TH`ESE ´Etude des Orbites Nilpotentes par l'Application de Springer ...

– Introduction – 3
Win H. Hesselink, G. Kempf, H. Kraft, C. Procesi, P. Slodowy, se sont alors intéressés dans les années
70 en étudiant soit à la géométrie des orbites nilpotentes soit à la résolution de Springer; Win H. Hesselink,
ensuite H. Kraft et C. Procesi arrivent en outre à déterminer les singularités qui apparaissent entre deux
strates “adjacentes” plus profondes de la variété , [Hes76b, KP79, KP81]; la première conjecture de
Grothendieck concernait les strates régulière et sous-régulière. Ils parviennent à déterminer ces germes à
smoothly equivalence près: deux germes de variété £¦© , et £¦© sont dit smoothly equivalent s’il existe
un germe de variété £ ¦© et deux £ ¦© £¦© morphismes £ ¦© £¦© , tels que
£ © , £ © et , sont lisses au point .
De plus, ils constatent que la résolution de Springer provient d’une construction plus générale: soit est un
sous-groupe parabolique de d’algèbre de Lie . Notons par l’orbite de Richardson associée à , (cf.
théorème 3.3.1). Alors l’application de Springer généralisée £ © associée a pour image
et est un revêtement ramifié de degré fini au dessus de , (cf. remarque 3.3.2). La résolution de Springer
est le cas particulier où est un sous-groupe de Borel de . L’inconvénient avec cette famille d’applications,
c’est qu’on ne peut étudier qu’une catégorie particulière d’orbites nilpotentes, néanmoins elles suffisent
dans l’étude de ¢¡¤£ ¦ ¨© , car toutes les orbites nilpotentes sont de Richardson. Une construction analogue
est alors réalisée par B. Kostant et W.M. McGovern afin d’obtenir une désingularisation de l’adhérence
de n’importe quelle orbite nilpotente, (cf. théorème 3.4.1); cette même construction permet de dégager
certaines propriétés attachées aux orbites nilpotentes; par exemple, elle permet à W.M. McGovern, V. Hinich
et D.I. Panyushev de démontrer que les singularités qui apparaissent dans la normalisation de l’adhérence
de toute orbite nilpotente, sont rationnelles, [McG89, Hin91a, Pan91].
C’est N. Spaltenstein qui réalise le plus grand travail concernant l’étude des fibres des applications
de Springer généralisées, son approche est fortement combinatoire, [Spa76, Spa77, Spa82]. Il montre que
les composantes irréductibles de la fibre de la résolution de Springer au dessus d’un élément nilpotent
ont toutes la même dimension égale à ££ ©© où est le stabilisateur de
dans et
le rang de , [Spa77]. Le grand avantage lorsque le groupe algébrique est GL £ ¦ (où est un corps ©
algébriquement clos) est d’avoir une autre description des fibres de la résolution de Springer: elle permet
à N. Spaltenstein d’établir une bijection entre les composantes irréductibles des drapeaux complets de
fixés par un endomorphisme nilpotent
et les tableaux de Young standards associés au diagramme de
Young de
, [Spa76].
Mais actuellement aucune étude globale vers une description géométrique n’a pu être réalisée pour
décrire les fibres de la résolution de Springer, à ce jour la fibre de Springer au dessus d’un élément nilpotent
est connue que dans les cas suivants: si
est régulier alors elle est réduite à un point, si
est sous-régulier
alors elle est une union de droites projectives décrites par le diagramme de Dynkin de , [Ste74, théorème
2 p. 153], si la dimension de la fibre est égale à 2 alors c’est une union de et de surfaces d’Hirze-
bruch, [Lor85, Lor86], si
est dans l’orbite nilpotente minimale (c’est l’orbite nilpotente non-triviale qui
est contenue dans l’adhérence de toute autre orbite nilpotente non-nulle, [CM93, p. 61]) alors elle est une
union de variétés isomorphes à des variétés de Schubert [DG84], enfin si alors on trouve trivialement
où est un sous-groupe de Borel de .
Dans le chapitre 1, on fait un survol rapide de la théorie des groupes algébriques et des algèbres de
Lie en s’attardant plus particulièrement sur les propriétés attachées au système de racines d’une algèbre de
Lie, car c’est l’outil incontournable que l’on sera amené à utiliser dans les deux derniers chapitres.
Dans le chapitre 2, on fait un rappel sur les propriétés des orbites nilpotentes et des deux classifications
classiques des orbites nilpotentes qui sont celle de Dynkin et celle de Bala-Carter.
Dans le chapitre 3, on rappelle comment la théorie des fibrés principaux intervient dans la réalisation
des applications de Springer généralisées et des résolutions des adhérences des orbites nilpotentes, on
redonne les démonstrations classiques des constructions de ces applications et on apporte une preuve
différente en ce qui concerne la résolution de Springer.
Dans le chapitre 4, on donne une mince perspective des nouvelles directions de recherche dans l’étude
des orbites nilpotentes; notamment, l’approche symplectique a été développée dans les années 80 et semble
être de nos jours la voie adoptée par la plupart des chercheurs.
Dans le chapitre 5, on fait une étude des orbites nilpotentes en étudiant plus spécialement les applications
de Springer généralisées ; on obtient un résultat sur la dimension des fibres de ces applications, (cf.
théorème 5.1.1), qui constitue une généralisation de ce qui a été effectué par R. Steinberg pour la résolution