TH`ESE ´Etude des Orbites Nilpotentes par l'Application de Springer ...

3.4. – Désingularisation des orbites nilpotentes – 31
de l’orbite sous-régulière qui est de codimension ¥ ; par le critère d’Abhyankar-Serre [Har77, prop. 8.23] on
en déduit que est une variété normale. Par la suite W.H. Hesselink montre que les seules singularités de
sont des singularités rationnelles, [Hes76a]. Il est naturel de se demander si en considérant l’adhérence
d’une orbite nilpotente autre que l’orbite régulière, on a des propriétés analogues; malheureusement, il
existe des contre-exemples d’orbites nilpotentes dont les adhérences ne sont pas des variétés normales,
[KP82, Bro98]. En revanche, si on considère la normalisation de l’adhérence d’une orbite nilpotente, on
peut se demander quel type de singularités on peut y trouver. Voici le résultat de cette question qui a été
étudiée par W.H. Hesselink, W.M. McGovern, V. Hinich, D. Panyushev:
Théorème 3.4.6 (Hinich-Panyushev - [Hin91a, Pan91]). Soit un groupe algébrique semi-simple sur
le corps des complexes, d’algèbre de Lie . Soit
un élément nilpotent de . Notons par la
normalisation de l’adhérence
de . Alors, les singularités de sont rationnelles.