TH`ESE ´Etude des Orbites Nilpotentes par l'Application de Springer ...

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5.1. – Étude générale – 41 est une sous-variété stable par et on a: £© £© . On peut identifier ¤ à une sous-variété £ © de grâce au morphisme suivant: £ © ¦ ¦ © £ ¦ £ © £ De plus, la projection ¤ £ © permet de voir que la fibre au dessus de £ © est ¢ ¢ ¢ ¢ exactement . Alors est un -fibré au dessus £ © de avec des fibres isomorphes ¢ ¢ à . On en déduit que: Mais £©£ ©£ © £ ¢ ¢ © (5.2) ©£ © £ ©£ ¡ © £¡ ¢ © £ ¢ ¢ © £ L’élément permute les racines, par conséquent ¡ ¢ ne sont pas contenues dans sont exactement celles pour lesquelles £ © D’après (1.1) p. 13, comme Cette remarque nous donne: Par symétrie, on a: ¡ ©£¡ © £ ¦ alors £ © , si £ © £ ¡ ©£¡ © Par un raisonnement analogue, on obtient: £ ¡ ©£¡ © De la même manière avec et D’autre part: , ce qui fait que £ © ¦ £ © £ © ¦ £ © ¢ © ¥ £ © ` £¡ ¥ £© ¦ £© , on en déduit que: ¡ ©£¡ © £ £¡ ¢ © ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ £ © ¦ £© ¦ , et les droites qui . On en déduit que: ¦ (5.3) ¦ ¦ (5.4) ¦ £ ©£ © £ © ¥§ En combinant (5.3), (5.4), (5.5), et (5.6) on obtient: ¦ (5.5) ¦ (5.6) £ ©¥§ £¡ © ¥§ £ ¢ ¢ © (5.7) ¥§ En combinant (5.2) et (5.3) on obtient: £©£ ©£¡ ©£ ¢ ¢ © £ ¢ ¢ ©
5.1. – Étude générale – 42 Comme £ ¢ ©£ ¥¢ ¢ © , avec (5.1) et ¢ £ on en déduit que: ©£ ©£ © , P £ De plus, on a égalité si £ ¢ ©£ ¢ ¢ © , ce qui nous donne: ¥ © ££ ©£¡ ©© Corollaire 5.1.2. Pour tout élément , on a l’équivalence suivante: £ © ££ © £¡ P ©© si et seulement si ¢ ¢ est dense dans ¢ pour un certain . Une application immédiate de ce théorème est la possibilité de décrire certaines composantes irréductibles des fibres de l’application moment . Proposition 5.1.3. Soit un sous-groupe parabolique standard. Soit un sous-groupe parabolique contenant et soit un sous-groupe parabolique dans la même classe de conjugaison que . Notons par , et les algèbres de Lie de , et . Soit le radical nilpotent de . Soit la classe de Richardson de . Soit un élément nilpotent. Alors les assertions suivantes sont équivalentes: © . et © £ ©£ £ ©© . est une composante irréductible de © . Démonstration. ©© Soit l’ensemble des racines simples de . Notons par £ © où est un certain élément de tel que . Alors est une base du système de racines . Relativement à (resp. ), notons par (resp. ¦ ) les fonctions longueur sur (resp. ). ¢ Notons par w . Soit l’unique réflexion de tel que w £ ¦ © . Comme w , alors on a, [Hum92, p. 114]: w © £ ¦ w £ © © £ ¦ © £ Mais n’est rien d’autre que la restriction de sur , [Hum92, p. 19], alors on en déduit que: Par conséquent on a minimale de la double w classe de dans . Alors w on a ¦ avec On en déduit que pour tout , on a £ © . En faisant le même type de raisonnement que précédemment, on a © . Par conséquent £ ¦ w ©£ w © £ ¦ w £ © © £ £ ¦ © ¦ ¦ . Notons par w l’unique représentant dans de ¦ longueur . ¦ ¦ © D’après le corollaire 5.1.2, on a alors ¦ £ ©© ¥ £ ¦ , on en déduit que £ ¦ ¢ £ ¢ © (5.8) ££ ©£¡ ©© Avec le théorème 3.3.1, il est facile de vérifier que l’on a £ ©£¡ © . ©© est trivial. £ ©© ¥ £ ££¡ ©£¡ ©©£ © Puisque est une composante irréductible de £ © cela revient à voir que est une ©© composante irréductible de , ce qui ¢ donne , alors d’après (5.8) quitte à conjuguer par un certain élément de on peut supposer que l’on a (sinon par la description (*) faite à la page 39 on £ © aurait ), et on a: £ ©£ P © ¦
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