TH`ESE ´Etude des Orbites Nilpotentes par l'Application de Springer ...

4.3. – La représentation d’opérateurs sur – 35
4.3 La représentation d’opérateurs sur ¤
Appliquons ce que l’on vient de voir dans le cas où, la variété
est un espace homogène, c’est à
. Alors l’application tangente
dire que l’action de sur
est transitive. Soit un point quelconque de
© £ est surjective et l’espace vectoriel £ ©
devient un -module isomorphe à . Si
est la dimension de
est un -module de dimension 1 sur lequel la représentation de
© £
, alors
, il faut remarquer tout d’abord
se fait par une certaine forme
linéaire . Pour trouver la forme
que ¤ est un -morphisme de vers © et que l’action de sur est donnée par la représentation
£
adjointe, alors on
a:
Notons par ¢
£ © ¢£ ¨© ¢£ ¨ ©
¢ comme un £ © -module.
£
Posons
¢ © £ ©
¢
le -module de dimension 1 donné par la forme linéaire
Alors ¢ © est un -module appelé le -module induit par ¢
£
© -module;
£ ¢ £
© est également appelé le module de Verma généralisé.
Théorème 4.3.1 ([BB82] p. 443/451/452).
i) Soit ¢£ © le noyau de la représentation d’opérateurs de sur
ii) Si de plus la variété homogène
£ £ ¢
©© , où £ £ ¢
©© est l’annulateur de
£ ¢
est complète, alors on a:
. Alors on peut également voir
, [Dix74, p. 163], c’est en particulier un
© dans £ © ;
£ ©£ © ¢ ¢££ ©© £ £ ©©
. Alors on a
Soit un -module muni d’une filtration croissante et compatible avec celle de £ © . On
dit que la filtration de N est bonne si ¢£ © est un £ © -module de type fini. Soit ¢£ £ ©© le gradué
de l’annulateur de dans £ © . Puisque ¢£ £ ©© est un idéal de £ © , on peut définir £ © comme
étant les zéros dans de l’idéal ¢£ £ ©© ; alors £ © appelé la variété associée à ; on pourra noter
que la définition de £ © ne dépend pas de la bonne filtration considérée, [Jan79, p. 79].
Lemme 4.3.2 ([BB82] p. 454/455).
i) Soit
une variété homogène complexe. Soit le sous-groupe d’isotropie d’un point de
. Si
est normalisé par un sous-groupe parabolique de , alors £ © induit sur ££ ©© £ © ¢
une bonne filtration;
ii) § £ © Soit l’application moment associée définie sur le fibré cotangent. Alors on a:
et l’égalité a lieu lorsque £ © induit sur ££ ©© £ © ¢ une bonne filtration.
§ £ £ ©© £ ¢£ ©©£ £
Jusqu’à la fin de ce chapitre, nous supposerons que est semi-simple. Alors le premier résultat important
de l’article [BB82] est le suivant:
Théorème 4.3.3 ([BB82] p. 455). Considérons l’espace homogène
groupe dérivé de . Alors on a:
©©
£ ¦ © où £ ¦ © est le sous-
£ ¢£ ©© ¦
On a ¦ ¡ ¦ ¡ ¢ ¦ ¡ ¦¢ . Comme ¢ ¦ ¡ ¢ et puisque dans on a une -orbite ouverte
(qui est la trace de l’orbite de Richardson associée, (cf. théorème 3.3.1), c’est à dire ¦ ¢ , alors on
¦ ¡ ¦¢ ¢ ¦ ¡ ¦ ¡ ¢ en déduit que et que par conséquent . Comme ¡ est une algèbre de
Lie réductive, on a ¡ ¦ ¡
¡
¢ , (cf. lemme 1.3.7). Notons par le radical nilpotent
de la sous-algèbre parabolique “opposée” de . Alors on ¦ a
, ce dernier espace n’est rien
d’autre que le radical de la sous-algèbre parabolique opposée de et £ ¦ © ¦ £
© ,