TH`ESE ´Etude des Orbites Nilpotentes par l'Application de Springer ...

2.1. – Généralités – 19
Voyons d’un peu plus près ce que ces orbites nilpotentes peuvent nous raconter. Puisque chaque
élément nilpotent se localise dans le radical nilpotent d’une sous-algèbre de Borel, qui n’est rien d’autre
qu’une sous-algèbre parabolique, on peut justement s’intéresser à ces dernières.
Pour la suite de notre exposé, les hypothèses et notations sur le groupe, son
algèbre de Lie, les racines,... seront fixées comme suit, on notera (H-N) pour désigner
ce cadre d’étude, si nous avons besoin de les changer nous le signaleront.
Soit une groupe semi-simple sur ¨ , d’algèbre de Lie . Soit une sous-algèbre de Cartan de .
Notons par le système de racines de relativement au choix de . Alors on a la décomposition de
Chevalley-Cartan de :
Soit une famille de racines simples. Notons par
¢
¦
(resp. ) l’ensemble des racines positives (resp.
négatives). Soit le sous-groupe de Borel de relativement au choix de d’algèbre de Lie . Soit un
sous-groupe parabolique standard de d’algèbre de Lie . Alors, il existe une partie de racines simples
telle que si on note par le sous-système de racines engendré par , on obtient (cf. proposition 1.5.7):
où ¡
¢ est la composante de Levi et
¢¥ est le radical nilpotent de . Notons
¡ ¤¢
par (resp. ) le sous-groupe connexe fermé de , d’algèbre de Lie ¡ (resp. ¢ ). Notons par le
sous-groupe du groupe de Weyl engendré par les réflexions simples
avec
(resp.
. Considérons
) l’ensemble des représentants minimaux des classes de (resp. de ). Pour
tout , soit un représentant de dans
¦ £ ©
£ © .
. Notons par £ ©
£ ©
et soit le sous-groupe de engendré par les sous-groupes avec
Soit § à présent une -orbite nilpotente dans ¡ ¦
. Notons par l’ensemble des racines positives qui
sont contenues dans . En revenant à la décomposition classique de Chevalley-Cartan que l’on applique
est une ¢
cette fois à l’algèbre de Lie réductive ¡ , on peut dire que la sous-algèbre
sous-algèbre de Borel de ¡ dont le radical nilpotent est donné par
¢ ; alors tout élément nilpotent
de ¡ est conjugué sous l’action de à un élément de
. De plus, comme est un idéal de
¢
, il est en particulier stable par l’action de . On en déduit que chacun des éléments de l’ensemble
, par ¢
conséquent §¢ est contenu dans l’ensemble des éléments nilpotents de . D’après ce que l’on a
vu précédemment, l’ensemble des éléments nilpotents est une réunion finie d’orbites nilpotentes, et comme
l’ensemble §¢ est irréductible, il existe une unique orbite nilpotente de telle que la trace de cette
orbite sur l’espace §¢ soit dense dans §¢ . Voyons les propriétés qui rattachent § à :
§¢
§ ¢ est conjugué sous l’action de à un élément de
Théorème 2.1.7 ([CM93] p. 106/108).
i) La trace de sur §¢ est stable par ; elle est réduite à une seule -orbite qui est un ouvert
dense dans §¢ . De plus, on a:
£ ©£ § © ¥£ ¢ ©
ii) Soit ¡ ¢ une autre sous-algèbre parabolique qui admet la même composante de Levi ¡ que
. Soit l’unique orbite nilpotente de dont la trace sur §¢ soit dense dans §¢ . Alors
on a: ; par conséquent, l’orbite nilpotente ne dépend pas de la sous-algèbre parabolique
mais uniquement de la composante de Levi, l’orbite est appelée “l’orbite induite § par de ¡ à
”, et elle est notée
iii) (transitivité) Soient ¡
£ © §
¡ §
;
deux sous-algèbres de Levi et soit une -orbite dans ¡
£
£ §
©©
£ §
©
a: .
. Alors, on