TH`ESE ´Etude des Orbites Nilpotentes par l'Application de Springer ...

3.4. – Désingularisation des orbites nilpotentes – 29
Remarque 3.3.2. Par ce théorème, on en déduit que la restriction de l’application ¢ au
dessus de est un revêtement non-ramifié de degré fini égal à , l’indice de dans .
3.4 Désingularisation des orbites nilpotentes
Soit un groupe algébrique semi-simple sur le corps des complexes, d’algèbre de Lie . Soit un
élément nilpotent de . Notons par ¦ ¦ un
¢¡¤£ ¥§¦ ¨© -triplet associé à
, (cf. théorème 2.2.1). Relativement
à ©¨ l’endomorphisme on obtient une -graduation de telle
que est la sous-algèbre
parabolique de Jacobson-Morozov associée à
. Soit le sous-groupe parabolique d’algèbre de Lie . Notons
par . On avait déjà remarqué que , le centralisateur
de dans , était contenu dans ,
(cf. remarque 2.2.3), par conséquent la composante neutre de son stabilisateur dans est contenue dans ,
alors le fibré est un revêtement ramifié de degré fini au dessus de l’orbite
de . Ici nous allons en
fait voir que ce revêtement est de degré un.
Théorème 3.4.1 ([McG89] p. 211). Sous les hypothèses faites précédemment, alors le fibré
¦
est une désingularisation de l’adhérence de l’orbite de
.
Démonstration. Par ce qui a été raconté, il reste en fait à voir que l’application
Pour cela il suffit de montrer que le stabilisateur de dans est contenu dans .
Notons par le sous-groupe unipotent de d’algèbre Lie de
est birationnelle.
. Soit (resp. ) le centralisateur
dans (resp. dans ) du ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© -triplet ¦ ¦ . On va se servir du résultat suivant:
Lemme 3.4.2 (Barbasch-Vogan-Kostant - [CM93] p. 50). On a la décomposition suivante: .
La sous-algèbre est un idéal nilpotent de , et est une sous-algèbre de Lie réductive qui vérifie
¢ . Et on a un produit demi-direct .
Comme l’application exponentielle établit un isomorphisme entre et [Vara84, p. 197], on
peut dire que est contenu dans . Par cette décomposition de , il reste à montrer que est contenu
dans . Soit un élément de , l’élément stabilise en particulier comme , et est une somme directe de
sous-espaces propres ©¨ relativement à , on en déduit que stabilise , c’est à
£
© dire que .
D’où le résultat.
Remarque 3.4.3. Cette construction est très importante pour la compréhension des orbites nilpotentes; elle
permet de donner quelques informations supplémentaires sur les propriétés géométriques liées à l’orbites
de
, (cf. théorème 3.4.6, [McG89, Pan91]).
Donnons maintenant un résultat qui a été initialement donné par T.A. Springer pour désingulariser la
variété des éléments nilpotents de .
Proposition 3.4.4 (Springer - [Spr69]). Soit un sous-groupe de Borel d’algèbre de Lie . Notons par
le radical nilpotent de . Alors l’application
¦ £
©
est une désingularisation de la variété des éléments nilpotents de .
Démonstration. Soit un élément nilpotent régulier de . Soit la sous-algèbre parabolique de
Jacobson-Morozov associée à
et soit le sous-groupe algébrique d’algèbre de Lie . Notons par
l’idéal nilpotent défini dans l’exemple 3.1.7 £© . Alors par le résultat de B. Kostant, (cf. théorème 2.2.2),