TH`ESE ´Etude des Orbites Nilpotentes par l'Application de Springer ...

1.5. – Système de racines – 13
Avec l’isomorphisme donné par la forme de Killing on peut avoir la même vision sur l’algèbre de Cartan
: la famille de vecteurs , vérifiant £ © £ ¢¦ © pour tout
, forme un système de racines de
l’espace euclidien qui est l’espace vectoriel dual à , et n’est rien d’autre qu’une forme réelle de
l’algèbre de Cartan , on
¢
a , et le complexifié de la chambre fondamentale correspondant
au choix des racines simples est le sous-espace donné par:
¢£ £ ©© et si ¢£ £ ©© ¦ alors £ £ ©© ¦
Ce dernier ensemble sera aussi appelé le domaine fondamental correspondant au choix de la base .
On associe également à l’algèbre de Lie, un graphe qui se construit de la manière suivante: à chaque racine
simple on associe un sommet, et deux sommets ¦ distincts sont joints par arêtes. On
notera au passage que ¦ ¦¥§¦ , [Vara84, p. 293]. Le diagramme ainsi obtenu est appelé le
diagramme de Dynkin de .
Voyons les propriétés concernant le groupe de Weyl:
Théorème 1.5.3 ([Hum72] p. 51). Soit une base du système de racine , et soit son groupe de Weyl.
i) Le groupe de Weyl est engendré par les réflexions simples (c’est à dire par les réflexions avec
) et il agit simplement et transitivement sur les chambres de Weyl ainsi que sur les bases du
système de racines;
ii) Si est une racine, alors il existe un élément de tel que£ ©
.
Puisque les réflexions simples engendrent le groupe de Weyl , tout élément de peut s’écrire
sous la forme d’un produit fini de ces réflexions simples. On appellera la longueur de (relativement à ),
notée £ © , le nombre minimum de réflexions simples entrant dans une écriture de , une telle écriture sera
qualifiée de ´ . Alors on a un autre moyen de déterminer cette longueur, il est donné par, [Hum72,
p. 52], [Hum92, p. 114]:
©
¦
£ ©
£
Pour tout élément et pour toute racine simple , on a:
£ ¢©£ © , [Hum92, p. 116]; cette
relation s’explique par l’existence ou non d’une écriture réduite de se terminant par , [Spr98, p. 142].
Soit un sous-ensemble de . Notons par le sous-groupe de engendré par les réflexions simples ¢
avec
. Désignons par le sous-ensemble de racines qui ont une écriture à partir des racines simples
. Alors est un système de racines, de groupe de Weyl , [Hum92, p. 19]. Notons par:
¤ £ ©£ ©¢
¤ £ ©£ ©£ ©¢
Par l’interprétation précédente de la fonction longueur on obtient:
Alors on a la propriété suivante:
Proposition 1.5.4 ([Hum92] p. 20).
¤ £ ©
¤ £ © £ ©
(1.1)
i) Tout élément peut s’écrire de manière unique sous la forme suivante:
avec
, et £ ©£ © £ © vérifiant . De plus, est l’unique élément de longueur
minimale de la classe .
ii) Tout élément peut s’écrire de manière unique sous la forme suivante:
, ¦ et vérifiant £ ©£ © £
de longueur minimale de la double classe ¤ .
© £ © . De plus,
avec
est l’unique élément