TH`ESE ´Etude des Orbites Nilpotentes par l'Application de Springer ...

2.2.2. – Classification de Bala-Carter – 23
partir d’une sous-algèbre de Cartan de ); puisque est distingué dans , on peut le conjuguer par un
élément de (le groupe adjoint de ) de telle façon que le support de soit constitué de racines
linéairement indépendants relativement au système de racines de .
Alors a un support constitué
de racines linéairement indépendantes pour le système de racines n’est rien d’autre que le
où
système de racines de
relativement à la sous-algèbre de Cartan
.
Soit maintenant une orbite nilpotente quelconque dans une algèbre de Lie semi-simple complexe. Par le
théorème de Bala-Carter (cf. théorème 2.2.4), on lui associe une -classe de conjugaison de £¡¦
©
paire
est une sous-algèbre parabolique
¡¦ ¡ dans est celle des sous-algèbres paraboliques de
où ¡ est une sous-algèbre de Levi minimale dans qui intersecte , et
distinguée ¡¦ ¡ de ; mais la classe de conjugaison de
Jacobson-Morozov associées aux éléments ¡¦ ¡ de ; on a alors le résultat suivant:
Lemme 2.2.7 ([SS70] p. 246). Toute orbite nilpotente sous l’action de sur une algèbre de Lie semi-
complexe simple admet un représentant dont le support est constitué de racines linéairement indépendants.
Remarque 2.2.8. Dans le cas où l’algèbre de Lie est ¡¤£ ¦ ¨© ou encore ¢¡¤£ ¦ ¨© , toute orbite nilpotente a un
représentant privilégié sous forme de Jordan dont le support est contenu dans les racines simples [CM93,
p. 32]. Ceci va nous permettre d’avoir un certain algorithme pour calculer les fibres de la résolution de
Springer (cf. 6.3.1).