TH`ESE ´Etude des Orbites Nilpotentes par l'Application de Springer ...

1.3. – Algèbre de Lie d’un groupe algébrique – 9
décomposition analogue en ce qui concerne les éléments de tout groupe algébrique, (cf. [Bor91, théorème
4.4 p.83]): puisque se plonge dans un certain GL £ ¦ ¨© , (cf. remarque 1.2.2), ses éléments sont en particuliers
des endomorphismes sur ¨ ; un
élément est dit semi-simple (resp. unipotent) si (resp.
¢ ) est un endomorphisme semi-simple (resp. nilpotent) sur ¨ ; alors tout élément du groupe
peut s’écrire de manière unique comme le produit d’un élément semi-simple et d’un élément unipotent qui
commutent entre eux.
Notons £ © par l’action de sur lui-même par automorphismes intérieurs. Puisque l’au-
tomorphisme laisse stable l’élément neutre , sa différentielle en , notée , est un isomorphisme
linéaire de ; on obtient alors un morphisme GL £ © qui est une représentation de sur
son algèbre de Lie appelée la représentation adjointe du groupe algébrique sur son algèbre de Lie. Soit
£ ©
GL £ © £
¦
©§ £ ©¦ £ © ¦
le groupe des automorphismes de . Notons £ © par , la composante neutre £ © de . Le
groupe
est appelé le groupe adjoint de .
¦ Soient deux parties de . On dit que et sont conjugués par s’il existe un élément tel
£ © que . Une sous-algèbre de Lie de est appelée un tore si c’est une sous-algèbre abélienne
(c’est à ¦ dire ) et si tous ses éléments sont semi-simples (on notera que la première hypothèse
est superflue, car le caractère abélien est automatiquement acquis . . . (cf. [Hum72, p. 35]). Nous verrons
dans la suite l’importance des sous-algèbres de Lie résolubles; il est bon de rappeler quelques propriétés les
concernant. Notons ¢ par le sous-ensemble des éléments nilpotents de :
Théorème 1.3.4 ([Bor91] p. 138). Soit une algèbre de Lie résoluble sur ¨ . Alors
i) L’ensemble est un idéal de qui contient ¦ ;
ii) L’algèbre quotient ¢ est un tore; si est un tore maximal de , alors on a la décomposition
suivante: ;
Soit un groupe algébrique connexe résoluble sur ¨ , d’algèbre de Lie .
iii) Tous les tores maximaux de sont conjugués entre eux par ;
iv) Tout élément semi-simple de est conjugué par à un élément de .
Ces quatre propriétés sont aussi vraies pour le groupe .
Soit une algèbre de Lie quelconque sur ¨ . Soient et deux idéaux résolubles de . Alors est
un idéal, et puisque £ © est isomorphe à £ © , alors £ © est résoluble, par conséquent
est résoluble (cf. [Hum72, p. 11]). Ceci montre qu’il existe un unique idéal résoluble de qui contient tout
autre idéal résoluble de . Cet idéal résoluble maximal est appelé le radical de . Puisque est une algèbre
de Lie résoluble, d’après © du théorème précédent est une sous-algèbre de Lie de qui est appelée le
radical nilpotent de .
Définition 1.3.5. Soit une algèbre de Lie sur ¨ . On dira que est une algèbre de Lie semi-simple (resp.
réductive) si (resp. ).
On dira que est une algèbre de Lie simple si n’a pas d’autres idéaux que et .
Citons alors le théorème célèbre de Décomposition de Levi:
Théorème 1.3.6 ([Vara84] p. 224). Soit une algèbre de Lie sur ¨ et son radical. Alors il existe une
sous-algèbre de Lie semi-simple telle que l’on a la décomposition suivante:
Puisque le radical d’une algèbre de Lie est un idéal, on en déduit aussitôt qu’une algèbre de Lie simple
de dimension ¥ est à fortiori semi-simple.
Une caractérisation plus courante d’une algèbre de Lie semi-simple sur ¨ , est d’avoir la forme de Killing
, définie par:
£ ¦ © ¢£
© ¦