <br />
est un -morphisme.<br />
. Cherchons à déterminer l’image <strong>de</strong> la tangente <strong>de</strong> l’application moment au point :<br />
Soit un point <strong>de</strong> <br />
<br />
Par un résultat d’algèbre linéaire, on £ <br />
<br />
<br />
trouve que<br />
Par i<strong>de</strong>ntification <strong>de</strong> avec , pour tout élément <br />
et <strong>par</strong> définition même, on obtient les i<strong>de</strong>ntités suivantes:<br />
d’où<br />
Par conséquent on obtient:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
© £<br />
¦ <br />
©£¢£ <br />
<br />
les expressions suivantes ont un sens:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
¦ £©¦<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Mais comme est un élément <strong>de</strong> , <br />
<br />
alors<br />
De plus, <strong>par</strong> définition <strong>de</strong> la transposition on a:<br />
<br />
£ <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
©<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
, et on a :<br />
<br />
<br />
<br />
£©<br />
£ £ ©©<br />
¦ <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
©© . Décrivons le terme à droite.
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