TH`ESE ´Etude des Orbites Nilpotentes par l'Application de Springer ...

3.3. – Lien entre £ © et – 27
Soit un morphisme entre deux variétés. Soit un faisceau sur
l’espace . On définit le
, noté de la manière suivante, [Har77, p. 65]: pour tout ouvert de
,
£© £ £©© . Alors l’application est un foncteur covariant, exact à gauche; on peut lui associer
une famille de foncteurs
, [Har77, p. 204]; pour tout entier , le foncteur
est appelé
le
foncteur dérivé à droite du foncteur .
faisceau image de par sur
Théorème 3.2.2 (Kempf - [Kem76] p. 232). Notons par le faisceau structural de l’espace
On a les propriétés suivantes:
i) L’application est un morphisme projectif;
ii) Si l’action de sur est complètement réductible. Pour tout entier , on a
¢ .
est trivial.
Définition 3.2.3. a) Soit une application entre deux variétés. On dira que est une résolution
des singularités de
(ou désingularisation de Y) si est une application birationnelle propre et
est une
variété lisse.
b) Soit une variété normale. On dit que est à singularités rationnelles si pour toute désingularisation
, on a
pour tout
. Alors est Cohen-Macaulay.
Remarque 3.2.4. Pour vérifier qu’une variété normale présente de singularités rationnelles il suffit en fait
de le vérifier pour une seule désingularisation.
Alors le deuxième résultat important de G. Kempf est le suivant:
Théorème 3.2.5 (Kempf - [KP82] p. 542, [Kem76] p. 233). Supposons en plus que .
i) Si le stabilisateur de dans est contenu dans , alors l’application est une désingularisation de
;
ii) Si l’action de sur est complètement réductible, alors la variété est normale à singularités
rationnelles.
L’hypothèse permet d’avoir . D’après ce que l’on a vu précédemment, la
fibre de au dessus de est donnée par l’ensemble des transformés de sous l’action de qui
contiennent
; ces transformés peuvent être également obtenus en considérant l’un d’entre eux et en prenant ses transformés
sous l’action de , le stabilisateur de dans . Mais si est contenu dans et comme est le
normalisateur de , alors il n’y aura qu’une seule copie de qui va contenir , c’est à dire que la fibre de
au dessus de est réduite à un seul point. Puisque est un ouvert dans , (cf. proposition 1.2.8), on
en déduit que est bien une application birationnelle; la propreté de provient du fait que est isomorphe
à l’application qui n’est rien d’autre que la projection sur suivant la deuxième coordonnée de l’espace
et que l’espace est complet. C’est donc une désingularisation de .
3.3 Lien entre ¤ et
Nous avons vu que l’orbite de Richardson était en fait une orbite induite, (cf. théorème 2.1.7). On a
eu quelques informations concernant cette orbite, mais voici comment le fibré ¢ nous permet d’avoir
plus de renseignements.
Théorème 3.3.1 (Richardson - [Hes78], [Ste74] p. 136). Sous les hypothèses et notations (H-N) de la
page 19. Il existe une unique orbite nilpotente telle que:
i) L’espace ¢ est un ouvert dense dans .
¢ ii) De plus est réduite à une seule -orbite et un élément
¢
est contenu dans si et
seulement si sa -orbite de dans est dense et si contient la composante neutre du centralisateur
de dans , alors dans ce cas l’élément
¢ est contenu dans un nombre fini de conjugués de par
, i.e. ¢
iii) £ ©¥£ ¢ © .
¢ .
est appelée l’orbite de Richardson associée à .