TH`ESE ´Etude des Orbites Nilpotentes par l'Application de Springer ...

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Table des matières Introduction 2 1 Généralités 5 1.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Groupe algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Algèbre de Lie d’un groupe algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Représentation de ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Système de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Les éléments nilpotents 17 2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Classification des orbites nilpotentes dans les algèbres de Lie semi-simples complexes . . 20 2.2.1 Classification de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Classification de Bala-Carter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Fibrés principaux 24 3.1 Fibrés principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Propriétés du fibré ¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Lien entre £ © et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4 Désingularisation des orbites nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4.1 Une propriété géométrique des orbites nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Les orbites nilpotentes de Richardson 32 4.1 Approche algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2 Approche symplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 La représentation d’opérateurs sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5 Les orbites nilpotentes dans ¢¡¤£ ¦ ¨© 38 5.1 Étude générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.2 Étude dans ¢¡£ ¦ ¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.3 Étude de germe de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6 Sur la correspondance de Spaltenstein 56 6.1 Notations, rappels et théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2 Diagramme de variation et démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.3.1 Calcul des fibres de Springer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.3.2 Graphe de résolution de la partition £ ¥§¦ ¦¦ © . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.4 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Bibliographie 72 Index 76 1
Introduction On peut dire que les travaux novateurs en ce qui concerne la théorie des orbites nilpotentes dans les algèbres de Lie semi-simples complexes ont commencé avec E.B. Dynkin [Dyn57], qui a dégagé l’existence des classes de conjugaison, sous l’action du groupe adjoint, de sous-algèbres de Lie isomorphes à attachées aux orbites nilpotentes; il est à l’origine de la première classification des orbites nilpotentes, (cf. 2.2.1). C’est ensuite dans les années 60 que la théorie a eu un essor considérable sous l’impulsion des mathématiciens tels que B. Kostant [Kos59, Kos63], R.W. Richardson [Ric67], T.A. Springer [Spr69, SS70] et R. Steinberg qui se sont intéressés à l’étude de la variété des éléments nilpotents d’une algèbre de Lie: plus précisément, soit un groupe algébrique réductif affine connexe d’algèbre de Lie sur un corps algébriquement clos de caractéristique zéro. Le morphisme d’algèbres , (où désigne la sous-algèbre des fonctions régulières de qui sont invariantes par l’action adjointe de ), donne un morphisme de variétés appelé le quotient adjoint. Alors la variété n’est rien d’autre que la fibre au dessus de la classe de . B. Kostant et R. Steinberg montrent que est une sous-variété de d’intersection complète de codimension égale au rang de , le lieu lisse de coïncident avec une unique orbite nilpotente appelée l’orbite nilpotente régulière de , le lieu singulier de est en codimension 2 et coïncide avec l’adhérence d’une unique orbite nilpotente appelée l’orbite nilpotente sousrégulière, (cf. [Kos59, Kos63, Ste74]). C’est ensuite que T.A. Springer construit une désingularisation de la variété [Spr69], qui sera appelée la résolution de Springer. R. Steinberg et J. Tits parviennent alors à calculer la fibre au dessus d’un élément nilpotent sous-régulier et constatent que la géométrie de cette fibre peut se lire à partir du diagramme de Dynkin de (cf. [Ste74, théorème 2 p. 153]). C’est alors que les géomètres ont commencé à s’intéresser à cet exemple remarquable; notamment A. Grothendieck généralise la construction de T.A. Springer en obtenant une désingularisation simultanée des fibres du quotient adjoint [Ste74], et à la suite de son travail, il pose deux célèbres conjectures qui doivent relier les points doubles rationnels de surfaces, aux algèbres de Lie simples complexes: i) L’intersection de la variété avec une section transverse à l’orbite nilpotente sous-régulière d’une algèbre de Lie simple complexe de type ¦ ¦¢¦ ¦ est une surface à singularité isolée de même type que . ii) La restriction du quotient adjoint à la section transverse , est la déformation semiverselle de la singularité de la surface . C’est lors du congrès international de mathématiques de Nice en 1970 que E. Brieskorn apporte une preuve à ces deux conjectures, [Bri70]; sa preuve repose sur un critère des points doubles rationnels de surfaces (cf. [Slo80b, proposition 2 p. 127] et [Slo80b, proposition p.134]), il observe les faits suivants: les composantes du quotient adjoint sont quasi-homogènes et leurs degrés coïncident avec les degrés des formes normales des fonctions donnant les équations des germes de surfaces en question. Mais cette preuve est indépendante de la construction de T.A. Springer. C’est H. Esnault qui, lors de sa thèse sous la direction de Lê Dũng Tráng [Esn76], va passer par la résolution de Springer et redémontre la première conjecture en calculant l’auto-intersection de chacune des composantes irréductibles de la fibre au dessus d’un élément nilpotent sous-régulier et montre par la même occasion que la restriction de la résolution de Springer à la préimage de la surface est la résolution minimale de la singularité de la surface . ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© A la suite de ces résultats, beaucoup de mathématiciens tels que J. Dixmier, W. Borho, N. Spaltenstein, 2
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