TH`ESE ´Etude des Orbites Nilpotentes par l'Application de Springer ...

Chapitre 2
Les éléments nilpotents
2.1 Généralités
Ce chapitre a pour but de présenter les résultats généraux sur les orbites nilpotentes.
Soit un groupe algébrique affine connexe sur ¨ . Soit son algèbre de Lie. Si est une algèbre de Lie
réductive, on a la
¦
décomposition suivante: , où est le centre ¦ de et est son
algèbre
dérivée qui est un idéal semi-simple, (cf. lemme ¢£ © 1.3.7). L’idéal
étant un tore, [Bor91, p. 158],
alors par définition (cf. page 9) il n’est constitué que des éléments -semi-simples, mais ses éléments sont
trivialement -nilpotents, si bien qu’on est amené à raffiner la définition d’un élément nilpotent.
Définition 2.1.1. Dans une algèbre de Lie réductive , un élément
¦ .
est dit nilpotent si
est un endo-
morphisme nilpotent et si
Pour l’étude des éléments nilpotents d’une algèbre de Lie, on pourra se limiter aux algèbres de Lie
semi-simples, et c’est dans ce cadre là que nous allons nous placer.
Remarque 2.1.2. Soit une algèbre de Lie semi-simple sur ¨ , que l’on peut voir comme une sous-algèbre
de Lie pour un ¡¤£ ¦ ¨© certain (cf. p. 8). Alors, un élément
de est nilpotent si et seulement si
(perçu comme un endomorphisme sur ¨ ) est nilpotent, [Hum72, p. 29], c’est à dire que les deux notions
coïncident bien.
Soit
un élément quelconque. D’après la proposition 1.5.7 © , il existe une sous-algèbre de
Borel de qui contient
. Si
est un élément nilpotent, alors il sera contenu dans le radical nilpotent
de , (cf. théorème 1.3.4); par conséquent la réunion de tous les radicaux nilpotents des sous-algèbres de
Borel (qui sont aussi les sous-algèbres de Lie nilpotentes maximales) est égale l’ensemble à des éléments
nilpotents de .
Dans la suite de l’exposé lorsqu’il n’y aura pas de confusion, pour désigner l’action adjointe de sur , on
notera plutôt £ © que .
Soit un élément quelconque de . On dira que est un élément régulier dans ou
que est une orbite
régulière dans
si est de dimension maximale, ce qui revient au même de dire que le
stabilisateur
de dans (ou encore son centralisateur dans ,
Lemme 2.1.3 ([Kos63] theorem 1 p. 359, [Hum72] p. 17). Soit
un élément d’une algèbre
de Lie réductive écrit dans sa décomposition de Jordan-Chevalley.
i) Alors
est régulier si et seulement si la dimension de son centralisateur dans est égale au rang de
.
ii) Un élément commute avec
si et seulement si commute avec
et avec
.
¦
Démonstration. © Soit un élément quelconque de . On vient de voir que
) est de dimension minimale.
est contenu dans une
algèbre de Borel . Notons par le sous-groupe de Borel d’algèbre de Lie . Alors on a £ ©
£
© . Mais puisque l’espace tangent à l’orbite
en n’est rien d’autre ¦
que , [LM87, p. 423],
ce dernier espace est contenu ¦ dans et d’après le théorème 1.3.4, l’algèbre ¦ dérivée est contenue
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