TH`ESE ´Etude des Orbites Nilpotentes par l'Application de Springer ...

1.5. – Système de racines – 11
iv) Si ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© est une représentation de ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© de dimension finie. Alors les valeurs propres de
¢£ © sont tous des entiers; pour chacune des valeurs propres de ¢£ © on y trouve son opposée.
Remarque 1.4.3.
i) D’après le théorème 1.4.2 © , suivant la parité de la dimension du sous-module simple, 0 ou 1
apparaît comme valeur propre pour ce sous-module et il n’apparaît qu’une seule fois; par conséquent, le
nombre de sous-modules irréductibles pour un ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© -module est égal à la somme des multiplicités des
valeurs propres 0 et 1.
ii) On notera au passage que le sous-espace vectoriel ¢£ est stable par
© ¢£ . On peut donner un
©
supplémentaire à ¢£ dans qui soit stable par ¢£ © car ce dernier est un endomorphisme semi-simple,
©
alors d’après le lemme 1.4.1 il suffit de considérer ¢£ © ; toujours par ce lemme, on
constate que tout sous-module simple de fournit une unique droite vectorielle propre, de valeur propre
négative ©¨ (relativement à ), qui sera contenue dans ; par conséquent on en déduit que est de
dimension £ £ © © . Cette remarque est intéressante, car nous reviendrons un peu plus tard,
pour donner une “section transverse” à une orbite nilpotente, (cf. page 52).
1.5 Système de racines
Soit un groupe algébrique réductif, d’algèbre de Lie . Alors contient nécessairement des éléments
semi-simples sans quoi serait une algèbre de Lie nilpotente (théorème d’Engel, [Hum72, p. 12]). Par
conséquent, contient des tores non triviaux. Un tore maximal de est appelé une sous-algèbre de Cartan
de . Une propriété intéressante attachée à cette dernière est que dans une algèbre de Lie réductive, une
sous-algèbre de Cartan est égale à son centralisateur dans , [Bor91, p. 175]. De plus, les sous-algèbres de
Cartan sont toutes conjuguées entre elles sous l’action adjointe de , [Spr98, p. 108], elles ont alors toutes
la même dimension et cette dimension commune est appelée le rang de .
Considérons la représentation adjointe de sur elle même. Soit sous-algèbre de Cartan de . Puisque
est constituée d’éléments -semi-simples qui commutent tous entre eux, on a alors une décomposition
simultanée de en sous-espaces propres pour chacun des
endomorphismes , où
. Notons par
avec
¦
£ © pour tout
. Alors on obtient la décomposition suivante dite décomposition de Chevalley-Cartan de :
¢ ¦
où est un sous-ensemble fini de , appelé le système de racines de , les éléments de sont
appelés les racines de relativement à .
Les propriétés qui sont liées à sont très intéressantes car c’est grâce au système de racines, notamment à
la disposition des vecteurs de que l’on parvient à classifier les algèbres de Lie semi-simples complexes
ainsi que leurs représentations, [Ser66].
Lemme 1.5.1 ([Hum72] p. 36/37).
i) La restriction de la forme de Killing à la sous-algèbre de Cartan est non-dégénérée.
ii) Si ¦ sont deux racines telles que ¡
forme de Killing.
, alors est orthogonal à relativement à la
La non-dégénérescence de la forme de Killing sur la sous-algèbre de Cartan , nous permet d’identifier
, il existe un unique vecteur
et cela pour tout vecteur
Théorème 1.5.2 ([Hum72] p. 37/39).
i) Les vecteurs de engendrent ;
et son dual . Alors pour toute racine
.
tel que £ © £ ¢¦ ©