TH`ESE ´Etude des Orbites Nilpotentes par l'Application de Springer ...

UNIVERSITÉ DE PROVENCE – U.F.R. M.I.M.
THÈSE
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE PROVENCE
Discipline : Mathématiques
ÉCOLE DOCTORALE de Mathématiques et Informatique de Marseille
présentée et soutenue publiquement
par
Ngoc Gioan Jean PAGNON
le 4 décembre 2003
Titre :
Étude des Orbites Nilpotentes
par
l’Application de Springer Généralisée
——————
Directeur de thèse :
M. Dũng Tráng LÊ
——————
RAPPORTEURS
M. Michel BRION Directeur de Recherche, Institut Fourier
M. Carlos CONTOU CARRERE Professeur, Université de Montpellier II
M. Claudio PROCESI Professore, Università di Roma “La Sapienza”
JURY
M. Michel BRION Directeur de Recherche, Institut Fourier
M. Carlos CONTOU CARRERE Professeur, Université de Montpellier II
M. Dũng Tráng LÊ Professeur, Université de Provence
M. Karl OELJEKLAUS Professeur, Université de Provence
M. Claudio PROCESI Professore, Università di Roma “La Sapienza”

“Mon coeur craint de souffrir, dit le
jeune homme à l’Alchimiste, une nuit
qu’ils regardaient le ciel sans lune.
– Dis-lui que la crainte de la souffrance
est pire que la souffrance elle-même.
Et qu’aucun coeur n’a jamais souffert
alors qu’il était à la poursuite de ses
rêves . . . ”
Paulo Coelho,
“ L’Alchimiste ”.

Remerciements
C’est M. Lê Dũng Tráng qui, depuis mon D.E.A., a canalisé ma recherche vers la théorie des orbites
nilpotentes, c’est avec un honneur certain que j’ai accepté d’être son élève durant cette thèse; j’ai pu
bénéficier de sa grande expérience et des séances de travail qu’il a organisées pour que je puisse faire mes
premiers pas de mathématicien. Je voudrais le remercier pour ses encouragements constants, ses nombreux
conseils et sa patience. Je tiens aussi à saluer l’honorable tâche qu’il a choisi d’entreprendre depuis peu à l’
I.C.T.P. de Trieste qui consiste à aider les chercheurs des pays défavorisés.
Je suis particulièrement reconnaissant envers Michel Brion et Carlos Contou Carrere avec qui j’ai pu
échanger cette dernière année; c’est grâce à leurs concours que j’ai pu donner une rédaction respectable à
ma thèse. Je tiens à les remercier pour cette aide précieuse, pour l’intérêt qu’ils ont su manifester pour mes
travaux. Leurs encouragements m’ont extrêmement touché.
Je remercie très chaleureusement Michel Brion, Carlos Contou Carrere et Claudio Procesi d’avoir
accepté la charge de rapporteur de cette thèse et de m’avoir fait bénéficier de leurs remarques pertinentes et
de leurs conseils. Il me faut également signaler que le chapitre 5 de cette thèse s’est inspiré des travaux de
Claudio Procesi, c’est donc un honneur pour moi qu’il fasse partie de mon jury.
Je remercie enfin Karl Oeljeklaus d’avoir accepté de faire partie de mon jury. Je lui suis très reconnaissant
pour la disponibilité qu’il a toujours su me témoigner en me prêtant une oreille attentive chaque
fois que j’avais quelque chose à raconter.
Je tiens à saluer également certains de mes anciens professeurs qui m’ont permis de faire ce choix
dans la recherche. Paul Donato et Gérard Fardoux qui m’ont beaucoup stimulé par leurs cours et leur
enthousiasme. David Trotman pour sa gentillesse extrême, ainsi que Hamish Short avec qui j’ai fait mon
mémoire de Maîtrise.
Je veux aussi saluer certains de mes camarades du C.M.I. que j’ai pu côtoyer, avec qui une certaine
complicité s’était instaurée durant ces dernières années et qui sont maintenant docteurs: Dan Zaffran, Mamadou
Diop, Romain Bondil, Guillaume Valette, Jean-Philippe Préaux, Mourad Sini, Nguyên Viêt Anh,
Dwi Juniati et Elsa Mayrand. Et parmi ceux qui commencent ou sont en cours de thèse, je souhaite bon
courage à Luc Guyot, Philippe Larchevèque, Éric Péreyrol, Ghislain Jaudon, Éric Akeke, Fida et Marion.
Je remercie aussi le personnel du C.M.I. qui m’a aidé dans certaines tâches matérielles et administratives
qui m’incombaient quelques fois: l’irremplaçable Georges Moutouh (dit “Jo”), Noelle Tabarracci,
Nathalie Grimaud, Chantal Ravier, Corrine Meslé et Marie Christine Tort.
J’adresse une salutation générale à mes amis en ayant une pensée particulière pour Christophe mon
ami de toujours, qui profite paisiblement de la vie sur son île paradisiaque sous les tropiques.
Merci enfin à mes proches d’ici et d’ailleurs, à qui je dois tout; peu importe comment la vie nous a
rapprochés ou éloignés, ce qui est important en fin de compte c’est ce sentiment indéfinissable qui nous
rattache les uns aux autres en nous faisant comprendre que nous faisons partie d’une même famille et que
nos vies ne peuvent totalement se dissocier les unes des autres.

Table des matières
Introduction 2
1 Généralités 5
1.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Groupe algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Algèbre de Lie d’un groupe algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Représentation de ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Système de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Les éléments nilpotents 17
2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Classification des orbites nilpotentes dans les algèbres de Lie semi-simples complexes . . 20
2.2.1 Classification de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Classification de Bala-Carter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Fibrés principaux 24
3.1 Fibrés principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Propriétés du fibré ¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Lien entre £ © et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Désingularisation des orbites nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.1 Une propriété géométrique des orbites nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Les orbites nilpotentes de Richardson 32
4.1 Approche algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Approche symplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 La représentation d’opérateurs sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Les orbites nilpotentes dans ¢¡¤£ ¦ ¨© 38
5.1 Étude générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2 Étude dans ¢¡£ ¦ ¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3 Étude de germe de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Sur la correspondance de Spaltenstein 56
6.1 Notations, rappels et théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2 Diagramme de variation et démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3.1 Calcul des fibres de Springer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3.2 Graphe de résolution de la partition £ ¥§¦ ¦¦ © . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.4 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Bibliographie 72
Index 76
1

Introduction
On peut dire que les travaux novateurs en ce qui concerne la théorie des orbites nilpotentes dans les
algèbres de Lie semi-simples complexes ont commencé avec E.B. Dynkin [Dyn57], qui a dégagé l’existence
des classes de conjugaison, sous l’action du groupe adjoint, de sous-algèbres de Lie isomorphes à
attachées aux orbites nilpotentes; il est à l’origine de la première classification des orbites nilpotentes,
(cf. 2.2.1). C’est ensuite dans les années 60 que la théorie a eu un essor considérable sous l’impulsion des
mathématiciens tels que B. Kostant [Kos59, Kos63], R.W. Richardson [Ric67], T.A. Springer [Spr69, SS70]
et R. Steinberg qui se sont intéressés à l’étude de la variété des éléments nilpotents d’une algèbre de Lie:
plus précisément, soit un groupe algébrique réductif affine connexe d’algèbre de Lie sur un corps
algébriquement clos de caractéristique zéro. Le morphisme d’algèbres , (où désigne
la sous-algèbre des fonctions régulières de qui sont invariantes par l’action adjointe de ), donne un
morphisme de variétés appelé le quotient adjoint. Alors la variété n’est rien d’autre
que la fibre au dessus de la classe de . B. Kostant et R. Steinberg montrent que est une sous-variété
de d’intersection complète de codimension égale au rang de , le lieu lisse de coïncident avec une
unique orbite nilpotente appelée l’orbite nilpotente régulière de , le lieu singulier de est en codimension
2 et coïncide avec l’adhérence d’une unique orbite nilpotente appelée l’orbite nilpotente sousrégulière,
(cf. [Kos59, Kos63, Ste74]).
C’est ensuite que T.A. Springer construit une désingularisation de la variété [Spr69], qui sera
appelée la résolution de Springer. R. Steinberg et J. Tits parviennent alors à calculer la fibre au dessus
d’un élément nilpotent sous-régulier et constatent que la géométrie de cette fibre peut se lire à partir du
diagramme de Dynkin de (cf. [Ste74, théorème 2 p. 153]).
C’est alors que les géomètres ont commencé à s’intéresser à cet exemple remarquable; notamment A.
Grothendieck généralise la construction de T.A. Springer en obtenant une désingularisation simultanée des
fibres du quotient adjoint [Ste74], et à la suite de son travail, il pose deux célèbres conjectures qui doivent
relier les points doubles rationnels de surfaces, aux algèbres de Lie simples complexes:
i) L’intersection de la variété avec une section transverse à l’orbite nilpotente sous-régulière d’une
algèbre de Lie simple complexe de type ¦ ¦¢¦ ¦ est une surface à singularité isolée de
même type que .
ii) La restriction du quotient adjoint à la section transverse , est la déformation semiverselle
de la singularité de la surface .
C’est lors du congrès international de mathématiques de Nice en 1970 que E. Brieskorn apporte une
preuve à ces deux conjectures, [Bri70]; sa preuve repose sur un critère des points doubles rationnels de
surfaces (cf. [Slo80b, proposition 2 p. 127] et [Slo80b, proposition p.134]), il observe les faits suivants:
les composantes du quotient adjoint sont quasi-homogènes et leurs degrés coïncident avec les degrés des
formes normales des fonctions donnant les équations des germes de surfaces en question. Mais cette preuve
est indépendante de la construction de T.A. Springer.
C’est H. Esnault qui, lors de sa thèse sous la direction de Lê Dũng Tráng [Esn76], va passer par la
résolution de Springer et redémontre la première conjecture en calculant l’auto-intersection de chacune des
composantes irréductibles de la fibre au dessus d’un élément nilpotent sous-régulier et montre par la même
occasion que la restriction de la résolution de Springer à la préimage de la surface est la résolution
minimale de la singularité de la surface .
¢¡¤£ ¥§¦ ¨©
A la suite de ces résultats, beaucoup de mathématiciens tels que J. Dixmier, W. Borho, N. Spaltenstein,
2

– Introduction – 3
Win H. Hesselink, G. Kempf, H. Kraft, C. Procesi, P. Slodowy, se sont alors intéressés dans les années
70 en étudiant soit à la géométrie des orbites nilpotentes soit à la résolution de Springer; Win H. Hesselink,
ensuite H. Kraft et C. Procesi arrivent en outre à déterminer les singularités qui apparaissent entre deux
strates “adjacentes” plus profondes de la variété , [Hes76b, KP79, KP81]; la première conjecture de
Grothendieck concernait les strates régulière et sous-régulière. Ils parviennent à déterminer ces germes à
smoothly equivalence près: deux germes de variété £¦© , et £¦© sont dit smoothly equivalent s’il existe
un germe de variété £ ¦© et deux £ ¦© £¦© morphismes £ ¦© £¦© , tels que
£ © , £ © et , sont lisses au point .
De plus, ils constatent que la résolution de Springer provient d’une construction plus générale: soit est un
sous-groupe parabolique de d’algèbre de Lie . Notons par l’orbite de Richardson associée à , (cf.
théorème 3.3.1). Alors l’application de Springer généralisée £ © associée a pour image
et est un revêtement ramifié de degré fini au dessus de , (cf. remarque 3.3.2). La résolution de Springer
est le cas particulier où est un sous-groupe de Borel de . L’inconvénient avec cette famille d’applications,
c’est qu’on ne peut étudier qu’une catégorie particulière d’orbites nilpotentes, néanmoins elles suffisent
dans l’étude de ¢¡¤£ ¦ ¨© , car toutes les orbites nilpotentes sont de Richardson. Une construction analogue
est alors réalisée par B. Kostant et W.M. McGovern afin d’obtenir une désingularisation de l’adhérence
de n’importe quelle orbite nilpotente, (cf. théorème 3.4.1); cette même construction permet de dégager
certaines propriétés attachées aux orbites nilpotentes; par exemple, elle permet à W.M. McGovern, V. Hinich
et D.I. Panyushev de démontrer que les singularités qui apparaissent dans la normalisation de l’adhérence
de toute orbite nilpotente, sont rationnelles, [McG89, Hin91a, Pan91].
C’est N. Spaltenstein qui réalise le plus grand travail concernant l’étude des fibres des applications
de Springer généralisées, son approche est fortement combinatoire, [Spa76, Spa77, Spa82]. Il montre que
les composantes irréductibles de la fibre de la résolution de Springer au dessus d’un élément nilpotent
ont toutes la même dimension égale à ££ ©© où est le stabilisateur de
dans et
le rang de , [Spa77]. Le grand avantage lorsque le groupe algébrique est GL £ ¦ (où est un corps ©
algébriquement clos) est d’avoir une autre description des fibres de la résolution de Springer: elle permet
à N. Spaltenstein d’établir une bijection entre les composantes irréductibles des drapeaux complets de
fixés par un endomorphisme nilpotent
et les tableaux de Young standards associés au diagramme de
Young de
, [Spa76].
Mais actuellement aucune étude globale vers une description géométrique n’a pu être réalisée pour
décrire les fibres de la résolution de Springer, à ce jour la fibre de Springer au dessus d’un élément nilpotent
est connue que dans les cas suivants: si
est régulier alors elle est réduite à un point, si
est sous-régulier
alors elle est une union de droites projectives décrites par le diagramme de Dynkin de , [Ste74, théorème
2 p. 153], si la dimension de la fibre est égale à 2 alors c’est une union de et de surfaces d’Hirze-
bruch, [Lor85, Lor86], si
est dans l’orbite nilpotente minimale (c’est l’orbite nilpotente non-triviale qui
est contenue dans l’adhérence de toute autre orbite nilpotente non-nulle, [CM93, p. 61]) alors elle est une
union de variétés isomorphes à des variétés de Schubert [DG84], enfin si alors on trouve trivialement
où est un sous-groupe de Borel de .
Dans le chapitre 1, on fait un survol rapide de la théorie des groupes algébriques et des algèbres de
Lie en s’attardant plus particulièrement sur les propriétés attachées au système de racines d’une algèbre de
Lie, car c’est l’outil incontournable que l’on sera amené à utiliser dans les deux derniers chapitres.
Dans le chapitre 2, on fait un rappel sur les propriétés des orbites nilpotentes et des deux classifications
classiques des orbites nilpotentes qui sont celle de Dynkin et celle de Bala-Carter.
Dans le chapitre 3, on rappelle comment la théorie des fibrés principaux intervient dans la réalisation
des applications de Springer généralisées et des résolutions des adhérences des orbites nilpotentes, on
redonne les démonstrations classiques des constructions de ces applications et on apporte une preuve
différente en ce qui concerne la résolution de Springer.
Dans le chapitre 4, on donne une mince perspective des nouvelles directions de recherche dans l’étude
des orbites nilpotentes; notamment, l’approche symplectique a été développée dans les années 80 et semble
être de nos jours la voie adoptée par la plupart des chercheurs.
Dans le chapitre 5, on fait une étude des orbites nilpotentes en étudiant plus spécialement les applications
de Springer généralisées ; on obtient un résultat sur la dimension des fibres de ces applications, (cf.
théorème 5.1.1), qui constitue une généralisation de ce qui a été effectué par R. Steinberg pour la résolution

– Introduction – 4
de Springer, [Ste74, Ste76], ce dernier résultat va nous permettre de donner la description de certaines composantes
irréductibles des fibres de (cf. proposition 5.1.3). Ensuite, on s’attachera à l’étude de
¦ ¨© ¢¡¤£
en décrivant explicitement la trace d’une orbite de Richardson sur le radical nilpotent de , où est
une sous-algèbre parabolique. Et si
est un élément dans une orbite adjacente à (i.e. si
, alors ou bien ), alors on décrit très exactement la géométrie de la fibre de
au dessus de
, (cf. théorème 5.2.8). Enfin, si est de codimension 2 dans et sous une autre condi-
tion (cf. théorème 5.3.5), en adoptant le travail de H. Esnault [Esn76], on montre que le germe de surface
¦ © est un germe de surface de type où est une section transverse à l’orbite de dans au
£
point
, ceci redémontre le résultat établi par Win H.Hesselink, H. Kraft et C. Procesi, [Hes76b, KP81], et
par la même occasion on en déduit £ © £ ¦ © que est la désingularisation minimale
du germe de surface £ ¦ © , ce qui généralise le travail de H. Esnault dans le cas de ¢¡¤£ ¦ ¨© .
Dans le chapitre 6, en se basant sur la correspondance de N. Spaltenstein [Spa76], on détermine pour
toute composante irréductible de l’espace des drapeaux complets fixés par un endomorphisme £ ¦ ©
nilpotent
, l’unique cellule de Schubert C de l’espace des drapeaux complets telle que le sous-espace
C est dense dans , (cf. théorème 6.1.2). De ce résultat, on va pouvoir obtimiser le calcul explicite
des fibres de Springer au dessus de
(cf. proposition 6.3.2) et on déterminera le graphe de résolution de la
fibre de Springer au dessus d’un élément de l’orbite nilpotente minimale de £ ¦ ¨© , (cf. page 70).

Chapitre 1
Généralités
1.1 Préliminaires
Ce chapitre présente des rappels sur les groupes algébriques et les algèbres de Lie [Bou81, Spr98].
un corps algébriquement clos. Notons par
Soit
sur . Soit un idéal de . Posons
£ ©
¦¦
l’algèbre des polynômes à indéterminées
¦ £ ©
de sorte que £ © est l’ensemble des zéros communs à tous les polynômes de . On dit que £ © est l’ensemble
algébrique affine défini par . Les ensembles algébriques affines sont les fermés d’une topologie sur
, appelée topologie de Zariski.
Soit une partie de . Notons par
£ ©
¦ £ ©
£ © alors est l’idéal des polynômes qui s’annulent
sur . La restriction sur des polynômes de forme
une -algèbre qui est isomorphe
¢¢ £ © à .
Alors est une -algèbre réduite de type fini, appelée
l’algèbre affine de X . En munissant de la topologie induite de Zariski, on dira que est irréductible si
n’est pas l’union de deux fermés propres. Alors, cette définition est équivalente au fait que £ © l’idéal
est
premier ou encore que l’anneau est intègre.
à valeurs dans est dite régulière au point x s’il existe ¦
Soit un ensemble algébrique affine et soit
. Une fonction définie dans un voisinage de
dans
de
et
et un voisinage ouvert
sur lequel ne s’annule pas et tels £ © £ ©¤£ © que pour tout . Si
est un ouvert de
si est régulière en tout point de , alors on dira que est régulière sur . Notons £© par la -algèbre
des fonctions régulières sur . Alors, on obtient les deux propriétés suivantes:
(A) Si
, la restriction définit un morphisme d’algèbres
sont deux ouverts non vides
de
© £ © £
(B) Soit
¢ un recouvrement d’ouverts de . Supposons
que pour tout , on a
une
£©
fonction
telle que si
n’est pas vide, les restrictions de et à donnent
une £
© même fonction de . Alors il
£©
existe une fonction dont
la restriction
à
est ,
pour tout .
L’application qui à tout ouvert de
associe £©
la -algèbre , est appelée le faisceau structural
des fonctions sur
. La paire £ © est appelée une variété algébrique affine sur . On appelle une
¦
prévariété sur la donnée
d’une paire £ © telle que, ¦
soit un
espace topologique quasi-compact,
soit un faisceau d’anneaux sur
, et tout point de possède un voisinage tel que la paire £¦ © soit
isomorphe à une variété algébrique affine sur , un tel voisinage sera qualifié d’affine. Soient et
deux ensembles algébriques affines, alors l’espace § produit
sur , son algèbre affine est donnée par le produit
tensoriel .
Soit à présent une prévariété sur . Notons par la diagonale de l’espace produit
5
est un ensemble algébrique affine
. On munit alors

1.2. – Groupe algébrique – 6
de la topologie induite sur
. On dira que
est une variété algébrique sur si est fermé
dans
(axiome de séparation).
Si une application entre deux variétés algébriques sur , on dira que est un morphisme
algébrique si, pour tout point de
, il existe un ouvert affine contenant et un ouvert affine contenant
£ © tels que la restriction de à , soit une application dont les composantes sont des
fonctions régulières. L’application induit alors le morphisme de faisceaux défini de la
manière £ © suivante: , on appellera le comorphisme associé à .
Soit une variété algébrique affine sur , on appelle la dimension de
, notée £ © le maximum des
longueurs de chaînes de sous ensembles distincts fermés et irréductibles de
. Ce
nombre est aussi donné par la dimension de Krull de son algèbre
affine , [Per95, p. 84]. Pour une
variété algébrique, on définit sa dimension comme étant le maximum des dimensions de ses ouverts affines.
Tout fermé irréductible et maximal de est appelé une composante irréductible.
1.2 Groupe algébrique
Ce paragraphe donne les quelques rappels importants et les outils qui seront utilisés dans la suite.
Définition 1.2.1. On appelle groupe algébrique sur , la donnée d’une variété algébrique munie d’une
structure de groupe telle que les applications multiplication et ¦£ ¦©
inverse ,
soient des morphismes algébriques.
Un sous-groupe fermé du groupe algébrique est un sous-groupe qui est fermé pour la topologie
¦
de Zariski. Alors est muni d’une structure de groupe algébrique telle que l’inclusion soit un
morphisme algébrique.
Soient ¦ deux groupes algébriques. Un morphisme de groupes algébriques est un homomorphisme
de groupes qui soit aussi un morphisme algébrique.
Remarque 1.2.2. Si est un groupe algébrique “affine”, alors est isomorphe à un sous-groupe fermé
d’un certain GL £ ¦ © , (cf. [Bor91, p. 54]); par conséquent lorsqu’il s’agira de groupes algébriques affines,
on pourra se ramener à des sous-groupes d’un certain groupe linéaire.
Exemple 1.2.3.
(1) A muni de l’opération d’addition comme loi de groupe.
(2) A muni de l’opération de multiplication.
(3) Tout sous-groupe fermé de GL £ ¦ © est un groupe algébrique:
Tout sous-groupe fini.
Le groupe D des matrices diagonales inversibles.
Le groupe T des matrices triangulaires supérieures ©
GL £ ¦ © avec pour £ .
Le groupe U des éléments unipotents triangulaires supérieurs, c’est à dire les éléments de T dont
les coefficients de la diagonale valent tous 1.
Le groupe spécial linéaire SL £ ¦
GL £ ¦ © £ © .
©
Le groupe orthogonal O
GL £ ¦ © .
Le groupe symplectique Sp
GL £ ¥¦ ©
, où est la matrice
Voici un premier résultat concernant les groupes algébriques:
Proposition 1.2.4 ([Spr98] p. 25).
i) Il existe une unique composante irréductible de qui contient l’élément neutre e; c’est un sousgroupe
distingué et fermé d’indice fini;
ii) est l’unique composante connexe de qui contient e;

1.3. – Algèbre de Lie d’un groupe algébrique – 7
iii) Tout sous-groupe fermé de G d’indice fini contient .
Remarque 1.2.5. En combinant © et © de cette proposition, on en déduit que pour les groupes algébriques
les notions d’irréductibilité et de connexité coïncident. De plus, toutes les composantes irréductibles de
ont la même dimension. La composante est appelée la de .
Définition 1.2.6. On appelle une G-variété, la donnée d’une variété algébrique
morphisme de §
variétés
.
¦
et
sur telle qu’il existe un
, noté £ ¦© vérifiant £©£ ©¦ pour tout
Une -variété homogène est une -variété sur laquelle agit de manière transitive. Soient ¦ deux
équivariant, si £ © £ © pour tout
et pour tout
-variétés algébriques sur . Un morphisme algébrique
L’orbite d’un point de
est l’ensemble
Le groupe d’isotropie (ou stabilisateur) de dans est le sous-groupe fermé
est appelé un -morphisme ou encore
Exemple 1.2.7.
(1) et agit par automorphismes intérieurs de la manière suivante: £ ¦© . Les
orbites sont les classes de conjugaison et les sous-groupes d’isotropie sont les centralisateurs des éléments
de .
(2) et agit par translations à gauche (resp. à droite): £ ¦© (resp. ). Ceci est un
exemple d’espace homogène.
(3) Soit un espace vectoriel de dimension finie sur . On appelle une représentation de sur
la donnée d’un homomorphisme de groupes algébriques GL £© . On dira aussi que est un G-
module. Dans ce cas, l’espace vectoriel est une variété affine isomorphe à
que dans ce cas, on obtient une action de dans l’espace projectif P £© . On dira que est un G-module
simple si les seuls sous-espaces stables par l’action de sont et .
Rappelons un résultat général concernant l’action d’un groupe:
Proposition 1.2.8 (Chevalley - [Spr98] p. 28). Soit une G-variété. Alors on a:
i) Toute orbite est ouverte dans son adhérence;
ii) Il existe des orbites (sous l’action de ) qui sont fermées dans
.
1.3 Algèbre de Lie d’un groupe algébrique
.
. Remarquons aussi
Ce paragraphe présente les liens entre le groupe algébrique et son espace tangent muni d’une structure
d’algèbre, usuellement appelé son algèbre de Lie.
Définition 1.3.1. On appelle une algèbre de Lie sur , la donnée d’un -espace vectoriel muni d’un
appelé le crochet de Lie de , qui est bilinéaire et tel que:
produit £ ¦ ©§
¦
¦
a) pour tout
b) (identité de
¦
Jacobi):
;
¦
¦ ¦
¦
¦
, pour tout et de . ¦
Soit le fibré tangent du groupe algébrique £ § © et l’espace des champs de vecteurs sur .
On sait £ © que est isomorphe à ¢£ © l’espace des dérivations de (où est l’algèbre des
fonctions régulières sur ) et qu’il est naturellement muni d’une structure d’algèbre de Lie, (cf. [Bor91,
p. 36]); le crochet de Lie est défini de la manière suivante: si sont deux dérivations de , alors
¦
¦
. Notons par et les opérations de sur lui-même par translations à gauche et
à droite de l’exemple précédent. Soit un champ de vecteurs sur . Pour tout
élément
, on peut

1.3. – Algèbre de Lie d’un groupe algébrique – 8
définir le champ de vecteur
image (resp.
que est un champ de vecteurs invariant à gauche (resp. à droite) si pour tout
(resp.
) de par (resp. ), (cf. [Bor91, p. 64]); on dira
on a
). Notons par le morphisme inverse
sur . Alors on a le résultat suivant:
Proposition 1.3.2 ([Spr98] p. 71).
i) Si
et
sont deux champs de vecteurs invariants à gauche (resp. à droite), alors il en est de même
de leur crochet;
ii) Si
est invariant à gauche (resp. à droite), alors
, le champ de vecteurs image de
par , est
invariant à droite (resp. à gauche);
iii) Si X est invariant à gauche (resp. à droite), il en est de même de
(resp.
Le résultat © nous dit que l’espace des champs de vecteurs invariants à gauche (resp. à droite) est une
algèbre de Lie.
De plus, l’application
, établit un isomorphisme entre l’espace des champs de vecteurs invariants
à gauche et , (cf. [Spr98, p. 71]). Ainsi, on peut munir l’espace tangent au point neutre d’un groupe
algébrique d’une structure d’algèbre de Lie, on appelle alors l’algèbre de Lie du groupe algébrique
, que l’on notera par . Puisque tout groupe algébrique affine se plonge dans un certain GL £ ¦ , (cf. re- ©
marque 1.2.2), toute algèbre de Lie d’un groupe algébrique affine peut être plongée dans certain ¡¤£ ¦ © un ,
¡¤£ ¦ © où est l’espace des matrices carrées d’ordre , muni du crochet de Lie qui est défini de la manière
suivante: ¦
¡¤£ ¦ © si , on ¦ pose . Si maintenant est un sous-groupe algébrique
fermé de , alors son algèbre de Lie pourra être identifiée à une sous-algèbre de Lie de .
Soit un groupe algébrique sur , d’algèbre de Lie . Soient et (resp. et ) deux parties de
(resp. de ). Notons par £ ¦ © (resp. ¦ ) le sous-groupe de (resp. la sous-algèbre de Lie de )
engendré par les éléments de la forme avec et
(resp.
¦
avec
et ).
Définition 1.3.3.
a) On dit que (resp. ) est un groupe résoluble (resp. une algèbre de Lie résoluble) si la suite dérivée
de sous-groupes (resp. de sous-algèbres de Lie):
¦ £ ¦ ©¦¦ £ ¦ ©¦
resp ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦©
£
s’annule pour un certain .
Si est connexe, alors est résoluble si et seulement si est résoluble.
b) Soit un idéal de . On dira que est un idéal résoluble si est résoluble en tant qu’algèbre de Lie.
Dans la suite de notre exposé, nous allons nous placer sur le corps des
nombres complexes sauf pour le dernier chapitre où sera seulement un corps
algébriquement clos, tous les groupes algébriques considérés seront affines et les
algèbres de Lie des algèbres de Lie de groupes algébriques.
).
Soit un groupe algébrique sur ¨ , d’algèbre de Lie . Une représentation de (de dimension ) est
une application linéaire ¡¤£©£ ¡¤£ ¦ ¨©© , où est un ¨ -espace vectoriel de dimension , telle
que pour tout on a ¦ ¢£ ¦
©¢£ ©¢£ ©¢£ ©¢£ © , on dira aussi que est un -module. On dira
que est un -module simple si les seuls sous-espaces invariants par sont et .
Soit
un élément d’une algèbre de Lie.
Notons par l’endomorphisme de défini de la
£ manière
©
¦
suivante: pour tout
. ¡¤£ © Le morphisme est une représentation de ap-
pelée la représentation de adjointe . On dira que est un élément semi-simple si
l’endomorphisme sur
est semi-simple, c’est à dire si les racines de son polynôme minimal sont toutes distinctes; mais puisque
¨
est algébriquement clos, c’est aussi équivalent au fait
que soit un endomorphisme diagonalisable.
De même, on dira que
est un élément nilpotent
si est un endomorphisme nilpotent. Alors on obtient
la décomposition classique suivante dite décomposition de Jordan-Chevalley: pour tout élément
il
existe un unique élément semi-simple
et un unique élément nilpotent
de tels que
et
et
. On a une
¦
§ . L’élément
est appelé la partie semi-simple de
la partie nilpotente de

1.3. – Algèbre de Lie d’un groupe algébrique – 9
décomposition analogue en ce qui concerne les éléments de tout groupe algébrique, (cf. [Bor91, théorème
4.4 p.83]): puisque se plonge dans un certain GL £ ¦ ¨© , (cf. remarque 1.2.2), ses éléments sont en particuliers
des endomorphismes sur ¨ ; un
élément est dit semi-simple (resp. unipotent) si (resp.
¢ ) est un endomorphisme semi-simple (resp. nilpotent) sur ¨ ; alors tout élément du groupe
peut s’écrire de manière unique comme le produit d’un élément semi-simple et d’un élément unipotent qui
commutent entre eux.
Notons £ © par l’action de sur lui-même par automorphismes intérieurs. Puisque l’au-
tomorphisme laisse stable l’élément neutre , sa différentielle en , notée , est un isomorphisme
linéaire de ; on obtient alors un morphisme GL £ © qui est une représentation de sur
son algèbre de Lie appelée la représentation adjointe du groupe algébrique sur son algèbre de Lie. Soit
£ ©
GL £ © £
¦
©§ £ ©¦ £ © ¦
le groupe des automorphismes de . Notons £ © par , la composante neutre £ © de . Le
groupe
est appelé le groupe adjoint de .
¦ Soient deux parties de . On dit que et sont conjugués par s’il existe un élément tel
£ © que . Une sous-algèbre de Lie de est appelée un tore si c’est une sous-algèbre abélienne
(c’est à ¦ dire ) et si tous ses éléments sont semi-simples (on notera que la première hypothèse
est superflue, car le caractère abélien est automatiquement acquis . . . (cf. [Hum72, p. 35]). Nous verrons
dans la suite l’importance des sous-algèbres de Lie résolubles; il est bon de rappeler quelques propriétés les
concernant. Notons ¢ par le sous-ensemble des éléments nilpotents de :
Théorème 1.3.4 ([Bor91] p. 138). Soit une algèbre de Lie résoluble sur ¨ . Alors
i) L’ensemble est un idéal de qui contient ¦ ;
ii) L’algèbre quotient ¢ est un tore; si est un tore maximal de , alors on a la décomposition
suivante: ;
Soit un groupe algébrique connexe résoluble sur ¨ , d’algèbre de Lie .
iii) Tous les tores maximaux de sont conjugués entre eux par ;
iv) Tout élément semi-simple de est conjugué par à un élément de .
Ces quatre propriétés sont aussi vraies pour le groupe .
Soit une algèbre de Lie quelconque sur ¨ . Soient et deux idéaux résolubles de . Alors est
un idéal, et puisque £ © est isomorphe à £ © , alors £ © est résoluble, par conséquent
est résoluble (cf. [Hum72, p. 11]). Ceci montre qu’il existe un unique idéal résoluble de qui contient tout
autre idéal résoluble de . Cet idéal résoluble maximal est appelé le radical de . Puisque est une algèbre
de Lie résoluble, d’après © du théorème précédent est une sous-algèbre de Lie de qui est appelée le
radical nilpotent de .
Définition 1.3.5. Soit une algèbre de Lie sur ¨ . On dira que est une algèbre de Lie semi-simple (resp.
réductive) si (resp. ).
On dira que est une algèbre de Lie simple si n’a pas d’autres idéaux que et .
Citons alors le théorème célèbre de Décomposition de Levi:
Théorème 1.3.6 ([Vara84] p. 224). Soit une algèbre de Lie sur ¨ et son radical. Alors il existe une
sous-algèbre de Lie semi-simple telle que l’on a la décomposition suivante:
Puisque le radical d’une algèbre de Lie est un idéal, on en déduit aussitôt qu’une algèbre de Lie simple
de dimension ¥ est à fortiori semi-simple.
Une caractérisation plus courante d’une algèbre de Lie semi-simple sur ¨ , est d’avoir la forme de Killing
, définie par:
£ ¦ © ¢£
© ¦

1.4. – Représentation de ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© – 10
non-dégénérée, (cf. [Hum72, p. 22]). De plus dans une algèbre de Lie semi-simple, il existe des idéaux
¦¦ de qui sont simples (en tant qu’algèbres de Lie), tels que
Tout idéal simple de coïncide avec l’un d’entre eux, et la restriction de la forme de Killing de sur
est égale à la forme de Killing de , (cf. [Hum72, p. 23]). Enfin une chose importante à remarquer est que
dans le cas où est semi-simple, on peut aussi voir comme étant le sous-groupe connexe de GL£ ©
dont l’algèbre de Lie £ © est , et on a l’inclusion £ © suivante: , (cf. [CM93, p. 8]).
Notons
par
le centre de . Alors on a le résultat suivant:
¦
Lemme 1.3.7 ([CM93] p. 4). Les conditions suivantes sont équivalentes:
i) L’algèbre de Lie est réductive;
ii) On a la décomposition
¦ suivante: , ¦ et est un idéal semi-simple de ;
iii) Il existe une ¡¤£© représentation, telle que la forme bilinéaire sur définie ¢£ £ ©
par
£ ©© pour tout ¦
soit non-dégénérée.
1.4 Représentation de
Avant de passer à la théorie générale des systèmes de racines d’une algèbre de Lie semi-simple qui
est liée à la représentation adjointe, revoyons la théorie des représentations de ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© .
¥§¦ ¨© ¦¦
¨
¢¡¤£
La base standard de ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© est donnée par les éléments suivants:
qui vérifient les relations
¦ ¦
¦
¥ ¦ ¦
¥ ¦
¦
Soit un idéal non trivial de ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© et soit
un élément non nul de . Alors on a
¦
¦ ¥
et
¦
¦ ¥
. Si ou
est non nul, alors contient ou
et comme
¢£¨© on en déduit que ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© . Si , alors
¡ et par les relations au dessus on en
déduit encore ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© que . Ceci montre ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© que est une algèbre de Lie simple.
Soit ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© une représentation de dimension finie de ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© . Puisque est semi-simple,
¢£
alors
© est également semi-simple, (cf. [Hum72, p. 30]). Ceci nous permet d’avoir une décomposition de
en somme directe de sous-espaces vectoriels propres £¢ ¢£ © . Alors, on obtient
immédiatement le lemme utile suivant:
Lemme 1.4.1 ([Hum72] p. 31). Si ¤¢ , alors ¢£ © ¥¢§¦ et ¢£ © ¤¢
Donnons alors le résultat général de classification des ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© -modules simples.
Théorème 1.4.2 ([Hum72] p. 33). Soit un ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© -module simple de dimension finie via la représentation
¢¡¤£ ¥§¦ ¨© .
i) Relativement à ¢£ © , est somme directe des sous-espaces propres £¢ avec ¦¥§¦¦
£ ¥§©¦ où £© et on a £¥¢© ;
ii) L’espace vectoriel contient une unique droite £¢ telle que ¢£ ©¥¢ , § est appelé le poids
maximal de ;
iii) Il n’existe (à isomorphisme près) qu’un seul ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© -module simple de dimension , pour tout
;

1.5. – Système de racines – 11
iv) Si ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© est une représentation de ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© de dimension finie. Alors les valeurs propres de
¢£ © sont tous des entiers; pour chacune des valeurs propres de ¢£ © on y trouve son opposée.
Remarque 1.4.3.
i) D’après le théorème 1.4.2 © , suivant la parité de la dimension du sous-module simple, 0 ou 1
apparaît comme valeur propre pour ce sous-module et il n’apparaît qu’une seule fois; par conséquent, le
nombre de sous-modules irréductibles pour un ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© -module est égal à la somme des multiplicités des
valeurs propres 0 et 1.
ii) On notera au passage que le sous-espace vectoriel ¢£ est stable par
© ¢£ . On peut donner un
©
supplémentaire à ¢£ dans qui soit stable par ¢£ © car ce dernier est un endomorphisme semi-simple,
©
alors d’après le lemme 1.4.1 il suffit de considérer ¢£ © ; toujours par ce lemme, on
constate que tout sous-module simple de fournit une unique droite vectorielle propre, de valeur propre
négative ©¨ (relativement à ), qui sera contenue dans ; par conséquent on en déduit que est de
dimension £ £ © © . Cette remarque est intéressante, car nous reviendrons un peu plus tard,
pour donner une “section transverse” à une orbite nilpotente, (cf. page 52).
1.5 Système de racines
Soit un groupe algébrique réductif, d’algèbre de Lie . Alors contient nécessairement des éléments
semi-simples sans quoi serait une algèbre de Lie nilpotente (théorème d’Engel, [Hum72, p. 12]). Par
conséquent, contient des tores non triviaux. Un tore maximal de est appelé une sous-algèbre de Cartan
de . Une propriété intéressante attachée à cette dernière est que dans une algèbre de Lie réductive, une
sous-algèbre de Cartan est égale à son centralisateur dans , [Bor91, p. 175]. De plus, les sous-algèbres de
Cartan sont toutes conjuguées entre elles sous l’action adjointe de , [Spr98, p. 108], elles ont alors toutes
la même dimension et cette dimension commune est appelée le rang de .
Considérons la représentation adjointe de sur elle même. Soit sous-algèbre de Cartan de . Puisque
est constituée d’éléments -semi-simples qui commutent tous entre eux, on a alors une décomposition
simultanée de en sous-espaces propres pour chacun des
endomorphismes , où
. Notons par
avec
¦
£ © pour tout
. Alors on obtient la décomposition suivante dite décomposition de Chevalley-Cartan de :
¢ ¦
où est un sous-ensemble fini de , appelé le système de racines de , les éléments de sont
appelés les racines de relativement à .
Les propriétés qui sont liées à sont très intéressantes car c’est grâce au système de racines, notamment à
la disposition des vecteurs de que l’on parvient à classifier les algèbres de Lie semi-simples complexes
ainsi que leurs représentations, [Ser66].
Lemme 1.5.1 ([Hum72] p. 36/37).
i) La restriction de la forme de Killing à la sous-algèbre de Cartan est non-dégénérée.
ii) Si ¦ sont deux racines telles que ¡
forme de Killing.
, alors est orthogonal à relativement à la
La non-dégénérescence de la forme de Killing sur la sous-algèbre de Cartan , nous permet d’identifier
, il existe un unique vecteur
et cela pour tout vecteur
Théorème 1.5.2 ([Hum72] p. 37/39).
i) Les vecteurs de engendrent ;
et son dual . Alors pour toute racine
.
tel que £ © £ ¢¦ ©

1.5. – Système de racines – 12
ii) Si
iii) Soit
, alors
et c’est la seule racine qui est proportionnelle à ;
une racine. Alors, pour tout vecteur
et
, on a la relation suivante:
¦
£ ¦ © ; de plus, la forme de Killing met en dualité les espaces et ;
iv) Pour toute
racine ¦ , est de dimension 1 de base ;
v) Pour toute
racine , on a la relation £ ¢© £ ¢¦ ¢© suivante: ;
vi) Pour toute
racine , si est un vecteur non nul de , alors il existe un vecteur
tel que les vecteurs ¦
¦ engendrent une sous-algèbre de Lie de dimension 3,
¦
isomorphe à ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© via le morphisme
¦
vii) On a la relation suivante qui lie les deux vecteurs et ¥
:
¦
viii) L’algèbre de Lie est engendrée par les sous-espaces propres .
£ ¢¦ ¢© et ;
Puisque la forme de Killing établit un isomorphisme entre et , elle définit une forme bilinéaire
symétrique non-dégénérée £¦© sur vérifiant les relations suivantes: £ ¦© £ ¢¦ © et cela pour toutes
racines ¦ .
Notons par le -espace vectoriel de engendré par l’ensemble des racines. Alors la restriction
de la forme bilinéaire symétrique £¦© définie ci-dessus sur est une forme bilinéaire définie positive,
[Hum72, p. 40]. Notons par le -espace vectoriel obtenu en faisant une extension du corps
de base à et par £¦© l’extension à l’espace de la restriction de la forme bilinéaire £¦© . Alors
¦£¦© © est un espace euclidien.
£
Pour toute racine
, notons par
la réflexion sur définie de la manière £ ©
suivante:
¥£ ¦ © £ § ¦ © . Notons par le sous-groupe de GL £ © engendré par les réflexions , avec
Alors est un groupe fini, appelé le groupe de Weyl associé au système de racines . La paire £ ¦ ©
vérifie les axiomes d’un système de racines, [Bor91, p. 187]:
(1) L’ensemble est fini, engendre et ne contient pas le vecteur nul;
(2) Pour tout
hyperplan et £ © ) qui laisse stable ;
(3) Si ¦ alors £© avec .
Les éléments de sont appelés les racines du système . On appelle une base du système de racines , la
donnée d’un sous-ensemble de qui soit une base de et telle que tout élément de puisse s’écrire
comme une combinaison linéaire des éléments de dont les coefficients sont des entiers de même signe; de
tels sous-ensembles existent, [Hum72, p. 48], pour cela il suffit de prendre un vecteur quelconque de
.
, il existe une réflexion hyperplane ¢ relativement à (c’est à dire que fixe un
en dehors des hyperplans donnés par les réflexions ¢ avec
trouvent du même côté de l’hyperplan orthogonal à (relativement à la forme £¦© ) on ne garde que ceux
qui ne peuvent pas être écrits comme somme de deux autres éléments.
Les éléments de sont appelés les racines simples. On appelle alors une racine positive (resp. négative)
(relativement à S), toute racine dont les coefficients sont positifs (resp. négatifs). L’ensemble des racines
positives (resp. négatives) sera noté par © (resp. , on pourra aussi noter par (resp. )
, ensuite parmi les éléments de qui se
¦
pour désigner une racine positive (resp. négative). Les hyperplans donnés par les réflexions avec
, partitionnent le complémentaire de leur union dans en un nombre fini de composantes connexes,
appelées les chambres de Weyl (ouvertes) de .
On a rappelé plus haut que pour extirper une base du système de racines on s’est fixé un vecteur
dans une certaine chambre de Weyl; alors il se trouve qu’en considérant tout autre vecteur de cette même
chambre, on retrouve la même base, de plus les vecteurs de cette chambre de Weyl sont les seuls vecteurs
qui, par ce procédé, donnent cette base. Toute base se construit par ce même procédé. Par conséquent il y a
une bijection entre les chambres de Weyl et les bases du système de racines , [Hum72, p. 49]. La chambre
de Weyl qui donne la base considérée est appelée la chambre fondamentale de Weyl relativement à la base
(ou domaine fondamental), que nous noterons par . Par conséquent on a:
£ ¦ © ¦ pour tout

1.5. – Système de racines – 13
Avec l’isomorphisme donné par la forme de Killing on peut avoir la même vision sur l’algèbre de Cartan
: la famille de vecteurs , vérifiant £ © £ ¢¦ © pour tout
, forme un système de racines de
l’espace euclidien qui est l’espace vectoriel dual à , et n’est rien d’autre qu’une forme réelle de
l’algèbre de Cartan , on
¢
a , et le complexifié de la chambre fondamentale correspondant
au choix des racines simples est le sous-espace donné par:
¢£ £ ©© et si ¢£ £ ©© ¦ alors £ £ ©© ¦
Ce dernier ensemble sera aussi appelé le domaine fondamental correspondant au choix de la base .
On associe également à l’algèbre de Lie, un graphe qui se construit de la manière suivante: à chaque racine
simple on associe un sommet, et deux sommets ¦ distincts sont joints par arêtes. On
notera au passage que ¦ ¦¥§¦ , [Vara84, p. 293]. Le diagramme ainsi obtenu est appelé le
diagramme de Dynkin de .
Voyons les propriétés concernant le groupe de Weyl:
Théorème 1.5.3 ([Hum72] p. 51). Soit une base du système de racine , et soit son groupe de Weyl.
i) Le groupe de Weyl est engendré par les réflexions simples (c’est à dire par les réflexions avec
) et il agit simplement et transitivement sur les chambres de Weyl ainsi que sur les bases du
système de racines;
ii) Si est une racine, alors il existe un élément de tel que£ ©
.
Puisque les réflexions simples engendrent le groupe de Weyl , tout élément de peut s’écrire
sous la forme d’un produit fini de ces réflexions simples. On appellera la longueur de (relativement à ),
notée £ © , le nombre minimum de réflexions simples entrant dans une écriture de , une telle écriture sera
qualifiée de ´ . Alors on a un autre moyen de déterminer cette longueur, il est donné par, [Hum72,
p. 52], [Hum92, p. 114]:
©
¦
£ ©
£
Pour tout élément et pour toute racine simple , on a:
£ ¢©£ © , [Hum92, p. 116]; cette
relation s’explique par l’existence ou non d’une écriture réduite de se terminant par , [Spr98, p. 142].
Soit un sous-ensemble de . Notons par le sous-groupe de engendré par les réflexions simples ¢
avec
. Désignons par le sous-ensemble de racines qui ont une écriture à partir des racines simples
. Alors est un système de racines, de groupe de Weyl , [Hum92, p. 19]. Notons par:
¤ £ ©£ ©¢
¤ £ ©£ ©£ ©¢
Par l’interprétation précédente de la fonction longueur on obtient:
Alors on a la propriété suivante:
Proposition 1.5.4 ([Hum92] p. 20).
¤ £ ©
¤ £ © £ ©
(1.1)
i) Tout élément peut s’écrire de manière unique sous la forme suivante:
avec
, et £ ©£ © £ © vérifiant . De plus, est l’unique élément de longueur
minimale de la classe .
ii) Tout élément peut s’écrire de manière unique sous la forme suivante:
, ¦ et vérifiant £ ©£ © £
de longueur minimale de la double classe ¤ .
© £ © . De plus,
avec
est l’unique élément

1.5. – Système de racines – 14
Par conséquent l’ensemble des classes de (resp. doubles classes de ) est en
bi-
(resp. (resp.
jection avec
fonction longueur) des classes de (resp. des doubles classes de ).
). Les éléments de
) sont les représentants minimaux (pour la
Voyons ce que ces objets combinatoires nous apportent comme informations sur la structure du groupe
algébrique et de son algèbre de Lie .
Définition 1.5.5. On appelle une sous-algèbre de Borel de , la donnée d’une sous-algèbre de Lie qui est
résoluble maximale.
¦ Si sont deux racines telles que , ¦ ¦ alors . Alors, on en déduit
est bien une sous-algèbre de Lie de . Soient
¢¥
que l’espace vectoriel
et
¦
¦
deux éléments de , avec
et
¢¥ , alors
¦
¦
¦
¦
¦ et on a
¦
,
¦
¦
¦
¢ , par conséquent
il est facile d’en déduire que est une sous-algèbre de Lie résoluble et son radical nilpotent est donné par
¢¥ .
Soit une sous-algèbre de Lie qui contient strictement ; en particulier contient la sous-algèbre de Cartan
, alors relativement à la diagonalisation simultanée par rapport à , la sous-algèbre contient une droite
¦
. Mais par le théorème 1.5.2 © , doit contenir une sous-algèbre de Lie isomorphe
à ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© qui est une algèbre de Lie simple, par conséquent ne peut pas être une sous-algèbre de Lie
résoluble car sinon toutes ses sous-algèbres de Lie seraient également résolubles. On en déduit que est
une sous-algèbre de Borel de , que l’on appelle la sous-algèbre de Borel standard relativement au choix
de la base du système de racines.
avec
Définition 1.5.6. Une sous-algèbre de Lie est appelée une sous-algèbre parabolique (resp. parabolique
standard) si elle contient une sous-algèbre de Borel (resp. contient la sous-algèbre de Borel standard ).
Voyons à présent la structure d’une sous-algèbre parabolique standard. Soit une telle sous-algèbre.
Notons ¢ par son radical nilpotent, et par l’ensemble des racines telles que les droites et
soient contenues dans . Puisque est un idéal, les
endomorphismes avec
laissent stable
et ce dernier est donc une somme directe de certaines droites . Si est une racine positive telle
¢
que , alors on sait qu’il existe
va engendrer une sous-algèbre isomorphe à ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© , (cf. théorème 1.5.2 © ), par conséquent ne peut
contenir ni , ni . On en déduit
¢¥ que .
,
et
tels que le triplet ¦ ¦
Notons par l’ensemble des racines simples contenues dans . Montrons que les racines contenues
dans sont combinaisons linéaires des racines simples de . Soit une racine positive contenue dans
, alors on peut écrire , où est une racine simple pour tout . Faisons
un raisonnement par récurrence sur l’indice : si il n’y a rien à dire, sinon quitte à réordonner les
indices, on peut écrire où est une autre racine positive définie par , mais
puisque
si ¢ alors ¦ ¢ ce qui est contradictoire, on en déduit que et par récurrence
et que £¤
¡ , alors ¦ ; sachant que est un idéal dans ,
©
est une combinaison linéaire des racines simples de . Soient maintenant
dans telles
que ; puisque ¦
et ¦¦ , on en déduit que
¦
n’est pas dans , alors avec un raisonnement par récurrence on peut vérifier qu’aucune
¦
racine de ne peut être une combinaison linéaire des racines simples de , ce qui démontre le
résultat.
Le même genre d’argument nous permettrait de voir que est bien un système de racines de groupe de
Weyl , le sous-groupe de engendré par les réflexions simples ¢
avec , (cf. commentaire avant
1.5.4, [Spr98, p. 147]). Par la même occasion on en déduit que ¡
¢ est une sous-algèbre de
¦ deux racines contenues
Lie que l’on appelle la composante de Levi de . Notons par le centre de ¡
. Puisque est un idéal
dont les éléments sont tous semi-simples, [Bor91, p. 158], on peut déjà affirmer qu’il est contenu dans la

1.5. – Système de racines – 15
sous-algèbre de Cartan ; en particulier si
, alors on
a
, par conséquent on a:
£ ©
£ © £ © pour tout
avec
¡
Montrons que le centralisateur de dans est exactement . Puisque est un tore, on peut alors faire
une diagonalisation simultanée de son centralisateur par rapport aux éléments de ; mais on vient de voir
que ce dernier est contenu dans , on peut affirmer que le centralisateur de dans est somme directe
de et de certaines droites . Si est dans ce centralisateur, alors il en est de § même de . Soit
une racine £
¢© positive telle que ; on
peut ¦
écrire avec et
£
.
¢© Puisque , on en déduit £
©
que . Mais on vient de voir que est exactement constitué
des éléments de sur lesquels les racines de s’annulent, par conséquent ce qui démontre notre
résultat. Nous pouvons remarquer § que l’espace quotient est une algèbre de Lie réductive (cf. théorème
1.3.6) qui est isomorphe à ¡ ; on peut également voir d’une autre façon que ¡ est réductive, c’est
¡
parce que
est le centralisateur du tore , [Bor91, p. 175]. De manière générale, on appelle sous-algèbre de Levi de
, tout centralisateur dans d’un tore.
Présentons à présent quelques propriétés concernant les sous-algèbres paraboliques:
Proposition 1.5.7 ([Hum72], p. 88).
i) Toute sous-algèbre parabolique standard s’obtient de la manière ci-dessus; c’est à dire qu’il existe
une partie de racines simples telle que si on note par le sous-système de racines engendré
par , on a alors ¡ ¢ , où ¡
algèbre de Lie réductive ¢
¢¥
et
¢ est le radical de ;
est la composante de Levi qui est une sous-
¢
est le radical nilpotent de ; de plus si
la composante de Levi, alors
ii) Toute sous-algèbre parabolique est conjuguée sous l’action adjointe de à l’une des sous-algèbres
paraboliques standards, et chaque classe de conjugaison de sous-algèbre parabolique a un unique
représentant standard; de plus toute sous-algèbre parabolique est égale à son normalisateur dans .
iii) Soit une sous-algèbre parabolique de . Alors l’ensemble des conjugués de sous l’action de
recouvre .
est le centre de
Du point de vue du groupe à présent. On appelle un sous-groupe de Borel (resp. parabolique) tout
sous-groupe fermé de dont l’algèbre de Lie est une sous-algèbre de Borel (resp. parabolique) de . Remarquons
au passage que l’on n’a pas besoin de demander à un tel sous-groupe d’être connexe car c’est une
propriété qui est automatiquement vérifiée, résultat dû à C. Chevalley, [Bor91, p.154]. De plus, dire que le
sous-groupe fermé est un sous-groupe parabolique revient exactement à voir que l’espace quotient
est une variété complète, [Bor91, p. 148].
Notons par G le groupe algébrique qui est le corps des nombres complexes muni de l’opération d’addi-
tion. Soit le sous-groupe fermé connexe de dont l’algèbre de Lie est la sous-algèbre de Cartan . Le
normalisateur de dans £
© , noté , est le même que le normalisateur de dans ; de plus est égal
à son centralisateur [Bor91, p. 175], et coïncide avec la composante neutre de son normalisateur, [Bor91,
p. 162]; alors le quotient
sur ; en particulier, il agit sur le système de racines et est identifié au groupe de Weyl , [Spr98, p. 132].
Pour chaque
racine , il existe un isomorphisme G de sur un unique sous-groupe fermé de
£ © est un groupe fini (cf. proposition 1.2.4 © ) qui agit aussi bien sur que
d’algèbre de Lie qui est donnée par le sous-ensemble de racines simple . Pour tout élément
normalisé par tel £© que , [Spr98, p. 132]. Soit un sous-groupe parabolique standard
,
fixons un représentant de £
© dans . Notons £ © par le sous-ensemble de racines, défini de la
manière suivante:
¦ £ ©
Soit le sous-groupe algébrique de engendré par les sous-groupes , avec
£ ©
est un sous-groupe du radical unipotent du sous-groupe de Borel standard .
Alors on a le résultat suivant, (cf. [Spr98, p. 145], [BT65, p. 100]):
£ © ; notons que

1.5. – Système de racines – 16
Théorème 1.5.8 (Décomposition de Bruhat-Tits).
i) Tout élément de admet une écriture unique de la forme suivante:
, où
est un certain
élément dans , , et
ii) On obtient une réunion disjointe de
doubles classes:
.
.
Notons par le groupe de Weyl du système de racine . D’après © du théorème précédent, tout
élément de peut s’écrire comme , pour un certain élément
; par la proposition 1.5.4
. Il est facile de voir que l’on a
, on peut écrire
© , avec
et
, d’où © .
¦ et
Ainsi la géométrie de l’espace quotient est liée à la combinatoire des classes de ainsi
qu’à celle des doubles classes de . Pour tout élément
notée C (resp. C lorsque est le sous-groupe de Borel standard), est appelée une cellule de
Schubert, son adhérence notée S C (resp. S C ) est appelée une variété de Schubert. Sur
le groupe de Weyl on a une relation d’ordre partielle dite relation d’ordre de Bruhat-Chevalley définie de la
manière suivante: soient
, l’image de dans ,
si pour toute écriture réduite
de
, on peut trouver une sous-expression de (avec ), telle que
¦ ; on écrira
. Par un résultat de C. Chevalley, [Che94], cette relation d’ordre est liée à la géométrie
des variétés de Schubert.
Proposition 1.5.9 (Chevalley - [Spr98] p. 150). Soient si et seulement si S S .
a
¦ deux éléments du groupe de Weyl. Alors on

Chapitre 2
Les éléments nilpotents
2.1 Généralités
Ce chapitre a pour but de présenter les résultats généraux sur les orbites nilpotentes.
Soit un groupe algébrique affine connexe sur ¨ . Soit son algèbre de Lie. Si est une algèbre de Lie
réductive, on a la
¦
décomposition suivante: , où est le centre ¦ de et est son
algèbre
dérivée qui est un idéal semi-simple, (cf. lemme ¢£ © 1.3.7). L’idéal
étant un tore, [Bor91, p. 158],
alors par définition (cf. page 9) il n’est constitué que des éléments -semi-simples, mais ses éléments sont
trivialement -nilpotents, si bien qu’on est amené à raffiner la définition d’un élément nilpotent.
Définition 2.1.1. Dans une algèbre de Lie réductive , un élément
¦ .
est dit nilpotent si
est un endo-
morphisme nilpotent et si
Pour l’étude des éléments nilpotents d’une algèbre de Lie, on pourra se limiter aux algèbres de Lie
semi-simples, et c’est dans ce cadre là que nous allons nous placer.
Remarque 2.1.2. Soit une algèbre de Lie semi-simple sur ¨ , que l’on peut voir comme une sous-algèbre
de Lie pour un ¡¤£ ¦ ¨© certain (cf. p. 8). Alors, un élément
de est nilpotent si et seulement si
(perçu comme un endomorphisme sur ¨ ) est nilpotent, [Hum72, p. 29], c’est à dire que les deux notions
coïncident bien.
Soit
un élément quelconque. D’après la proposition 1.5.7 © , il existe une sous-algèbre de
Borel de qui contient
. Si
est un élément nilpotent, alors il sera contenu dans le radical nilpotent
de , (cf. théorème 1.3.4); par conséquent la réunion de tous les radicaux nilpotents des sous-algèbres de
Borel (qui sont aussi les sous-algèbres de Lie nilpotentes maximales) est égale l’ensemble à des éléments
nilpotents de .
Dans la suite de l’exposé lorsqu’il n’y aura pas de confusion, pour désigner l’action adjointe de sur , on
notera plutôt £ © que .
Soit un élément quelconque de . On dira que est un élément régulier dans ou
que est une orbite
régulière dans
si est de dimension maximale, ce qui revient au même de dire que le
stabilisateur
de dans (ou encore son centralisateur dans ,
Lemme 2.1.3 ([Kos63] theorem 1 p. 359, [Hum72] p. 17). Soit
un élément d’une algèbre
de Lie réductive écrit dans sa décomposition de Jordan-Chevalley.
i) Alors
est régulier si et seulement si la dimension de son centralisateur dans est égale au rang de
.
ii) Un élément commute avec
si et seulement si commute avec
et avec
.
¦
Démonstration. © Soit un élément quelconque de . On vient de voir que
) est de dimension minimale.
est contenu dans une
algèbre de Borel . Notons par le sous-groupe de Borel d’algèbre de Lie . Alors on a £ ©
£
© . Mais puisque l’espace tangent à l’orbite
en n’est rien d’autre ¦
que , [LM87, p. 423],
ce dernier espace est contenu ¦ dans et d’après le théorème 1.3.4, l’algèbre ¦ dérivée est contenue
17

2.1. – Généralités – 18
dans le radical nilpotent de ; alors £ © £ © où est un tore maximal de et est le rang
de , ceci montre que la dimension du centralisateur dans de tout élément est minorée par le rang de .
Soit à présent
un élément semi-simple dans une sous-algèbre de Cartan . Notons par le système
de racines de relativement à . Puisque est une algèbre abélienne, on en déduit que est stable par
les endomorphismes , avec
; en particulier on peut dire que sera une somme directe de
et de certaines droites , et il est facile de voir que ce sont exactement les droites pour
lesquelles
et cela pour
£ © . Mais dans on peut facilement trouver des éléments pour £ © ¡
lesquels
toute
racine , ils se localisent dans les chambres de Weyl. Par conséquent, le centralisateur d’un
élément quelconque contenu dans une chambre de Weyl, est exactement ; ce qui montre l’existence des
éléments pour lesquels la dimension du centralisateur est égale au rang de .
Voir [Hum72, p. 17].
©
Donnons également une autre caractérisation d’un élément régulier.
Proposition 2.1.4 ([Kos63] proposition 13 p. 359). Soit
un élément écrit dans sa décomposition
de Jordan-Chevalley, où
est sa partie semi-simple et
sa partie nilpotente. Alors,
est un élément
régulier dans si et seulement si
est un élément régulier dans © , le centralisateur dans de la partie
semi-simple de
.
Démonstration. D’après le lemme précédent, les éléments qui commutent avec doivent aussi commuter
avec
, alors on en déduit que © . Le centralisateur de
dans © est l’ensemble des
éléments © dans qui commutent à la fois avec
et avec
, alors ils doivent aussi commuter avec
; on en déduit que est égal au centralisateur de
dans © . De plus, dans la démonstration
du lemme précédent on a vu que le centralisateur d’un élément semi-simple est une algèbre de Lie réductive
qui contient nécessairement une sous-algèbre de Cartan; le rang © de est donc le même que le rang de ;
on en déduit que
est régulier dans si et seulement si
est régulier dans © .
Ce résultat met en lumière un premier intérêt pour l’étude des orbites de se limiter à l’étude des
éléments nilpotents dans une algèbre de Lie réductive, et par la remarque faite en début du chapitre, on peut
même se placer dans une algèbre de Lie semi-simple. De plus, dans une telle algèbre de Lie on ne trouve
qu’un nombre fini d’orbites nilpotentes, ceci est un résultat dû à R.W. Richardson, [Ric67]:
Théorème 2.1.5 (Richardson - [Ste74] p. 102). Soit un groupe algébrique affine connexe sur ¨ , que
l’on pourra voir comme un sous-groupe d’un groupe linéaire GL £ ¦ ¨© , (cf. remarque 1.2.2). Notons par
son algèbre de Lie. Supposons qu’il existe un sous-espace de ¡£ ¦ ¨© tel que ¡¤£ ¦ ¨© et tel que
soit stable par l’action adjointe de . Alors chaque classe de conjugaison dans ¡¤£ ¦ ¨© sous l’action de
GL £ ¦ ¨© coupe en un nombre fini de classes de conjugaison sous l’action de .
Ce résultat s’applique en particulier à un groupe réductif, car il vérifie la propriété suivante:
Lemme 2.1.6 ([BS96] p. 112). Soit un groupe algébrique connexe sur ¨ . Soit GL(V) une
représentation de . Alors les assertions suivantes sont équivalentes:
i) L’action de sur est complètement réductible, c’est à dire que tout sous-espace -invariant de V
admet un supplémentaire qui est également -invariant;
ii) L’image de par est un sous-groupe réductif de GL(V);
iii) L’espace vectoriel est somme directe de sous-espaces irréductibles.
Dans ¡¤£ ¦ ¨© , les classes de conjugaison des matrices nilpotentes sont caractérisées par leurs blocs
de Jordan, plus précisément par les longueurs de leurs blocs de Jordan, et ces longueurs donnent ce que
l’on appelle une partition de n, c’est à dire la donnée d’une suite d’entiers r=
et . Si on permute les blocs de Jordan on retrouve la même classe de conjugaison, alors en
£
¦ ¦¦© tels que
ordonnant par ordre décroissant les entiers on a ce que l’on appelle une partition ordonnée qui caractérise
parfaitement cette classe de conjugaison. Par conséquent, le nombre de classes de conjugaison nilpotentes
¡¤£ ¦ ¨© dans est égal au nombre de partitions ordonnées de . D’après le théorème précédent, on en déduit
que les classes de conjugaison nilpotentes, sous l’action adjointe d’un groupe algébrique réductif, affine,
connexe sur son algèbre de Lie, sont en nombre fini.

2.1. – Généralités – 19
Voyons d’un peu plus près ce que ces orbites nilpotentes peuvent nous raconter. Puisque chaque
élément nilpotent se localise dans le radical nilpotent d’une sous-algèbre de Borel, qui n’est rien d’autre
qu’une sous-algèbre parabolique, on peut justement s’intéresser à ces dernières.
Pour la suite de notre exposé, les hypothèses et notations sur le groupe, son
algèbre de Lie, les racines,... seront fixées comme suit, on notera (H-N) pour désigner
ce cadre d’étude, si nous avons besoin de les changer nous le signaleront.
Soit une groupe semi-simple sur ¨ , d’algèbre de Lie . Soit une sous-algèbre de Cartan de .
Notons par le système de racines de relativement au choix de . Alors on a la décomposition de
Chevalley-Cartan de :
Soit une famille de racines simples. Notons par
¢
¦
(resp. ) l’ensemble des racines positives (resp.
négatives). Soit le sous-groupe de Borel de relativement au choix de d’algèbre de Lie . Soit un
sous-groupe parabolique standard de d’algèbre de Lie . Alors, il existe une partie de racines simples
telle que si on note par le sous-système de racines engendré par , on obtient (cf. proposition 1.5.7):
où ¡
¢ est la composante de Levi et
¢¥ est le radical nilpotent de . Notons
¡ ¤¢
par (resp. ) le sous-groupe connexe fermé de , d’algèbre de Lie ¡ (resp. ¢ ). Notons par le
sous-groupe du groupe de Weyl engendré par les réflexions simples
avec
(resp.
. Considérons
) l’ensemble des représentants minimaux des classes de (resp. de ). Pour
tout , soit un représentant de dans
¦ £ ©
£ © .
. Notons par £ ©
£ ©
et soit le sous-groupe de engendré par les sous-groupes avec
Soit § à présent une -orbite nilpotente dans ¡ ¦
. Notons par l’ensemble des racines positives qui
sont contenues dans . En revenant à la décomposition classique de Chevalley-Cartan que l’on applique
est une ¢
cette fois à l’algèbre de Lie réductive ¡ , on peut dire que la sous-algèbre
sous-algèbre de Borel de ¡ dont le radical nilpotent est donné par
¢ ; alors tout élément nilpotent
de ¡ est conjugué sous l’action de à un élément de
. De plus, comme est un idéal de
¢
, il est en particulier stable par l’action de . On en déduit que chacun des éléments de l’ensemble
, par ¢
conséquent §¢ est contenu dans l’ensemble des éléments nilpotents de . D’après ce que l’on a
vu précédemment, l’ensemble des éléments nilpotents est une réunion finie d’orbites nilpotentes, et comme
l’ensemble §¢ est irréductible, il existe une unique orbite nilpotente de telle que la trace de cette
orbite sur l’espace §¢ soit dense dans §¢ . Voyons les propriétés qui rattachent § à :
§¢
§ ¢ est conjugué sous l’action de à un élément de
Théorème 2.1.7 ([CM93] p. 106/108).
i) La trace de sur §¢ est stable par ; elle est réduite à une seule -orbite qui est un ouvert
dense dans §¢ . De plus, on a:
£ ©£ § © ¥£ ¢ ©
ii) Soit ¡ ¢ une autre sous-algèbre parabolique qui admet la même composante de Levi ¡ que
. Soit l’unique orbite nilpotente de dont la trace sur §¢ soit dense dans §¢ . Alors
on a: ; par conséquent, l’orbite nilpotente ne dépend pas de la sous-algèbre parabolique
mais uniquement de la composante de Levi, l’orbite est appelée “l’orbite induite § par de ¡ à
”, et elle est notée
iii) (transitivité) Soient ¡
£ © §
¡ §
;
deux sous-algèbres de Levi et soit une -orbite dans ¡
£
£ §
©©
£ §
©
a: .
. Alors, on

2.2. – Classification des orbites nilpotentes dans les algèbres de Lie semi-simples complexes – 20
Dans le cas où § est l’orbite triviale, d’après le théorème ci-dessus, il existe une unique
orbite nilpotente, dont la trace sur est un ouvert dense dans , une telle orbite sera appelée l’orbite
de Richardson associée à la sous-algèbre parabolique , elle sera notée . Les éléments d’une telle orbite
ont été étudiés par J. Dixmier, [Dix75], sous l’appellation d’éléments polarisables, notion initialement
introduite par A. Kirillov dans sa thèse. Soit un élément de . On appelle une polarisation en X, une
sous-algèbre de Lie de telle que £ ¦ ¦ © et ¥£ ©£ © £ © , où £¦© est la
forme de Killing. Alors, les éléments nilpotents polarisables sont exactement les éléments issus des orbites
de Richardson, [Dix75, p. 46]. Fixons un entier , et notons par
Alors l’ensemble est localement fermé dans , [BK79, p. 62]; les composantes irréductibles de
sont appelées les feuilles (ou de nappes) ; on appellera une feuille de Dixmier toute de feuille qui contient
une orbite semi-simple. Pour toute partie de , notons par:
£ © £ ©
Alors les feuilles de Dixmier sont de la forme
suivante:
£ © .
, où est le radical d’une sous-algèbre
parabolique de , [BK79, p. 85].
Dans le où cas est une sous-algèbre de Borel, l’orbite de Richardson associée est de codimension ,
c’est à dire le rang de ; l’orbite est un ouvert dense dans , mais ce dernier ensemble est l’ensemble
des éléments nilpotents de . Par conséquent, il n’existe qu’une seule orbite nilpotente régulière dans ,
que nous préférerons noter par , et on a . De plus, dans le cas où est une algèbre de Lie
simple, il est démontré que est exactement l’adhérence d’une unique orbite
nilpotente
que l’on appelle l’orbite nilpotente sous-régulière de , qui est en fait l’orbite de Richardson associée à
toute sous-algèbre parabolique ¢ minimale , où est une racine
simple quelconque, [CM93, p. 59], [Ste74, p. 145].
2.2 Classification des orbites nilpotentes dans les algèbres de Lie semisimples
complexes
2.2.1 Classification de Dynkin
La première classification est de nature combinatoire, elle est due à E.B. Dynkin, [Dyn57]; elle
consiste à pondérer les sommets du diagramme de Dynkin avec des coefficients 0,1 ou 2, mais cette classification
est en fait une conséquence directe du fameux théorème de Jacobson-Morozov:
Théorème 2.2.1 (Jacobson-Morozov - [CM93] p. 36). Soit le groupe adjoint de . Soit un élément
nilpotent de . Alors:
i) Il existe une représentation ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© telle que ¢£ ©
;
ii) Si est un autre élément nilpotent. Notons par ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© une représentation issue de i) telle
© . Alors, les éléments
et sont conjugués sous l’action de si et seulement
si les représentations et sont conjuguées.
que £
Par ce résultat, on en déduit qu’il existe une bijection entre les orbites nilpotentes de sous l’action de
son groupe adjoint et les classes de conjugaison des sous-algèbres de Lie de , isomorphes à ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© .
Notons par
les relations suivantes:
¢£ ©¦ ¢£
¦
© , alors l’ensemble ¦ ¦ sera appelé un ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© -triplet. On a
Voyons comment Dynkin a pu effectuer cette classification. Fixons une sous-algèbre de Cartan . Notons
par le sous-groupe fermé de , d’algèbre de Lie . Quitte à conjuguer par un élément de , on
peut supposer que
, (cf. théorème 1.3.4
© et proposition 1.5.7 © ); comme le groupe de Weyl
(identifié au groupe quotient £ © ) agit simplement et transitivement sur les chambres de Weyl,
on peut même demander à l’élément d’être contenu dans la fermeture de la chambre fondamentale ,
(cf. p. 13). D’après le théorème 1.4.2 © , l’endomorphisme ¨ semi-simple n’a que des valeurs propres
entières. Alors, on en déduit que pour toute racine simple £ © , est un entier positif ou nul.
¥ ¦ ¦
¥ ¦
¦

2.2.1. – Classification de Dynkin – 21
Notons
¨ par . Soit une racine telle que £ ©¥ (une telle racine existe puisqu’on
a déjà ¦
¥
), en particulier on en déduit que est une racine négative (
avec
). Pour toute racine simple , fixons un élément non nul
(1)
Si ,
¦ alors .
(2) Si , alors cette £ ©
racine
.
de même signe, on en déduit que est une racine négative, ce qui entraîne
Dans les deux cas, on trouve que
¦
¢ .
doit avoir des coefficients
¦
. ¢
, en particulier on en déduit que
¦
¢
Si
¦
, c’est à dire que
, par la théorie des représentations de ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© , (cf. remarque
1.4.3 ii)), l’espace est une somme directe de sous-espaces propres relativement ¨ à dont les
valeurs propres correspondantes sont négatives, par conséquent on en déduit £ © que .
Si
¦
© , c’est à dire que £ ©¥ , et comme £ © , on trouve £ © ¦ ¦¥ .
£
A chaque racine simple (qui correspond à un sommet du diagramme de Dynkin de ), on associe le
£ © coefficient . On obtient ainsi un diagramme pondéré dont les coefficients ¦ valent ¥ ou . Comme les
racines simples forment une base de , on en déduit que ces coefficients déterminent parfaitement l’élément
semi-simple du ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© -triplet. Maintenant si on tient compte de deux choses:
, alors d’après
¡ £© et £ ¥§© , pour toute racine telle que £ © ¥ , on a £ ©
(a) - Toute orbite semi-simple a un unique représentant dans , [CM93, p. 25];
(b) - Si
et sont deux éléments nilpotents tels que dans leurs ¢¡£ ¥§¦ ¨© -triplets respectifs on trouve le
même élément semi-simple ¦
¥
vérifiant ¦ ¥ et , alors les deux ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© -triplets
sont en fait conjugués, (théorème de Mal’cev, [CM93, p. 36]).
Alors en tenant compte de (a) et de (b), on obtient une injection des orbites nilpotentes dans l’ensemble
des diagrammes de Dynkin pondérés avec des coefficients qui valent ¦ ou ¥ . Le diagramme ainsi obtenu
est appelé le diagramme de Dynkin associé à l’orbite de X. Mais on n’a pas la réciproque, un diagramme
pondéré de cette manière ne nous donne en fait qu’une certaine -graduation de , [Rub92, p. 115].
L’élément semi-simple du ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© -triplet confère à une -graduation, on a alors relativement ¨ à la
, alors il est clair que est
décomposition de en sous-espaces
propres . Notons par
une sous-algèbre de Lie de ; comme de plus l’élément semi-simple est dans la fermeture de la chambre
fondamentale, alors pour toute racine positive , on a £ © , on en déduit que contient la sous-algèbre
de Borel standard, c’est donc une sous-algèbre parabolique standard. La classe de conjugaison de est
parfaitement déterminée par l’orbite de
, appellera on la sous-algèbre parabolique de Jacobson-Morozov
associée à
. On peut voir que n’est rien d’autre que le centralisateur de dans , par conséquent c’est
bien une sous-algèbre de Lie réductive [Bor91, p. 175], ce n’est rien d’autre que la composante de Levi
de , ¢ et est le radical nilpotent de . Notons par le sous-groupe parabolique de dont
l’algèbre de Lie est . Alors les propriétés qui rattachent
Théorème 2.2.2 (Kostant - [Kos59] p. 989/991). Notons par
qui fixe l’élément . Alors, on a:
En particulier, la trace de l’orbite de
©
sur
est un ouvert dense.
£
¨
avec sont les suivantes:
¨
le sous-groupe connexe fermé de
Remarque 2.2.3. D’après la remarque 1.4.3 ii), le centralisateur de dans est une somme directe de
certains sous-espaces propres relativement à l’endomorphisme ¨ , et les valeurs propres correspondantes
sont des entiers positifs (elles sont opposées aux valeurs propres qui correspondent aux sous-espaces propres
de ¨ dans ). Alors, on en déduit que . Cette remarque a son importance dans la suite lorsque
nous allons construire un morphisme birationnel, (cf. théorème 3.4.1).

2.2.2. – Classification de Bala-Carter – 22
2.2.2 Classification de Bala-Carter
Cette deuxième classification est plus abstraite, elle est due à la théorie de Bala-Carter.
¡
Soit
une sous-algèbre parabolique, (cf. notations p. 19). On dira que est distinguée si on a ¢ £¡ ©
Théorème 2.2.4 (Bala-Carter - [BC74], [CM93] p. 125). Il y a une bijection naturelle entre les orbites
nilpotentes de et les classes de conjugaison sous l’action de £¡¦
© des paires ¡ , où est une sousalgèbre
de Levi de et est une sous-algèbre parabolique distinguée de l’algèbre de Lie semi-simple
£ ¢¢ ¦¢ © .
Pour arriver à ce résultat, il faut pas mal de théorie, mais nous allons exposer ici
quelques idées.
une orbite nilpotente. Parmi les sous-algèbres de Levi
qui intersectent , on considère les
sous-algèbres de Levi minimales. On montre dans un premier temps qu’elles sont conjuguées entre elles
sous l’action de de la manière suivante. Soit le centralisateur de dans . Alors il suffit de
démontrer que les sous-algèbres de Levi minimales qui contiennent
sont conjuguées sous l’action de
; mais par définition des sous-algèbres de Levi, ce sont les centralisateurs des tores, par conséquent il
¡¦ ¡ .
Soit
suffit de démontrer que ces derniers sont conjugués sous l’action de . Soit ¡ une sous-algèbre de Levi
qui contient
. Puisque ¡ où est un tore, et comme
, on en déduit que . On remarque
que si la taille de augmente, alors la taille de ¡¢ va diminuer, on en déduit qu’il y a une bijection entre
les sous-algèbres de Levi minimales qui contiennent et les tores maximaux de . Mais les sous-algèbres
de Cartan de sont conjuguées entre elles sous l’action de , [Vara84, p. 263], par conséquent il en est
de même des tores maximaux de .
Soit ¡ une sous-algèbre de Levi minimale qui contient
. Or par définition un élément nilpotent dans une
algèbre de Lie réductive doit se localiser dans son algèbre dérivée, (cf. définition p. 17), on en déduit
que ¡ . Comme l’algèbre de Lie dérivée ¡¦ ¡ est semi-simple, (cf. lemme 1.3.7), on peut à nouveau
¡¦
appliquer le théorème de Jacobson-Morozov pour extirper la sous-algèbre
parabolique ¡¦ ¡ associée dans .
Et on montre que est bien une sous-algèbre parabolique ¡¦ ¡ distinguée dans , [CM93, p. 121/123].
Définition 2.2.5. Soit un élément nilpotent dans . On dira que est distingué dans si sa sous-algèbre
parabolique de Jacobson-Morozov associée est distinguée.
Cette définition est en fait équivalente à la propriété suivante:
Lemme 2.2.6 ([CM93] p. 123). Soit un élément nilpotent. Alors on a équivalence entre:
i)
est distingué dans ;
ii) la seule sous-algèbre de Levi qui contient
est ;
iii) l’algèbre de lie est nilpotente.
Puisqu’on se trouve dans une algèbre de Lie semi-simple, son centre est trivial, par conséquent
distingué dans si et seulement si le centralisateur de dans ne contient pas d’éléments semi-simples
non triviaux (car par définition, les sous-algèbres de Levi sont les centralisateurs des tores et ces derniers
sont engendrés par des éléments semi-simples).
Cette définition a donné lieu à une recherche vers la classification des orbites nilpotentes distinguées dans
les algèbres de Lie simples sous l’action de son groupe adjoint, on pourra consulter [SS70, p. 245] pour
en avoir la liste. Soit un élément nilpotent de l’algèbre de Borel
¢ standard . Alors on peut
écrire l’élément
sous la forme
, où £ © est le support de
et ¢
.
D’après [SS70, p. 245], les orbites nilpotentes distinguées dans une algèbre de Lie simple complexe, ont la
particularité d’avoir un représentant dont le support est constitué de racines linéairement indépendants.
Une conséquence immédiate est que les orbites nilpotentes distinguées dans une algèbre de Lie semi-simple
complexe , présentent cette même particularité; en effet, il suffit de le vérifier dans le
cas où
avec et sont des idéaux simples (en tant qu’algèbres de Lie). Soit un élément distingué dans .
On peut écrire
avec
et . Alors on vérifie facilement que
(resp.
)
est un élément nilpotent distingué dans (resp. ). On peut même supposer que
le support de est
constitué de racines linéairement indépendants par rapport au système de racines dans (obtenu à
est

2.2.2. – Classification de Bala-Carter – 23
partir d’une sous-algèbre de Cartan de ); puisque est distingué dans , on peut le conjuguer par un
élément de (le groupe adjoint de ) de telle façon que le support de soit constitué de racines
linéairement indépendants relativement au système de racines de .
Alors a un support constitué
de racines linéairement indépendantes pour le système de racines n’est rien d’autre que le
où
système de racines de
relativement à la sous-algèbre de Cartan
.
Soit maintenant une orbite nilpotente quelconque dans une algèbre de Lie semi-simple complexe. Par le
théorème de Bala-Carter (cf. théorème 2.2.4), on lui associe une -classe de conjugaison de £¡¦
©
paire
est une sous-algèbre parabolique
¡¦ ¡ dans est celle des sous-algèbres paraboliques de
où ¡ est une sous-algèbre de Levi minimale dans qui intersecte , et
distinguée ¡¦ ¡ de ; mais la classe de conjugaison de
Jacobson-Morozov associées aux éléments ¡¦ ¡ de ; on a alors le résultat suivant:
Lemme 2.2.7 ([SS70] p. 246). Toute orbite nilpotente sous l’action de sur une algèbre de Lie semi-
complexe simple admet un représentant dont le support est constitué de racines linéairement indépendants.
Remarque 2.2.8. Dans le cas où l’algèbre de Lie est ¡¤£ ¦ ¨© ou encore ¢¡¤£ ¦ ¨© , toute orbite nilpotente a un
représentant privilégié sous forme de Jordan dont le support est contenu dans les racines simples [CM93,
p. 32]. Ceci va nous permettre d’avoir un certain algorithme pour calculer les fibres de la résolution de
Springer (cf. 6.3.1).

Chapitre 3
Fibrés principaux
3.1 Fibrés principaux
Ce chapitre a pour but de présenter l’outil indispensable pour donner une certaine étude géométrique
des orbites nilpotentes. Tout se base sur la théorie des fibrés principaux, [Hus66]; cette approche est notamment
adoptée dans les années 70 par certains mathématiciens tels que G. Kempf, P. Slodowy, [Kem76,
Slo80b, Slo80a], qui pour étudier les orbites nilpotentes, vont avoir cette démarche systématique de passer
par cette théorie afin de pouvoir donner une description plus simple de certains espaces qu’ils sont amenés
à étudier, (cf. exemples 3.1.3, 3.1.7).
Soit un groupe algébrique affine sur ¨ , agissant à gauche sur une variété algébrique
sous-groupe fermé de , agissant sur une sous-variété de
l’action à droite de définie de la manière suivante: £ ¦ © £ ¦ © pour tout
¦
, on définit l’action de par £ ¦© £ ¦© pour tout
¦
et
sur
un plongement -équivariant:
. Soit un
. Sur l’espace produit considérons
et ;
. Alors, on obtient
¦£ ¦ ©
£ ¦ ©
Considérons la projection
naturelle et notons par l’image de par cette
projection. Notons par la classe du couple £ ¦© dans l’espace quotient
; alors on
obtient un ¢ -fibré , un tel espace est appelé un fibré principal de groupe structural et de
fibre , [Hus66, p. 44].
Inversement,
soit un -fibré, c’est à dire un morphisme -équivariant défini sur une -
variété
et à valeurs dans un espace homogène . Soit un point de , que l’on peut choisir
indifféremment comme la classe de , on peut remarquer que est le stabilisateur dans du point .
Notons £ © par la fibre au dessus de , alors cette fois, est le stabilisateur de dans . Alors
l’application
est un -isomorphisme.
Ceci montre le résultat suivant:
¦
Lemme 3.1.1 ([Slo80b] p. 26). Soit une -variété, où est un groupe algébrique affine sur ¨ . Soit
un -morphisme. Alors est en fait -isomorphe au fibré suivant:
où £ © n’est rien d’autre que la fibre au dessus de la classe .
En particulier, on en déduit qu’il y a une équivalence entre la catégorie des -fibrés au dessus de et
la catégorie des -variétés.
Remarque 3.1.2. Ainsi dans la catégorie des fibrés principaux, la connaissance de l’action de sur
revient en fait à connaître l’action de sur la fibre .
24

3.1. – Fibrés principaux – 25
Exemple 3.1.3. Sous les hypothèses et notations (H-N) de la page 19, on a le -isomorphisme suivant:
£ © ¢
En effet, l’action par translation à gauche de sur se relève en une action £ © sur de la
manière
suivante: pour tout
, notons par l’automorphisme induit sur , son application tangente
est un isomorphisme linéaire £ © de , il en est de même de la transposée £ © sur . Alors
l’application £ © canonique est bien -invariante. Par le lemme précédent, on en déduit que
£ © est -isomorphe à £ © où est la classe de dans . Mais on a £ ©£ ©
et on a l’isomorphisme -module
de
algèbre de Lie semi-simple, la forme de Killing met en dualité les droites et , (cf. théorème 1.5.2
¢ , (cf. proposition 1.5.7 © ); puisqu’on est dans une
), par conséquent on a l’isomorphisme £ ©
¢
©
¢ , d’où le résultat.
Donnons également deux autres lemmes qui vont permettre de donner une description plus explicite
de ¢ l’espace .
Lemme 3.1.4 ([Slo80a] p. 19). Soit une -variété, et soit une sous-variété de
. Notons par
© £
le normalisateur de dans . Alors, l’espace quotient peut être identifié avec la variété de tous les
conjugués de .
Exemple 3.1.5. Considérons l’action adjointe de sur et un sous-groupe parabolique de
; on sait qu’un tel sous-groupe est égal à son normalisateur, [Bor91, p. 154]. Alors l’espace quotient
peut être vu comme l’ensemble de tous les conjugués de .
Lemme 3.1.6 ([Slo80a] p. 19). Notons par la variété de tous les transformés de . Avec les hypothèses
du lemme précédent, on peut alors construire le fibré principal qui s’interprète de la manière suivante:
ou encore
£ ¦©
£ ¦©
On peut remarquer que est un sous-fibré
de et ce dernier est -isomorphe à
par
l’application peut être identifié
à
lemme 3.1.4), par l’isomorphisme précédent on peut déjà voir comme un sous-ensemble de
, (cf.
£ ¦ © , (cf. page 24). Puisque l’espace
donné par£ ¦ ©
. Tous ces espaces fibrent naturellement au dessus de ; on obtient
le diagramme commutatif -invariant suivant:
On constate que la fibre dans au dessus de est donnée par £ ¦©
dessus de est donnée par £ ¦ ©
¦©
Exemple 3.1.7.
, de même la fibre au
et cette dernière peut être aussi décrite par l’ensemble
. Par conséquent, on trouve bien l’identification souhaitée, à savoir:
£ ¦©
,

3.2. – Propriétés du fibré – 26
(1)- Sous les hypothèses et notations (H-N) de la page 19, soit
un élément nilpotent de et
. Notons par le sous-groupe pa-
soit la sous-algèbre parabolique de Jacobson-Morozov associée à
rabolique d’algèbre de Lie . Alors, on peut munir d’une -graduation telle
que . No-
tons
par ; alors, il est clair que est un idéal de . Vérifions que est le normalisateur
de dans . Déjà, on peut remarquer £
© que le normalisateur de dans est bien un sous-
groupe fermé de qui contient . L’orbite de
sous £
© l’action de vérifie trivialement
£
la
©©
relation:
. Par le résultat de B. Kostant (cf. théorème 2.2.2),
la trace sur de
l’orbite de sous l’action de est un ouvert dense dans , on en déduit que:
£
£ © © £
© ©£ £
© ©£ ©£ ©
£
©£ £
De plus, on a vu que le stabilisateur de dans est contenu dans , (cf. remarque 2.2.3), on en déduit que
£ © ©£ ©£ © , finalement on a £ £ £ ©©£ © , ce qui démontre bien
que est le normalisateur de dans . Comme est aussi égal à son normalisateur, on peut alors identifier
l’ensemble des conjugués de avec l’ensemble des conjugués de . Alors on peut donner l’interprétation
suivante:
£ ¦ ©
(2)- Sous les hypothèses et notations (H-N) de la page 19. Si le normalisateur de dans contient
strictement , alors relativement à la décomposition simultanée par rapport à la sous-algèbre de Cartan ,
ce normalisateur doit contenir une droite § avec
décomposition de Chevalley-Cartan que ¦ est une droite vectorielle de , (cf. théorème 1.5.2 © ),
ce qui est contradictoire avec le fait que ¦ doit être contenue dans . Par conséquent, on en déduit
que le normalisateur de dans est . Notons par le sous-groupe parabolique d’algèbre de Lie . Alors
on a:
¢
£ ¦©
¦ , mais on sait par le résultat concernant la
¢
3.2 Propriétés du fibré
Soit un groupe réductif connexe sur ¨ . Soit un -module et soit un sous-espace vectoriel de
tel que le normalisateur de dans soit un sous-groupe parabolique . On peut alors construire le fibré
qui peut être identifié à l’espace £ ¦©
. Définissons l’application
¦
. Par la trivialisation faite avec le lemme 3.1.6, on obtient le diagramme
commutatif suivant:
où est la projection suivant la deuxième coordonnée. La fibre de au dessus d’un point de , peut être
identifiée à la fibre de au dessus du même point; alors on obtient:
£ © £ ©£ ¦©
¦
puisque la deuxième variable est fixe, cette fibre est bien une sous-variété de . Alors on a:
£ ©
Définition 3.2.1. L’action de sur l’espace vectoriel est dite complètement réductible si tout sous-espace
vectoriel invariant admet un complémentaire invariant.

3.3. – Lien entre £ © et – 27
Soit un morphisme entre deux variétés. Soit un faisceau sur
l’espace . On définit le
, noté de la manière suivante, [Har77, p. 65]: pour tout ouvert de
,
£© £ £©© . Alors l’application est un foncteur covariant, exact à gauche; on peut lui associer
une famille de foncteurs
, [Har77, p. 204]; pour tout entier , le foncteur
est appelé
le
foncteur dérivé à droite du foncteur .
faisceau image de par sur
Théorème 3.2.2 (Kempf - [Kem76] p. 232). Notons par le faisceau structural de l’espace
On a les propriétés suivantes:
i) L’application est un morphisme projectif;
ii) Si l’action de sur est complètement réductible. Pour tout entier , on a
¢ .
est trivial.
Définition 3.2.3. a) Soit une application entre deux variétés. On dira que est une résolution
des singularités de
(ou désingularisation de Y) si est une application birationnelle propre et
est une
variété lisse.
b) Soit une variété normale. On dit que est à singularités rationnelles si pour toute désingularisation
, on a
pour tout
. Alors est Cohen-Macaulay.
Remarque 3.2.4. Pour vérifier qu’une variété normale présente de singularités rationnelles il suffit en fait
de le vérifier pour une seule désingularisation.
Alors le deuxième résultat important de G. Kempf est le suivant:
Théorème 3.2.5 (Kempf - [KP82] p. 542, [Kem76] p. 233). Supposons en plus que .
i) Si le stabilisateur de dans est contenu dans , alors l’application est une désingularisation de
;
ii) Si l’action de sur est complètement réductible, alors la variété est normale à singularités
rationnelles.
L’hypothèse permet d’avoir . D’après ce que l’on a vu précédemment, la
fibre de au dessus de est donnée par l’ensemble des transformés de sous l’action de qui
contiennent
; ces transformés peuvent être également obtenus en considérant l’un d’entre eux et en prenant ses transformés
sous l’action de , le stabilisateur de dans . Mais si est contenu dans et comme est le
normalisateur de , alors il n’y aura qu’une seule copie de qui va contenir , c’est à dire que la fibre de
au dessus de est réduite à un seul point. Puisque est un ouvert dans , (cf. proposition 1.2.8), on
en déduit que est bien une application birationnelle; la propreté de provient du fait que est isomorphe
à l’application qui n’est rien d’autre que la projection sur suivant la deuxième coordonnée de l’espace
et que l’espace est complet. C’est donc une désingularisation de .
3.3 Lien entre ¤ et
Nous avons vu que l’orbite de Richardson était en fait une orbite induite, (cf. théorème 2.1.7). On a
eu quelques informations concernant cette orbite, mais voici comment le fibré ¢ nous permet d’avoir
plus de renseignements.
Théorème 3.3.1 (Richardson - [Hes78], [Ste74] p. 136). Sous les hypothèses et notations (H-N) de la
page 19. Il existe une unique orbite nilpotente telle que:
i) L’espace ¢ est un ouvert dense dans .
¢ ii) De plus est réduite à une seule -orbite et un élément
¢
est contenu dans si et
seulement si sa -orbite de dans est dense et si contient la composante neutre du centralisateur
de dans , alors dans ce cas l’élément
¢ est contenu dans un nombre fini de conjugués de par
, i.e. ¢
iii) £ ©¥£ ¢ © .
¢ .
est appelée l’orbite de Richardson associée à .

3.3. – Lien entre £ © et – 28
Démonstration. On a la décomposition de Bruhat-Tits, (cf. théorème 1.5.8):
Notons ¢¢ ¦ £
par l’application définie dans le paragraphe précédent. La première
chose que l’on peut espérer connaître sur une application c’est l’équation donnée par les différentes dimensions
de l’espace de départ, de l’image et des fibres génériques, [Per95, p. 94]. Mais la connaissance de la
fibre de au dessus d’un point
consiste en fait à chercher les transformés § de sous l’action de qui
contiennent
, c’est à dire rechercher les transformés tels que ¢ , ce qui revient à chercher les
tels que
¢ . Pour rechercher de tels éléments on va se servir de la décomposition
¦
et
éléments
de Bruhat-Tits; écrivons avec
¢ Alors, donne
¢ , mais puisque est stable par , cela revient à vérifier
sera dans l’image de qui est ¢ , on peut
¢ ou encore ¢ ; comme
supposer que , alors
¢ ; par conséquent, on doit en fait rechercher les
tels que ¢ ¢
Pour tout
, définissons:
.
et les
£ ¢ ¢ © ¢ ¦£ ¦ ©
l’application est bien à valeurs dans car ce dernier est stable par , en particulier il sera stable par
.
§ si est dominant, alors il existe un sous-ensemble ouvert et dense dans tel que
pour tout on ait £
©£ £ ¢ ¢ ©©§£ ¢ © . L’ensemble
¢
¦
se scinde en deux sous-ensembles, le premier est constitué des racines telles que £ © et et
le deuxième est constitué des racines telles que £ © ; puisque
positives, celles qui sont transformées en des racines négatives par ne peuvent se localiser que dans
¦ ; par conséquent on a:
, parmi les racines
£
¦
£ ©
©
Le deuxième sous-ensemble se scinde à son tour en deux parties et ; la partie est constituée des ¦
¦
, en particulier on a
¢
¦ racines telles que ¦
© £ et la partie est constituée des racines
telles que
© £ ¢
© ¢ £ £ ¦
© ©
; alors il est facile de voir que l’on a
. Puisque , on en déduit que:
¢ ¢ © £ £
¢ © £ © £ ¢ ¢ ©
£
alors £ © pour tout . ¢
§ si n’est pas dominant, l’espace ¢ £ © est un ouvert dense dans ,
¥
les fibres au dessus des éléments de cet ouvert seront vides.
Considérons
¢ alors . Cet ensemble est un ouvert dans et par la description faite
dans les et ¥ § , un élément est dedans si et seulement s’il est contenu dans un nombre fini de
conjugués de .
¢ L’espace est un fibré principal au dessus de et de fibre . Alors, sa dimension est égale
à £ © £ ¢ © . On vient de voir que la fibre au dessus d’un élément de l’ouvert est finie,
on en déduit que a la même dimension que celle de ¢ , c’est à dire ¥£ ¢ © . Mais puisque
¢ est irréductible et qu’il est contenu dans l’ensemble des éléments nilpotents de et comme il n’y a
qu’un nombre fini de classes de conjugaison nilpotentes (cf. théorème 2.1.5), on en déduit que est une
réunion finie d’orbites nilpotentes, par conséquent il existe une unique orbite qui est ouverte et dense
dans ¢ .
Reste à voir que la trace de sur ¢ est en fait réduite à une seule -orbite, mais ceci n’est rien d’autre
qu’une conséquence du théorème 2.1.7.

3.4. – Désingularisation des orbites nilpotentes – 29
Remarque 3.3.2. Par ce théorème, on en déduit que la restriction de l’application ¢ au
dessus de est un revêtement non-ramifié de degré fini égal à , l’indice de dans .
3.4 Désingularisation des orbites nilpotentes
Soit un groupe algébrique semi-simple sur le corps des complexes, d’algèbre de Lie . Soit un
élément nilpotent de . Notons par ¦ ¦ un
¢¡¤£ ¥§¦ ¨© -triplet associé à
, (cf. théorème 2.2.1). Relativement
à ©¨ l’endomorphisme on obtient une -graduation de telle
que est la sous-algèbre
parabolique de Jacobson-Morozov associée à
. Soit le sous-groupe parabolique d’algèbre de Lie . Notons
par . On avait déjà remarqué que , le centralisateur
de dans , était contenu dans ,
(cf. remarque 2.2.3), par conséquent la composante neutre de son stabilisateur dans est contenue dans ,
alors le fibré est un revêtement ramifié de degré fini au dessus de l’orbite
de . Ici nous allons en
fait voir que ce revêtement est de degré un.
Théorème 3.4.1 ([McG89] p. 211). Sous les hypothèses faites précédemment, alors le fibré
¦
est une désingularisation de l’adhérence de l’orbite de
.
Démonstration. Par ce qui a été raconté, il reste en fait à voir que l’application
Pour cela il suffit de montrer que le stabilisateur de dans est contenu dans .
Notons par le sous-groupe unipotent de d’algèbre Lie de
est birationnelle.
. Soit (resp. ) le centralisateur
dans (resp. dans ) du ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© -triplet ¦ ¦ . On va se servir du résultat suivant:
Lemme 3.4.2 (Barbasch-Vogan-Kostant - [CM93] p. 50). On a la décomposition suivante: .
La sous-algèbre est un idéal nilpotent de , et est une sous-algèbre de Lie réductive qui vérifie
¢ . Et on a un produit demi-direct .
Comme l’application exponentielle établit un isomorphisme entre et [Vara84, p. 197], on
peut dire que est contenu dans . Par cette décomposition de , il reste à montrer que est contenu
dans . Soit un élément de , l’élément stabilise en particulier comme , et est une somme directe de
sous-espaces propres ©¨ relativement à , on en déduit que stabilise , c’est à
£
© dire que .
D’où le résultat.
Remarque 3.4.3. Cette construction est très importante pour la compréhension des orbites nilpotentes; elle
permet de donner quelques informations supplémentaires sur les propriétés géométriques liées à l’orbites
de
, (cf. théorème 3.4.6, [McG89, Pan91]).
Donnons maintenant un résultat qui a été initialement donné par T.A. Springer pour désingulariser la
variété des éléments nilpotents de .
Proposition 3.4.4 (Springer - [Spr69]). Soit un sous-groupe de Borel d’algèbre de Lie . Notons par
le radical nilpotent de . Alors l’application
¦ £
©
est une désingularisation de la variété des éléments nilpotents de .
Démonstration. Soit un élément nilpotent régulier de . Soit la sous-algèbre parabolique de
Jacobson-Morozov associée à
et soit le sous-groupe algébrique d’algèbre de Lie . Notons par
l’idéal nilpotent défini dans l’exemple 3.1.7 £© . Alors par le résultat de B. Kostant, (cf. théorème 2.2.2),

3.4. – Désingularisation des orbites nilpotentes – 30
¦
l’application , a pour image . On en déduit que £ ©
¥£
© , où © est le radical nilpotent de . Mais
©
© £ ©£ © £ ©
£
£ ¢ © £ ©¥£ ¢ ©
est le radical nilpotent de , mais ce dernier est contenu dans , alors on en déduit que nécessairement
où¢
on doit ¢ © avoir et que par conséquent , c’est à dire que la sous-algèbre parabolique de
Jacobson-Morozov associée à un élément nilpotent régulier
coïncide avec la sous-algèbre parabolique
dont l’orbite de Richardson est celle de
. On pourrait s’arrêter ici et utiliser le théorème précédent, mais
on va continuer pour se passer du théorème précédent et pour obtenir plus d’informations.
Montrons que les éléments nilpotents réguliers sont distingués dans . On peut facilement voir que ¦ l’espace
de la forme suivante: où
¦© est une sous-algèbre engendrée par droites les
©
¦
avec
¦
; cela signifie que n’est pas une racine simple, par conséquent la dimension de© ¦© est
égale à la cardinalité des racines simples, c’est à dire qu’elle est égale au rang de ou encore à la dimension
de la sous-algèbre de Cartan qui est, par ailleurs, la composante de Levi de . Donc les éléments nilpotents
réguliers sont bien distingués dans .
En revenant au lemme 2.2.6 qui caractérise un élément nilpotent distingué, on se rend compte que cette
notion est équivalente au fait que son centralisateur dans ne contient pas d’éléments semi-simples non
triviaux; on en déduit que est une sous-algèbre de Lie nilpotente, (théorème d’Engel, [Hum72, p. 12]),
alors en conjuguant par un élément approprié de , on peut © supposer que . Notons par le
sous-groupe algébrique de d’algèbre de Lie . Soit un élément de ; ¢ notons par (resp. ) la
partie semi-simple (resp. unipotente) dans la décomposition de Jordan-Chevalley de , (cf. page 8). Puisque
on en déduit que ¢ ¢£ © qui est une sous-algèbre de Levi de , alors
¡¦ ¡ ; en
¡
particulier, pour tout élément
du ¡ centre de
¦
on a ; comme
est semi-simple car est
un
tore on en déduit que , mais cela n’a lieu que si ¡ , c’est à dire que . En particulier, on
en déduit que est un sous-groupe unipotent de , il est donc contenu dans un sous-groupe unipotent
maximal de , on peut alors supposer que . Mais l’application exponentielle de sur est
un isomorphisme, [Vara84, p. 197], on en déduit que est connexe. Alors, on a , où
est le sous-groupe de Borel d’algèbre de Lie . Par conséquent, on en © déduit que est un
morphisme birationnel propre, c’est donc une désingularisation de la variété des éléments nilpotents de
.
Remarque 3.4.5.
i) On a pour habitude d’appeler l’application la résolution de Springer. De manière générale, pour
toute sous-algèbre parabolique , le morphisme correspondant (cf. démonstration du théorème 3.3.1) est
appelé l’application de Springer généralisée.
ii) Cette dernière démonstration est une variante de ce résultat bien connu. En effet, comme nous
l’avons signalé, on s’est passé non seulement du théorème 3.4.1, mais aussi d’un résultat bien connu qui
caractérise un élément nilpotent régulier qui dit que:
¢ est un élément nilpotent
régulier si et seulement si pour tout
unique sous-algèbre de Borel, ou encore dans une unique sous-algèbre nilpotente maximale de , [Ste74,
p. 110]. Alors, l’élément nilpotent
est régulier si et seulement si
©
est contenu dans une seule copie de
, c’est à dire encore que la fibre au dessus de
est réduite à un singleton.
iii) Dans cette dernière démonstration, on se rend compte que, plus généralement, l’application
¢
, l’ensemble des racines simples, on a , [Kos63, p. 370],
¡
[Ste74, p.110]. Cela signifie que est un élément nilpotent régulier si et seulement si est contenu dans une
¢ ¢ est une désingularisation lorsque l’orbite de Richardson associée à est distinguée.
3.4.1 Une propriété géométrique des orbites nilpotentes
Dans [Kos63, p. 392] B. Kostant a montré que la variété des éléments nilpotents d’une algèbre de
Lie semi-simple complexe est une variété d’intersection complète de codimension , où est le rang de , de
plus le lieu non-singulier de coïncide avec l’orbite régulière et le lieu singulier est exactement l’adhérence

3.4. – Désingularisation des orbites nilpotentes – 31
de l’orbite sous-régulière qui est de codimension ¥ ; par le critère d’Abhyankar-Serre [Har77, prop. 8.23] on
en déduit que est une variété normale. Par la suite W.H. Hesselink montre que les seules singularités de
sont des singularités rationnelles, [Hes76a]. Il est naturel de se demander si en considérant l’adhérence
d’une orbite nilpotente autre que l’orbite régulière, on a des propriétés analogues; malheureusement, il
existe des contre-exemples d’orbites nilpotentes dont les adhérences ne sont pas des variétés normales,
[KP82, Bro98]. En revanche, si on considère la normalisation de l’adhérence d’une orbite nilpotente, on
peut se demander quel type de singularités on peut y trouver. Voici le résultat de cette question qui a été
étudiée par W.H. Hesselink, W.M. McGovern, V. Hinich, D. Panyushev:
Théorème 3.4.6 (Hinich-Panyushev - [Hin91a, Pan91]). Soit un groupe algébrique semi-simple sur
le corps des complexes, d’algèbre de Lie . Soit
un élément nilpotent de . Notons par la
normalisation de l’adhérence
de . Alors, les singularités de sont rationnelles.

Chapitre 4
Les orbites nilpotentes de Richardson
4.1 Approche algébrique
Ce a pour but de donner une autre approche de l’étude des orbites de Richardson, qui a été adoptée
par de nombreux mathématiciens comme W. Borho, J.L. Brylinski, B. Kostant, H. Kraft, . Cela consiste
non plus à regarder la résolution de Springer généralisée £ © (cf. remarque 3.4.5 i)), mais à
considérer son comorphisme, par conséquent cela consiste à faire une approche plus algébrique. Mais avant
de voir comment cela est réalisé, commençons par faire quelques rappels.
Sous les hypothèses et notations (H-N) de la page 19. Soit £ © l’algèbre enveloppante de . Alors
l’algèbre de Lie s’injecte dans £ © qui est une algèbre associative, engendrée par l’élément neutre et par
, [Dix74, p. 72], de plus £ est munie d’une filtration naturelle £¨ © ©
[Vara84, p. 177]. Alors, par le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt, le gradué de
£ , noté ¢££ ©© , ©
est isomorphe à £ © l’algèbre symétrique , [Dix74, p. 78], par conséquent ce gradué peut être identifié à
, [Dix74, p. 78],
§ l’espace des fonctions polynomiales sur , [Vara84, p. 166].
Soit
une -variété lisse. Notons par £ © l’anneau non-commutatif des opérateurs différentiels globaux
sur
. On pourra consulter [Vara84, p. 8] pour voir que si ¦¦
sont des champs de vecteurs globaux
sur
tels qu’en tout point de
ces champs forment une base de l’espace tangent, alors pour tout multi-
indice £ ©£ ©
¦¦
, les opérateurs différentiels vont engendrer £ © £ ©
est muni d’une filtration naturelle
; £
©
, où © £
est l’ensemble des opérateurs différentiels
globaux d’ordre inférieur ou égal à . En prenant le gradué de £ ©
relativement à cette filtration, on se
rend compte (comme pour le gradué de £ £
£ © © ©
£ £
©©
, cf. [Dix74, p. 80]), que est constitué de
sections du fibré vectoriel au dessus de , c’est à dire qu’au dessus de chaque point de
©© £ £
,
ces sections sont à valeurs dans et ce dernier espace est l’ensemble des polynômes homogènes
de degré © © £ £
£ ©
£ ©
¢££
©©
sur ; par conséquent on peut voir comme un ensemble de fonctions
sur qui sont des polynômes homogènes de degré sur chaque fibre. Alors est un sous-
anneau de l’anneau £ £ ©© des fonctions globales régulières sur £ © .
L’action de sur
induit une action de sur £ © le corps des fonctions rationnelles sur
. En
dérivant cette action, on obtient un homomorphisme d’algèbres de Lie de vers ¢££ ©© l’espaces
des dérivations de £ © ; cet homomorphisme peut se voir de la manière suivante: l’algèbre de Lie va
agir sur
de manière globale par l’intermédiaire des champs fondamentaux associés aux éléments de ,
[LM87, p. 421]. Cet homomorphisme d’algèbres de Lie s’étend de manière unique en une représentation
£ © £ © , [Dix74, p. 72/73], appelée la représentation d’opérateurs de £ © (ou ) sur
. De plus, la représentation respecte les filtrations, c’est à £
© £ ©
dire que . On
peut alors considérer le gradué de cette représentation pour tomber sur
un morphisme d’algèbres £ ©
©
¢££ ©© . En composant ensuite avec l’injection de ¢££ ©© dans £ £ ©© , on obtient alors
£
un morphisme d’algèbres £ £ £ ©© ; le morphisme associé à ce morphisme d’algèbres apparaît
©
£ © alors de manière naturelle , £ © elle est duale de et est appelé l’application
moment.
Voyons comment on peut voir cette application moment . Fixons un élément de
32
. Considérons

4.2. – Approche symplectique – 33
¦
©
£
© £
£ ©
l’application , son application tangente à l’élément neutre est une application linéaire
de noyau , le centralisateur de dans ; la transposée de cette application linéaire est une
application d’image . En faisant varier dans
£
©
£
©
on obtient alors
une application , et en composant cette dernière application avec la projection suivant la
deuxième coordonnée on obtient alors . Alors on a:
4.2 Approche symplectique
£ £ ©© §
Ici on va voir que le morphisme peut apparaître naturellement d’une autre façon. Mais auparavant
nous avons besoin d’introduire quelques définitions. Soit £ ¦© , une variété algébrique complexe lisse,
£ ¦
© . On dira que la paire £ ¦© est une variété symplectique si est
munie d’une 2-forme,
une 2-forme complexe fermée, non-dégénérée.
Soit un groupe algébrique affine complexe, agissant sur
. Alors on peut visualiser £ ©
comme un sous-groupe des automorphismes de
. On dira que c’est une action symplectique si de plus la
2-forme est préservée par pull-back de tout automorphisme de
issu de .
Pour tout , notons par le champ fondamental défini sur
associé à
, [LM87, p. 421]. Soit
hamiltonien si la 1-forme £ © est fermée, c’est à dire qu’il existe une fonction régulière
sur
telle
que £ ©
. On dira que l’action symplectique de sur
est hamiltonienne si tous les champs
fondamentaux sont hamiltoniens. A cette action hamiltonienne de sur
, on peut associer une certaine
application
© appelée l’application moment, définie de la manière suivante:
£
© le produit intérieur de £ par le champ fondamental . On dit que le champ fondamental est
¦
où ¦ est le crochet de dualité entre et . Par un calcul rapide on peut voir que l’élément
£ £ © ©¦
£ ©
de est invariant sous l’action de , ce qui est logique car l’algèbre de Lie est identifiée à l’espace
des
champs de vecteurs invariants à gauche il en va de même de qui est identifié à l’espace des -formes
différentielles invariantes à gauche. De plus, l’application
est un -morphisme.
. Cherchons à déterminer l’image de la tangente de l’application moment au point :
Soit un point de
Par un résultat d’algèbre linéaire, on £
trouve que
Par identification de avec , pour tout élément
et par définition même, on obtient les identités suivantes:
d’où
Par conséquent on obtient:
© £
¦
©£¢£
les expressions suivantes ont un sens:
¦ £©¦
Mais comme est un élément de ,
alors
De plus, par définition de la transposition on a:
£
©
, et on a :
£©
£ £ ©©
¦
©© . Décrivons le terme à droite.

4.2. – Approche symplectique – 34
Alors on £
obtient
l’identité:
Par conséquent, on en déduit que:
©£ ©£ £ ©©
¢£ © £
£ £ ©©
Mais puisque est non-dégénérée, on en déduit que £ £ ©©
£ ©
est équivalent au fait que
£ ©
. Alors on a:
©
£ ©
Le terme de droite n’est rien d’autre que le centralisateur de dans . D’où le résultat:
Lemme 4.2.1.
Appliquons ceci à notre étude.
¢£ £
£
©
Soit
une variété algébrique complexe lisse quelconque sur laquelle agit un groupe algébrique .
On ne demande rien de particulier à la variété
. L’action de sur
se relève en une action de sur
, la projection canonique. Pour tout point de
le fibré £ © cotangent . Notons £ ©
par
£ © posons
£ ©£ ©
alors est une 1-forme définie £ © sur , appelée, la forme de Liouville £ © sur . Alors le résultat
remarquable sur cette action relevée est le suivant:
Théorème 4.2.2 ([LM87] p. 191). La paire £ £ ©¦ © est une variété symplectique. L’action relevée de
sur £ © est hamiltonienne. De plus, pour tout
, l’hamiltonien ˜ qui lui correspond est donné
par:
Notons par ˜
avec l’application donnée à la fin du 4.1. On en déduit:
˜
© £ ©
Lemme 4.2.3. Soit
une -variété algébrique complexe lisse. L’action de sur
se relève en une
action hamiltonienne sur le fibré £ © cotangent . Si ˜ est l’application moment associée, alors on a:
£ © , l’application moment associée, elle est duale de £ © et coïncide
˜
£ ©© £
£ © où est le centralisateur de dans , et est l’annulateur de dans ,
£ © .
Remarque 4.2.4. Pour tout point de
tangente à l’élément neutre ¤
:
¤
, notons
£ ©
par
. Pour
tout
© ¤ £
££ ©©
£
©© ©
££
Si bien que l’espace tangent de l’orbite du point au point est donné par
£ ©
¦
. Regardons son application
, on a ££ ©© . Alors on a:
£
££ ©©©
£ © £ ©
.

4.3. – La représentation d’opérateurs sur – 35
4.3 La représentation d’opérateurs sur ¤
Appliquons ce que l’on vient de voir dans le cas où, la variété
est un espace homogène, c’est à
. Alors l’application tangente
dire que l’action de sur
est transitive. Soit un point quelconque de
© £ est surjective et l’espace vectoriel £ ©
devient un -module isomorphe à . Si
est la dimension de
est un -module de dimension 1 sur lequel la représentation de
© £
, alors
, il faut remarquer tout d’abord
se fait par une certaine forme
linéaire . Pour trouver la forme
que ¤ est un -morphisme de vers © et que l’action de sur est donnée par la représentation
£
adjointe, alors on
a:
Notons par ¢
£ © ¢£ ¨© ¢£ ¨ ©
¢ comme un £ © -module.
£
Posons
¢ © £ ©
¢
le -module de dimension 1 donné par la forme linéaire
Alors ¢ © est un -module appelé le -module induit par ¢
£
© -module;
£ ¢ £
© est également appelé le module de Verma généralisé.
Théorème 4.3.1 ([BB82] p. 443/451/452).
i) Soit ¢£ © le noyau de la représentation d’opérateurs de sur
ii) Si de plus la variété homogène
£ £ ¢
©© , où £ £ ¢
©© est l’annulateur de
£ ¢
est complète, alors on a:
. Alors on peut également voir
, [Dix74, p. 163], c’est en particulier un
© dans £ © ;
£ ©£ © ¢ ¢££ ©© £ £ ©©
. Alors on a
Soit un -module muni d’une filtration croissante et compatible avec celle de £ © . On
dit que la filtration de N est bonne si ¢£ © est un £ © -module de type fini. Soit ¢£ £ ©© le gradué
de l’annulateur de dans £ © . Puisque ¢£ £ ©© est un idéal de £ © , on peut définir £ © comme
étant les zéros dans de l’idéal ¢£ £ ©© ; alors £ © appelé la variété associée à ; on pourra noter
que la définition de £ © ne dépend pas de la bonne filtration considérée, [Jan79, p. 79].
Lemme 4.3.2 ([BB82] p. 454/455).
i) Soit
une variété homogène complexe. Soit le sous-groupe d’isotropie d’un point de
. Si
est normalisé par un sous-groupe parabolique de , alors £ © induit sur ££ ©© £ © ¢
une bonne filtration;
ii) § £ © Soit l’application moment associée définie sur le fibré cotangent. Alors on a:
et l’égalité a lieu lorsque £ © induit sur ££ ©© £ © ¢ une bonne filtration.
§ £ £ ©© £ ¢£ ©©£ £
Jusqu’à la fin de ce chapitre, nous supposerons que est semi-simple. Alors le premier résultat important
de l’article [BB82] est le suivant:
Théorème 4.3.3 ([BB82] p. 455). Considérons l’espace homogène
groupe dérivé de . Alors on a:
©©
£ ¦ © où £ ¦ © est le sous-
£ ¢£ ©© ¦
On a ¦ ¡ ¦ ¡ ¢ ¦ ¡ ¦¢ . Comme ¢ ¦ ¡ ¢ et puisque dans on a une -orbite ouverte
(qui est la trace de l’orbite de Richardson associée, (cf. théorème 3.3.1), c’est à dire ¦ ¢ , alors on
¦ ¡ ¦¢ ¢ ¦ ¡ ¦ ¡ ¢ en déduit que et que par conséquent . Comme ¡ est une algèbre de
Lie réductive, on a ¡ ¦ ¡
¡
¢ , (cf. lemme 1.3.7). Notons par le radical nilpotent
de la sous-algèbre parabolique “opposée” de . Alors on ¦ a
, ce dernier espace n’est rien
d’autre que le radical de la sous-algèbre parabolique opposée de et £ ¦ © ¦ £
© ,

4.3. – La représentation d’opérateurs sur – 36
de plus puisqu’on est sur une algèbre de Lie semi-simple, d’après le théorème 1.4.5 la forme de
Killing
met
en ¢ dualité et
est le radical de . Par la même occasion
¢ on a aussi , (cf. exemple 3.1.3). Alors on a:
¢ , par conséquent ¦
Corollaire 4.3.4. Notons par le radical de . Alors on a
£ ¢£ ©©
et ce dernier espace n’est rien d’autre que l’adhérence de la feuille (ou nappe) de Dixmier associée à ,
[BK79, p. 85].
Considérons cette fois le cas où . Notons par £ © le centre de £ © . Il se trouve que
le module de Verma généralisé £ ¢
, [Dix74, p. 221/222], c’est à dire
©
que
, est un scalaire. En particulier, on
© ¢
£
£ ¢
©
a un caractère central
tout élément , perçu comme un endomorphisme sur
en déduit que £ ¢
¢ © £ © ©
© ¨ ¢£ ¢£
©
¢£ ¢ © ¢££
© £ ¢ ©
, c’est à dire que est un idéal maximal de . Puisque
est semi-simple on a , [Dix74, p. 272]. Comme
¢££ ©© ¢£ © ,
[Dix74, p. 79], on en déduit ¢£ © que est un idéal homogène qui ne contient pas de terme constant.
La représentation adjointe de sur elle-même se prolonge naturellement en une représentation £ © sur .
Notons £ © par le sous-anneau des polynômes définis sur qui sont annulés par cette représentation.
Alors le plongement £ © de £ © dans £ © envoie £ © sur , [Dix74, p. 82]. Alors d’après ce que l’on
vient de voir, on peut dire £ © ¢£ © que est un idéal maximal £ © dans . De plus, comme
£ © ¢£ © on en déduit que £ ¢£ ©© £ £ ©© , mais par un résultat dû à B. Kostant, [Kos63,
p. 364], le terme de droite est contenu dans l’ensemble des éléments nilpotents de (on identifie
ici et par la forme de Killing).
On voit que l’espace homogène est un quotient de l’espace £ © , il en est de même
de la représentation d’opérateurs de sur
relativement à celle sur
. On en déduit que .
Alors on a £ © £ © ; par conséquent, on a:
£ © ¢
L’identité ¢ donne l’adhérence de l’orbite de Richardson associée, ceci s’explique
par le fait que dans la feuille de Dixmier on ne trouve qu’une seule orbite nilpotente qui est l’orbite
de Richardson associée à , (cf. [BK79, 5.8 corollaire a) p. 86] et [Dix75, proposition 1.2 p. 46]). Mais
par le lemme 4.3.2, on a § £ £ ©© £ © £ ¢£ ©© et on a vu précédemment que
¢ , d’où l’inclusion inverse et on a le résultat suivant:
Proposition 4.3.5 ([BB82] p. 456). La variété associée au -module £ © des opérateurs différentiels
globaux sur coïncide avec l’adhérence de l’orbite de Richardson associée à .
Enfin nous donnons ici un résultat fondamental dû essentiellement à H. Kraft. Soit une -variété.
Le groupe va naturellement agir sur £ © , l’anneau des fonctions régulières globales sur
, et cette ac-
tion est localement finie, c’est à dire que tout élément de £ © se trouve dans un sous-module de dimension
finie. Puisque est semi-simple, on peut décomposer £ © en un somme directe de sous-modules simples
de dimension finie, (cf. lemme 2.1.6). Notons par l’ensemble (à isomorphisme près) des représentations
irréductibles de dimension finie de . Pour tout , notons par £ © la multiplicité de dans
£ © , c’est à dire le nombre de fois qu’apparaît la représentation dans la décomposition en sous-modules
simples de dimension finie de £ © . Si on note par le -module simple de dimension finie correspondant,
on trouve alors:
Et on a le résultat fondamental suivant:
£ ©§
£¦ £ ©©
Théorème 4.3.6 ([BB82] p. 458). Soit la feuille de Dixmier associée à , où est le radical
de . Alors on a les équivalences suivantes:
i) Les adhérences des orbites issues de ont toutes les même multiplicités lorsque parcourt ;
ii) L’application £ © moment est birationnelle et son image (qui est l’adhérence de
l’orbite de Richardson associée à ) est une variété normale.

4.3. – La représentation d’opérateurs sur – 37
Proposition 4.3.7 ([BB82] p. 448). Dans ¢¡¤£ ¦ ¨© , l’application moment est toujours birationnelle et
son image, qui est l’adhérence de l’orbite de Richardson associée, est une variété normale.

Chapitre 5
Les orbites nilpotentes dans ¤
En 1970, dans un article célèbre [Bri70], E. Brieskorn a mis en évidence une relation, initialement
conjecturée par A. Grothendieck, entre les points doubles rationnels de surfaces (qui sont aussi appelées
des singularités simples de surfaces) et celle des algèbres de Lie simples complexes. Son résultat est le
suivant. Soit un groupe algébrique simple de ¦ ¦ ¦ ¦ type d’algèbre de Lie Soit . la variété
des éléments nilpotents de . La variété est l’adhérence de l’orbite nilpotente régulière. Il y a une
unique orbite nilpotente de codimension 2 dans ( vérifiant est
appelée l’orbite nilpotente sous-régulière), (cf. p. 20). Soit
dans en un élément
une section transverse à l’orbite
simple de même type que . Quelques années plus tard, H. Esnault [Esn76] obtient le même résultat par
une approche géométrique qui consiste à passer par la résolution de la variété des éléments nilpotents de
l’algèbre de §§ £ © Lie, , où est un sous-groupe de Borel de , cette résolution ayant été
obtenue par T.A. Springer, (cf. proposition 3.4.4, [Spr69]).
Win H. Hesselink, ensuite H. Kraft et C. Procesi obtiennent une généralisation de ce résultat ¡¤£ ¦ ¨© dans
[Hes76b, KP81], ils montrent en particulier que si
sont deux orbites nilpotentes dans
©¥
, et une section transverse à l’orbite dans ¦ ¨© au point
¡¤£
¡¤£ ¦ ¨© avec £
le germe £
. Alors £ ¦ © est un germe de surface normale à singularité
, alors
© est “smoothly equivalent” à un germe de surface de type ; deux germes de variété
¦
, et £¦© sont dit smoothly equivalent s’il existe un germe de variété £ ¦© et deux morphismes
£¦©
£ ¦© £¦© , £ ¦© £¦© tels que £ © , £ © et , sont lisses au point .
Nous proposons ici de faire une étude géométrique de l’application de Springer généralisée, (cf. remarque
3.4.5 i)):
£ ©
où est un sous-groupe parabolique d’un groupe algébrique semi-simple complexe, d’algèbre de Lie et
est l’orbite de Richardson associée à , (cf. proposition 4.3.7). Nous verrons l’analogie entre l’étude des
fibres d’une telle application et celle de la trace des orbites sur le radical nilpotent de , (cf. p. 39). Dans un
premier temps, on obtiendra un résultat sur la dimension des fibres de , (cf. théorème 5.1.1) qui généralise
en partie celui de R. Steinberg, [Ste74, Ste76], ce dernier résultat va nous permettre de donner la description
de certaines composantes irréductibles des fibres de (cf. proposition 5.1.3). Ensuite, on s’intéressera au
cas où SL £ ¦ ¨© ; on va donner une description de la trace de sur le radical nilpotent de (cf.
théorème 5.2.3), ceci va nous permettre de donner une description explicite de l’adhérence de la trace de
toute orbite adjacente à (cf. théorème 5.2.6), et on fera une description géométrique des fibres de au
dessus de tout élément appartenant à une telle orbite (cf. théorème 5.2.8). Enfin, en adoptant le travail de H.
Esnault, on retrouvera le résultat de Hesselink-Kraft-Procesi (cf. théorème 5.3.5).
5.1 Étude générale
Plaçons nous sous les hypothèses et notations (H-N) de la page 19. L’action naturelle à gauche de
sur P , induit une action hamiltonienne sur son fibré £ © cotangent , (cf. théorème 4.2.2), on
38

5.1. – Étude générale – 39
en déduit alors une application moment :
£ ©
qui est aussi appelée l’application de Springer généralisée, (cf. remarque 3.4.5).
Mais le fibré £ © cotangent peut être identifié à ¢ l’espace obtenu comme quotient de
par l’action à droite de donnée par £ ¦ © £ ¦ © où
, , et ¢
la classe de £ ¦ © . Alors l’application moment devient
3.1.3). On note par
Considérons le ¢ morphisme ¦
P
qui permet ¢ d’identifier à la sous-variété fermée:
, (cf. exemple
¢ ¦ £
£ ¦ © . Alors cette application est un plongement
¢
de P (cf. exemple 3.1.7 (2)), et on obtient le diagramme commutatif suivant:
£ ¦ ©
¢
où est la projection suivant la deuxième coordonnée de P sur . L’application est un morphisme
propre (car P est complet) et son image est exactement . D’après la remarque 3.3.2, est un
revêtement non-ramifié de degré fini au dessus de ; c’est une application birationnelle lorsque ,
où est le stabilisateur de dans et
est un sous-groupe de Borel de (cf. théorème 3.4.4), et dans ce § cas est une désingularisation de la
des éléments nilpotents de , habituellement appelée la résolution de Springer.
variété
, ceci a effectivement lieu dans le cas particulier où
Dans le cas où SL £ ¦ ¨© , on notera d’une part que le groupe linéaire GL £ ¦ ¨© agit
¢¡¤£ ¦ ¨©
sur
ainsi que sur l’espace P £ ¦ ¨© SL , et d’autre part que le stabilisateur de toute matrice dans
GL £ ¦ ¨© est connexe [SS70, p. 233], si bien que le sous-groupe GL £ ¦ ¨© stabilise chaque com-
posante irréductible £ © de ; en particulier, ceci est vrai pour les éléments de l’orbite de Richardson
associée à , on en déduit £ © que est réduit à un singleton
lorsque
est dans l’orbite de Richardson,
c’est à dire que est un désingularisation et on retrouve bien le premier résultat de la proposition 4.3.7.
De plus, il se trouve que dans ¢¡¤£ ¦ ¨© toutes les orbites nilpotentes sont de Richardson [CM93, p. 112],
alors on en déduit que les applications de Springer généralisées sont en fait des désingularisations des
adhérences des orbites nilpotentes.
Soit un élément nilpotent contenu dans . En tenant compte de l’identification du fibré cotangent
avec l’espace , la fibre de au dessus de peut alors être identifiée à, (cf. 3.2):
£ ©
P
¢ P
P
¢ £ ©
Par la décomposition de Bruhat-Tits, (cf. théorème 1.5.8 © ) tout élément
dans . Notons par .
peut s’écrire de
manière
unique sous la forme suivante , où
est un certain élément de , est un
£
représentant
©
de
, et
De manière formelle, désignons par ¦
“ P ”, grâce à la décomposition de Bruhat-
Tits, cette application formelle est parfaitement définie. Par la description que l’on vient de faire de la fibre
de au dessus de
, on remarque
£ P
© ¢ . Ceci se traduit par l’idée géométrique qui est
la suivante: la restriction de à P est une projection de la fibre P sur £
P © une sous-variété de
. Par la ¢ description £ faite sur la fibre de , on constate alors qu’en prenant tous les conjugués, par
©
(on “épaissit” en quelque sorte cette sous-variété), on © retombe
les éléments de , des points de
exactement sur la trace de l’orbite de
£ P
sur .

5.1. – Étude générale – 40
Pour la clarté des idées, les quelques lignes qui suivent sont une retranscription de [Spa77] (qui a
été effectué pour le cas d’un sous-groupe de Borel) pour le besoin de notre étude dans le cas d’un sousgroupe
parabolique: notons par le stabilisateur de dans et par la composante neutre de
et £ © posons . Considérons les ¦
applications , et
P ¦ . Notons par (resp. ¨
) l’ensemble des composantes irréductibles de P
(resp.
¢ de ); puisque agit sur
P par conjugaison et comme est connexe, il va stabiliser
chaque composante irréductible de P , par conséquent on obtient une action £ © de sur .
©
Définissons
. Pour et
pour
£
¢ © £ P
£©
et
, et on a
¨
. Puisque et comme
et sont irréductibles, on en déduit que les
sous-espaces sont irréductibles et on
a
£© sont fermés dans
, les sous-espaces
par conséquent, constituent les composantes irréductibles de
¨ £ ©
. Si
jamais , alors
va être une
certaine composante irréductible de , de plus puisque est une application ouverte
£ ©
on
aura nécessairement . Il est facile de voir que
l’on a , (cette
dernière relation a lieu car est connexe), si bien que l’on obtient
et par conséquent
sont exactement les composantes irréductibles de . Ainsi, on a une
application surjective
£©© , et l’ensemble £ © est une seule orbite
£
¦¦ définie par
sous l’action £ © de .
En revenant à notre application formelle , £ ©¦ ¦
£
©
on en déduit que les sous-variétés
¢ vont donner les composantes irréductibles de , [Spa77]. Par conséquent, on obtient une surjection de
l’ensemble des composantes irréductibles de P sur l’ensemble des composantes irréductibles de ¤¢ .
De plus, les composantes irréductibles de la fibre qui ont ainsi le même épaississement sont permutées par
Par conséquent, on voit que l’étude de la fibre au dessus d’un élément
£ © , [Spa77].
;
revient en partie à étudier la
trace de son orbite sur .
Dans le cas GL £ ¦ ¨© , toujours à cause du fait que le sous-groupe GL £ ¦ ¨© stabilise chaque
composante irréductible de P , on notera que les composantes irréductibles de P sont en bijection avec
les composantes irréductibles
de .
La résolution de Springer a été intensément étudiée dans les années par de nombreux mathématiciens
tels que N. Spaltenstein, G. Kempf, R. Steinberg, P. Slodowy,. . . . R. Steinberg établit notamment la formule
suivante qui relie la dimension de la fibre de Springer au dessus d’un élément nilpotent
, à celle de stabili-
sateur de dans : £ £ ©© ££ ©¢©© , où est de rang de , (cf. [Ste74, p. 133], [Ste76,
p. 217]). En s’inspirant de son travail, voici le premier résultat concernant l’étude des fibres de :
Théorème 5.1.1. Pour tout élément
, on a:
£ ©©
¥
£
Démonstration. Soit
Considérons le sous-espace de P P défini par
££ ©£¡ ©©
un élément de . Notons par son orbite dans sous l’action de .
£ ¦ ¦ ©
P P
¢ ¢
Alors est une sous-variété fermée, stable par et qui fibre naturellement au dessus de
sont isomorphes à P P . On en déduit que
dont les fibres
£ P © £ £©¥§ © (5.1)
On a aussi grâce à la décomposition de Bruhat-Tits la réunion disjointe suivante:
est l’ensemble des représentants de longueur minimale des doubles classes
de , (cf. théorème 1.5.8 © ). Soit l’élément de longueur minimale de sa double classe et
notons par un représentant de dans
§ , où
© . Alors £
£ ¦ ¦ ©

5.1. – Étude générale – 41
est une sous-variété stable par et on a: £© £© .
On peut identifier ¤ à une sous-variété £ © de grâce au morphisme suivant:
£ ©
¦ ¦ ©
£ ¦ £ ©
£
De plus, la projection ¤ £ © permet de voir que la fibre au dessus de £ © est
¢ ¢ ¢ ¢ exactement . Alors est un -fibré au dessus £ ©
de
avec des fibres isomorphes ¢ ¢ à . On en déduit que:
Mais
£©£ ©£ © £ ¢ ¢ © (5.2)
©£ ©
£
©£ ¡ © £¡ ¢ © £ ¢ ¢ ©
£
L’élément permute les racines, par conséquent
¡
¢
ne sont pas contenues dans sont exactement celles pour lesquelles £ ©
D’après (1.1) p. 13, comme
Cette remarque nous donne:
Par symétrie, on a:
¡ ©£¡ ©
£
¦
alors £ ©
, si
£ ©
£ ¡ ©£¡ ©
Par un raisonnement analogue, on obtient:
£ ¡ ©£¡ ©
De la même manière avec
et
D’autre part:
, ce qui fait que
£ ©
¦
£ ©
£ ©
¦
£ ©
¢ © ¥ £ © `
£¡
¥ £©
¦
£©
, on en déduit que:
¡ ©£¡ ©
£
£¡ ¢ ©
¦
¦ ¦ ¦
¦
¦
£ ©
¦
£©
¦
, et les droites
qui
. On en déduit que:
¦
(5.3)
¦
¦
(5.4)
¦
£ ©£ © £ ©
¥§
En combinant (5.3), (5.4), (5.5), et (5.6) on obtient:
¦
(5.5)
¦
(5.6)
£ ©¥§ £¡ © ¥§ £ ¢ ¢ © (5.7)
¥§
En combinant (5.2) et (5.3) on obtient:
£©£ ©£¡ ©£ ¢ ¢ © £ ¢ ¢ ©

5.1. – Étude générale – 42
Comme £ ¢ ©£ ¥¢ ¢ © , avec (5.1) et ¢ £
on en déduit que:
©£ ©£ © ,
P £
De plus, on a égalité si £ ¢ ©£ ¢ ¢ © , ce qui nous donne:
¥ ©
££ ©£¡ ©©
Corollaire 5.1.2. Pour tout élément
, on a l’équivalence suivante: £ © ££ ©
£¡
P
©© si et seulement si
¢ ¢ est dense dans ¢ pour un certain
.
Une application immédiate de ce théorème est la possibilité de décrire certaines composantes irréductibles
des fibres de l’application moment .
Proposition 5.1.3. Soit un sous-groupe parabolique standard. Soit un sous-groupe parabolique contenant
et soit un sous-groupe parabolique dans la même classe de conjugaison que . Notons par ,
et les algèbres de Lie de , et . Soit le radical nilpotent de . Soit la classe de Richardson
de . Soit un élément nilpotent. Alors les assertions suivantes sont équivalentes:
© .
et © £ ©£ £ ©© .
est une composante irréductible de
©
.
Démonstration. ©© Soit l’ensemble des racines simples de . Notons par
£ © où est un certain élément de tel que
. Alors est une base du système de racines . Relativement à (resp. ), notons par (resp. ¦
)
les fonctions longueur sur (resp. ).
¢ Notons par w . Soit l’unique réflexion de tel
que w £
¦ © . Comme w , alors on a, [Hum92, p. 114]:
w © £
¦
w £ © © £ ¦
©
£
Mais n’est rien d’autre que la restriction de sur , [Hum92, p. 19], alors on en déduit que:
Par conséquent on a
minimale de la double w classe de dans . Alors w
on
a ¦
avec
On en déduit que pour tout , on a £ ©
. En faisant le même type de raisonnement que
précédemment, on a
© . Par conséquent
£
¦
w ©£ w © £
¦
w £ © ©
£
£ ¦
© ¦
¦
. Notons par w l’unique représentant dans de
¦ longueur
.
¦ ¦
©
D’après le corollaire 5.1.2, on a alors
¦
£ ©©
¥
£
¦
, on en déduit que £
¦
¢ £ ¢ © (5.8)
££ ©£¡ ©©
Avec le théorème 3.3.1, il est facile de vérifier que l’on a £ ©£¡ © .
©© est trivial.
£ ©©
¥
£
££¡ ©£¡ ©©£ ©
Puisque est une composante irréductible de £ © cela revient à voir que est une
©©
composante irréductible
de , ce qui
¢ donne , alors d’après (5.8) quitte à
conjuguer
par un certain élément de on peut supposer que l’on a (sinon par la description (*) faite à la
page 39 on £ © aurait ), et on a:
£ ©£ P
©
¦

5.2. – Étude dans ¢¡¤£ ¦ ¨© – 43
Alors on a:
Par conséquent:
£¡ © ¥£ P
© £
©
©£
£ ©© £ ©£
©
£
£ ©££¡ © ¥£ P
D’après le théorème 3.3.1, on a alors le résultat.
©©£ ©
Remarque 5.1.4. La proposition précédente dit que les différentes polarisations de
(cf. définition p. 20),
qui (à conjugaison près) contiennent , nous donnent certaines des composantes irréductibles de P .
5.2 Étude dans
Dans la suite de l’exposé sera le groupe SL £ ¦ ¨© et ¢¡¤£ ¦ ¨© . Les sous-algèbres et seront
identifiées aux matrices diagonales et aux matrices triangulaires supérieures de ¢¡¤£ ¦ ¨© . Notons par les
matrices élémentaires. Les droites sont engendrées par les matrices élémentaires , avec ¡
. Pour
, notons par ¦ la projection coordonnée correspondant à la droite engendrée par la matrice
élémentaire . Les racines sont alors données par les formes linéaires suivantes: ¤ , avec .
¡
Les racines simples sont représentées par les formes linéaires ¤¦ ,
¦
et le groupe de Weyl est identifié au groupe des permutations , [Bou81, p. 250/251]. Notons par la
permutation élémentaire qui échange et .
Les raisons de considérer ¢¡¤£ ¦ ¨© sont, d’une part, moment que l’application est bien une désingularisation,
(cf. proposition 4.3.7 ou bien p. 39) et que, d’autre part, toutes les orbites nilpotentes sont de
Richardson, [CM93, p. 112].
Définition 5.2.1. On appelle partition de n, la donnée d’une suite d’entiers supérieurs ou égaux à 1, p
£
£
¦¦© vérifiant
¦ .
Alors les sous-algèbres paraboliques standards sont en bijection avec les partitions de . Si p
¦ ¦¦© est une partition de , alors le parabolique standard est de la forme suivante:
.
.
.
. .. . ..
où est une matrice carrée de longueur £ ¦ ¦¦© . Soient £ ¦
¦¦ © p et q deux
partitions de , on dira que p et q sont associées s’il existe une permutation de ¦¦
telle que
. £ ¦ ¦¦© Soit p une partition de , on dira qu’elle est ordonnée si
, à
cette partition p on lui fait correspondre le diagramme de Young dont les lignes sont formées respectivement
de
cases. Par exemple
¦¦ ¦
est le diagramme de Young de la partition p £ §¦¦ © de . Soit p
ordonnée de . On définit la partition duale de p comme étant la partition ˆp £
p
£
¦ ¦¦© une
¦
partition
¦¦
© , où
De manière géométrique, pour obtenir la partition duale ˆp il suffit de lire le nombre de cases pour chacune
des colonnes du diagramme de Young de p. Dans l’exemple précédent, la partition duale de £ §¦¦ © est la
partition £¦¥§¦¥§¦¥§¦ © . On notera au passage que la partition duale est également ordonnée.

5.2. – Étude dans ¢¡¤£ ¦ ¨© – 44
Les classes de conjugaisons nilpotentes de ¢¡¤£ ¦ ¨© sont en bijection avec les partitions ordonnées de ,
[CM93, p. 32]; si p est une partition ordonnée de , on notera par p l’orbite nilpotente correspondante.
Chaque élément nilpotent est conjugué à une matrice sous forme de blocs de Jordan présentant l’aspect
suivant:
.
¦
..
où est une matrice carrée de Jordan d’ordre .
Soit une matrice nilpotente associée à la partition ordonnée p
a l’identité suivante, [CM93, p. 94]:
ou encore
£ ¢£ ©©
£
...
. ..
¦ ¦¦© de partition duale ˆp. On
£ ©
(5.9)
Si p est une partition ordonnée on notera par p l’orbite nilpotente correspondante. Sur l’ensemble des
partitions ordonnées, on définit la relation d’ordre de la manière suivante: ¦ ¦¦© soient p et
q £ ¦ ¦¦ © deux partitions ordonnées de . On notera p q si
¦
La traduction géométrique de cette relation d’ordre est la suivante:
Proposition 5.2.2 (Gerstenhaber - [CM93] p. 95, [Ger61]).
i) Soit p et q deux partitions ordonnées, alors on a p q si et seulement si p q.
ii) Soient p q deux partitions ordonnées telles qu’il n’y a pas d’autre partition comprise entre elles.
Alors on a
1 cas: il existe un entier i tel que, pour
Alors on a £ q p
©¥ .
2 `
cas: il existe deux entiers tels que pour
Alors on a £ q p
©¥£ © .
Pour de telles partitions on dira qu’elles sont “adjacentes”.
£
¦ et ¦
¡
¦
.
¦ et .
¡
Les deux cas se visualisent à partir de leurs diagrammes de Young de la manière suivante:
1 cas:
2 `
cas
p= q=

5.2. – Étude dans ¢¡¤£ ¦ ¨© – 45
p= q=
Le 1 cas consiste à faire coulisser une case d’un coin sur la ligne suivante, tandis que le 2 `
cas
consiste à la faire coulisser sur la colonne précédente.
Si p est un partition ordonnée de , alors on démontre que p est l’orbite de Richardson pour toute
sous-algèbre parabolique standard issue d’une partition associée à la partition duale ˆp, [CM93, p. 112].
Soit p une partition ordonnée. Soit la sous-algèbre parabolique standard issue de la partition ˆp. On a la
¡ ¢ . Puisque la sous-algèbre ¦¢ est stable par qui est un groupe réductif, elle
décomposition
admet un sous-espace qui lui est supplémentaire dans et qui est stable par ¢ , (cf. lemme 2.1.6). En
fait le sous-espace est unique, c’est la somme directe des sous-espaces où est somme de racines
simples issues ¢ de et d’une seule racine simple ¢ de , [CM93, p. 123].
Voici un résultat important sur l’étude de la trace de l’orbite de Richardson sur le radical nilpotent de la
sous-algèbre parabolique correspondante:
Théorème 5.2.3. Soit p
p. Soit la sous-algèbre parabolique issue de la partition duale ˆp £
£ ¦¦© une partition ordonnée. Soit p l’orbite nilpotente associée à
¦
¦
¦¦
© . Alors, on a:
i) Le sous-espace
p est réduit ¢ à une unique -orbite, qui est ouverte et dense dans .
p ¦
¢ ¦¢ .
ii) p ¢ £ p © ¢ ¦¢
Démonstration. © Soit l’unique élément du centre de ¡ donné par £ © si
. Ainsi défini, est un élément semi-simple de dont les valeurs propres de ¨ sont
¢ et
£ ©¥ si
des entiers. Alors relativement ©¨ à on obtient une -graduation
de et par construction même
on a . Soit
un élément de avec
et ¦¢ , alors dire que
¢ est dans
l’orbite de Richardson est équivalent ¦
à la condition car
cela signifie que est un ouvert dans
¦
et n’est rien d’autre que l’espace tangent
de , (cf. remarque 4.2.4, [LM87, p. 423]). ¢ Puisque
est ¡ -stable ¡ ¦
on a , la condition
¡ ¦ ¦
¢ ¡ ¦ ¢¢ ¦
avec
¡ ¦
¡ ¦ ¢¢ ¦
¢¢ ¦ ¢
¢ ¦ ¢ ¦¢
¡ ¦
entraîne , mais cette dernière égalité est équivalente au fait que l’orbite
de sous l’action
de est un ouvert dense dans , on dit aussi que la paire £ ¦ © est un espace préhomogène, c’est à dire
¢
que l’action ¢ de sur admet une orbite ouverte et dense, [Rub92, Vin87]. Par conséquent si on note par
¢ la projection suivant cette décomposition, on obtient £ p ¢ © , en particulier on en
déduit ¢ £ que ¢ © p . Une vérification rapide nous permet d’obtenir l’aspect des matrices qui
constituent , elles sont de la forme suivante:
.
.
.
.
.
.
. .. .
. .. .
..
. ..
où
est une matrice
élément de avec la configuration £ © , alors on a:
£ ¤ ©
¦
pour . Alors il est facile de voir que si on considère
un

5.2. – Étude dans ¢¡¤£ ¦ ¨© – 46
. ..
.
.
.
.
.
. .. .
. .. .
..
. ..
. ..
.
. ..
. ..
.
..
. ..
où
¦ . Alors par récurrence, on verra que dans la configuration de
diagonale de matrices
¦
¦
¦ de rang maximum. Puisque
£ © £ © et comme
avec
¦
£ ©
avec
on trouve une
. Supposons
que soit
¦
, on en déduit que £ ©
. De même on voit que pour tout , on aura
¦
est une matrice
¦
de rang
formule (5.9) et la proposition 5.2.2, on en déduit que
£ © , et comme
, par conséquent, ¦ £
dire que £ p ¢ © p ce qui démontre © .
© Si on écrit
avec
et
¦
est une matrice
¦
, on en déduit que
©
¦
est dans si et seulement si
. Alors en combinant la
p, c’est à
p si et seulement si
p, ce qui donne le résultat.
Remarque 5.2.4.
i) Ce théorème donne une autre caractérisation des éléments de l’orbite de Richardson ; il va
nous permettre, comme nous allons voir dans la suite, de donner une caractérisation du complémentaire
¢ ¦¢ , d’après la démonstration de © on a
de la trace de ¢ dans , en particulier, il va nous permettre de trouver les composantes irréductibles de
¢ , lorsque est dans une orbite adjacente à l’orbite de Richardson .
ii) Notons au passage que ce résultat n’est pas toujours réalisé pour une sous-algèbre parabolique issue
d’une partition associée à la partition duale ˆp. Dans la démonstration on se sert du fait que ˆp est ordonnée,
c’est ce qui nous a permis de démontrer que p .
¡
Soit
nilpotent une variété irréductible contenue dans le cône de ¢¡¤£ ¦ ¨© Puisque
. est stratifié
par un nombre fini d’orbites nilpotentes, (cf. théorème 2.1.5), il existe alors une unique orbite qui
intersecte
de manière dense dans
.
Définition 5.2.5. On appellera , l’orbite induite par
.
Soit à présent p q deux partitions ordonnées adjacentes. Soit la sous-algèbre parabolique issue de
la partition duale ˆp. Puisque l’image de l’application moment associée n’est rien d’autre ¢
que
( p), on en déduit que q intersecte ¢ de manière non triviale. De plus, puisque q est adjacente à p,
l’orbite q est induite par toute composante irréductible £ ¢ de p © qu’elle intersecte de manière
non triviale.
Soit £¦© £¨© l’espace des matrices complexes . Pour £¦© ,
désignons par la sous-variété de £¦© constituée des matrices de rang au plus ;
£¦©
£¦©
est appelé une variété déterminentielle, c’est une sous-variété algébrique normale, irréductible de £¦©
de codimension £©£ © , de plus coïncide avec l’adhérence de la sous-variété de
£¦©
£¦©
constituée des matrices de rang exactement égal à , [ACGH85, Chapter II].
Pour tout £ , notons par
la sous-variété de définie par
On pourra noter que
¢ ¦¢ £
© ¦
n’est rien d’autre que la somme d’une variété déterminentielle et d’un sous-
espace vectoriel, c’est donc une sous-variété normale, irréductible de
codimension
¦
dans

5.2. – Étude dans ¢¡¤£ ¦ ¨© – 47
sont exactement les composantes irréductibles du
complémentaire de la trace de ¢ p sur . On pourra noter que dans le
cas où , il n’y a pas de partie
. D’après le théorème 5.2.3, les sous-variétés ¢
déterminentielle dans
et
sous-algèbre parabolique.
est un hyperplan dans coïncidant avec le radical nilpotent d’une
Soient p q deux partitions ordonnées adjacentes. Si
est l’ensemble des composantes
irréductibles £ © de qui induisent q, alors on ¢ a £ ©
q , en particulier, toute
¢
¢ composante irréductible de q est (au moins) contenue dans une des sous-variétés
pour un
certain , et dans chacune des sous-variétés
on trouvera une unique
composante irréductible de
q qui est ¢ dense dans
. Par conséquent, on a une injection des composantes irréductibles de
£ ¢ © qui induisent q sur l’ensemble des composantes irréductibles de q ¢ . En fait, nous
¢
allons voir à la fin de la preuve du théorème 5.2.8 qu’on a une bijection entre ces deux ensembles.
Théorème 5.2.6. Soient p q deux partitions ordonnées adjacentes. Soit la sous-algèbre parabolique
standard issue de la partition duale ˆp £
Alors, les composantes irréductibles de £ ¢ p © qui induisent q sont toutes isomorphes entre elles
¡
.
¦¦ © . Notons par ¡
et sont données par les variétés
Démonstration. Pour faire la démonstration, nous allons distinguer deux cas.
(i) Le cas
: soit
. De plus, on a £ q ¢ © £ q © .
et
£ © et
£
est dans le complémentaire de la trace de p ¢ sur et l’existence d’un indice ¦¦ pour lequel
. Mais par hypothèse
un élément nilpotent de avec
ayant la configuration
¦¢ . D’après la démonstration du théorème précédent, il est équivalent de dire que
¢
pour tout et ,
sont de longueur 1.
¢ de où
£
© ¦
, alors par la proposition 5.2.2 on en déduit que
et , et par conséquent
¥ ,
,
, c’est à dire que les blocs
qui sont des matrices ¦
L’annulation d’un de ces blocs fait apparaître l’une des hypersurfaces ¤ ¦
, c’est à dire l’annulation d’une certaine coordonnée correspondant à une racine simple
avec de ¢ . Mais il est facile de vérifier que ces hypersurfaces sont les radicaux nilpotents
de certaines sous-algèbres paraboliques standards, associées à la partition duale ˆq. Donc ces hypersurfaces
£ ¢ ©
induisent l’orbite q. Reste à voir que les autres composantes irréductibles de p n’induisent
pas q. Soit tel que £
, alors le rang de
strictement plus petit que . Il est facile de voir qu’on a:
est nécessairement
¦
¦ ©

5.2. – Étude dans ¢¡¤£ ¦ ¨© – 48
Par conséquent £ ©
le résultat.
(ii) Le cas
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. Pour que
£ ©
. Puisque , alors
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. ..
.
.
.
..
¦
. .
.
.
soit dans q, il est nécessaire d’après (5.9) que l’on ait
pour ¤ , par conséquent
. D’où
: on a alors
¦
.
Notons
par
¢ £
©
¦
Alors d’après [ACGH85, p. 71], on obtient:
Mais pour , il est facile de vérifier que
standard issue de la partition £
ˆq car . D’après (5.10) on en déduit que
¥ et
(5.10)
¡
¦¦
˜
¦
¦
¦ ¦
¦ ¦¦
, où ˜ est la sous-algèbre parabolique
qui est bien associée à la partition
©
le radical nilpotent de la sous-algèbre de Borel standard. Alors on a £ © £ © , [Spa77].
Puisque
¢© , on en déduit que
la dernière égalité provient du théorème 3.3.1. Mais on vient de voir que £
est une partition associée à ˆq, on en déduit que
©
¦ ¦ ¦¦
©
¥
£
Comme la variété
est de codimension
©
¥
£
˜ ©£ ¢ ©
£
©
¥
£
¦
d’après la proposition 1.2.8, on en déduit que q.
Reste à voir que les autres composantes irréductibles
induit une orbite nilpotente q. Soit©
q £ ©£ ˜ ©
¦
¦¦
, (cf. page 47), on a alors
©
¥
£
£ q ©
¦ ¦
¦
n’induisent pas q avec ou bien
. Mais c’est exactement la même démarche que précédemment qui consiste à vérifier £ ©
que
pour tout élément
.
Finalement, si on a qu’une seule composante qui va induire q, sinon pour tout ¦
on a et par conséquent
les blocs sont des blocs carrés de même longueur; on en
sont isomorphes entre elles.
déduit que les variétés
Soit
associé à la racine simple .
une racine simple. Notons par le sous-groupe parabolique standard minimal
Définition 5.2.7. On appellera droite projective de type tout sous-ensemble de de la forme ,
où .

5.2. – Étude dans ¢¡¤£ ¦ ¨© – 49
Notons au passage que . Mais , car n’est pas dans le support de
.
, et ces dernières droites ont été initialement introduites par J. Tits.
Par conséquent
Deux droites projectives de même type sont disjointes ou confondues, et deux droites projectives de types
différents se coupent en au plus un point, [Ste74, p. 146].
Théorème 5.2.8. Avec les notations du théorème précédent. Soit p q deux partitions ordonnées adjacentes.
Soit q.
i) Si ¥ , alors £ © est une réunion de droites projectives de type avec
qui se coupent tranversalement. Plus précisément, pour chaque racine ,
avec
,
on ne trouve qu’une seule droite projective de même type et deux droites projectives de type et se
coupent tranversalement en un seul point si et seulement si avec .
ii) Si £ ©
, alors est réduit à une seule composante irréductible isomorphe à .
Démonstration. Comme pour la démonstration du théorème précédent, nous allons distinguer deux
cas.
(i) Le cas
, notons par la sous-algèbre parabolique
et
: pour tout
standard de groupe algébrique donné par le sous-ensemble de racines simples . Alors on
remarquera que . De plus ces sous-groupes paraboliques standards sont associés à la
partition duale ˆq, (cf. démonstration du théorème 5.2.3), alors d’après la proposition 5.1.3 on en déduit que
P est une réunion de droites projectives de type pour
on ne trouve qu’une seule droite de même type.
Enfin, pour
correspondant à ¤ ¦
, et pour chaque type
¦ tels que ¥ on remarque que l’intersection de deux hyperplans
et ¤¦
algèbre parabolique issue d’une partition associée à la partition
ordonnée ˆt £ ¦¦ ¦
¦¥§¦ ¦ ¦¦ © .
Alors ˆt domine strictement la partition ˆq. Par conséquent on en déduit que q , d’après la
proposition 5.1.3 ¢ les droites projectives et correspondantes dans P ne se coupent
pas.
(ii) Le cas
¥ et on a
dans ¢ donne exactement le radical nilpotent d’une sous-
Fixons un entier , nous allons étudier la nature de la composante irréductible de
: deux situations se présentent: si on a alors
¥ , sinon
¥ .
£ ©
correspondant à la composante irréductible
. Notons par ¦
et , on a et
l’inégalité est stricte que dans la situation où
. Notons par , et par la racine simple
correspondante. Considérons
q, avec
avec l’aspect £ ©
¦¢ ¢
page 45 et
. On va même prendre
§¦
§ ¦
§ ¦ ¦
de telle façon que l’on ait
qui est bien de rang égal à , i.e. qu’il aurait l’aspect suivant:
1
0
0 1
0
1
0
0
0
0
(5.11)
¦

5.2. – Étude dans ¢¡¤£ ¦ ¨© – 50
Soit
, l’élément du groupe de Weyl défini de la manière suivante:
£ ¦ © ¦ ©£
¦ ¦
© ¦ ©£ ¤ ©
¦ ¦ ¦
¦
Remarquons que est un produit des © ¦ ¦
© ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ réflexions simples
déduit que:
Pour tout entier , considérons la racine
alors on a:
£ © ¦
£
, alors on en
¦ £ (5.12)
© £ ©
£
¦
¦
¦ ;
¦ ¦
£ ¦ ¦
©
De plus, par construction même est déjà écrit sous une forme réduite, alors d’après [Spr98, p. 142], on
a:
On en déduit que
£ ©
¦
¦ ¦ £
£ © (5.13)
Soit w le représentant de longueur minimale de dans , alors il est facile de vérifier que l’on a
£ w ©
d’après (5.13), on en déduit que
D’après (5.12) et (5.14) on a
Par choix de
Soit
¦ £© (5.14)
£ £ w (5.15)
, on a w ¢ où w est un représentant de w dans
£ w © ¦
¦ £ (5.16)
dans l’écriture de
© . £
Rappelons que si
combinant avec (5.16) on en déduit que:
D’après le théorème 5.1.1, on a:
¦
¦
©
¦ où ¦ sont deux racines, alors
£ ©©
¥
£
¦ , avec
¨ . Alors d’après (5.15) on a bien w.
©
¦ , [Ste74, p. 80], alors en
¢ w ¢ (5.17)
©£¡ ©©
¥
££
££ r ©£ q ©©
££ ©£ q ©£¡ ©©
££ p ©¥£ ¢ s ©©
¥
¥
£ ¢ ©£ ¢ q © §£
©
Comme £
¦
¦ ¦
£ © , en
combinant avec (5.17), on en déduit que
£ £ ©© et que la composante irréductible de
£ © correspondante à
est donnée par l’adhérence dans du sous-espace:
£
¦
© ¦
¦
© £
¦
© ¦
¦ ©¢ ¦

5.2. – Étude dans ¢¡¤£ ¦ ¨© – 51
Notons par
la réflexion élémentaire qui échange et du groupe symétrique , avec
¥ et par la matrice élémentaire de ¢¡¤£ ¦ ¨© . Considérons le sous-groupe parabolique maximal
de SL £ ¨© de groupe de Weyl engendré par les réflexions ¦¦ ¦ . Alors on a l’isomorphisme
suivant:
£
¦
© ¦
¦ ¦
©¢
£
© ©©
Mais le membre de droite n’est rien d’autre que la grosse cellule de Schubert de l’espace SL £ ¦ ¨© ,
alors on en déduit que la composante irréductible £ © de correspondant
à est isomorphe à
SL £ ¦ ¨© © qui est l’espace projectif des hyperplans de ¨ , donc cette composante irréductible est isomorphe
¦
à .
Si , on a ¦
§ ¦ ¦ £
¦ et et on obtient:
© £ §¦
£ §¦ ©
Par conséquent, la composante irréductible correspondante est bien une droite projective de type .
Montrons à présent que si ¥ , alors
¥ on a
¦
. Soit
avec la configuration £ page 45 et
¢ ¦¢ . Si ©
l’écriture
de
, en particulier on a £
© et £
par
©
q . Puisque qu’on est dans la
situation
, avec
sont les blocs qui rentrent dans
© . Soit un élément de . Si on note
les blocs qui rentrent dans l’écriture de suivant la composante de Levi de , alors on a:
. ..
.
.
.
. .. . ..
¦
Puisque ¥ et comme £
. ..
.
.
.
.
.
.
. ..
. ..
. ..
.
tel façon que que la première colonne des § blocs de
zéros, en particulier on
aura ˜ où ˜ est la sous-algèbre parabolique standard issue de la partition
£
et © £
© , on peut choisir ¦ ¦ et
de
et
ne soit remplie que de
¦¦ ¦
¦
¦
¦¦
¦
¦
¦
¦¦
©
qui est associée à la partition ordonnée
et cette dernière domine strictement
£
¦¦ ¦
¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦
¦
ˆq £
¦¦
Par conséquent on trouve
les composantes
irréductibles de
¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦
¦
¦¦ ©
¦¦ ©
q . Par la description faite à la page 39, on en déduit que
sont disjointes.
£ © associées
à
et
Montrons à présent £ © que les composantes irréductibles de que nous avons trouvées dans les cas
(i) et (ii) sont £ © les seules composantes irréductibles de , ce qui revient à montrer qu’on a une bijection
entre les composantes irréductibles
qui induisent q et les composantes irréductibles ¢ de
q .
D’après
q¢ le
théorème
5.2.6, on
a
, par conséquent toute composante irréductible

5.3. – Étude de germe de surface – 52
de ¢ q est contenue dans une des sous-variétés
pour un certain , alors il suf-
, on n’a qu’une seule composante irréductible de
fit de montrer que dans chacune des sous-variétés
q ¢ . Le cas (i) est trivial car c’est une conséquence du théorème 3.3.1 © . Pour le cas (ii): soient
deux composantes irréductibles de q ¢ contenues dans
. Soit
(resp.
) avec et
¢ ¦¢ (resp.
et
¢ ¦¢ ). En conjuguant
(resp.
) par un élément (resp. ) avec un choix convenable de la partie de Levi de (resp.
de ) (cf. l’expression matricielle ci-dessus), on peut supposer que le bloc
qui entre dans l’écriture de
(resp.
) soit de la forme (5.11) donnée explicitement à la p. 49. Le calcul qui s’en est suivi montre
que nécessairement les composantes irréductibles et £ © de correspondant à et sont isomorphes
et que par conséquent et sont isomorphes. Puisque
¢
induit q, l’une des composantes
irréductibles de q contenue dans
est nécessairement dense dans
, si
est dense dans
il en sera de même de , si bien que l’on doit nécessairement avoir .
Dans les cas (i) et (ii), sachant d’une part que si ¥ , alors les composantes irréductibles
associées à
et à
sont disjointes , et d’autre part, que l’application est birationnelle et son
¢ image est une variété normale, (cf. proposition 4.3.7), alors par le théorème principal de Zariski
[Har77, p. 280] les fibres de sont connexes, on en déduit que les droites projectives associées à
et
ont une intersection non vide que si , ce qui termine notre démonstration.
5.3 Étude de germe de surface
En gardant les notations du paragraphe précédent. Soit p q deux partitions ordonnées adjacentes,
£ avec q © ¥ . Et soit un élément de q. Cette dernière partie consistera à lier la descrip-
p
tion du germe de surface £ p
précédemment de l’application moment .
Définition 5.3.1. Soit
¦ © où
est une section transverse à l’orbite de
une -variété. On appelle section transverse dans M à l’orbite de
telle que:
la donnée d’une sous-variété localement fermée de
a) ;
b) morphisme
¦£ ¦ ©
le est lisse;
c) est de dimension minimale pour les propriétés et © . ©
, avec l’étude faite
au point
Puisque nous travaillons sur ¨ , on a £ © £ © , si de plus
est lisse alors nécessairement
doit être lisse car localement au point
,
est isomorphe
au produit , [Slo80b, p. 61].
Pour se donner une telle section transverse il suffit de choisir un espace linéaire qui soit supplémentaire
au point
X. Alors est une section
transverse dans
au point
à l’espace tangent à l’orbite de
.
Soit un élément nilpotent de q. Par le théorème de Jacobson-Morozov, (cf. théorème 2.2.1), il existe
semi-simple et nilpotent de tel que
¦
¥ ¦ ¦
¥ ¦
¦
Alors d’après la théorie des représentations de ¢¡¤£ ¥§¦ ¨© ,
l’espace est un supplémentaire à
l’orbite de dans au point
, où est le centralisateur
de dans , (cf. remarque 1.4.3 (ii)). Notons par:
Alors on a le résultat suivant:
Lemme 5.3.2.
i)
p q;
ii)
Le morphisme
p
¦
£ ©
est une désingularisation de M.
,

5.3. – Étude de germe de surface – 53
Démonstration. © Montrons que les seuls éléments de
la décomposition de en sous-module simples par la représentation de ¦ ¦
sont des éléments issus de p et de q. Soit
¢¡¤£ ¥§¦ ¨© .
Pour chaque , notons par la valeur propre pour ©¨ telle que si est la droite vectorielle
¦ . D’après le théorème
propre pour ©¨ l’endomorphisme relativement à cette valeur propre, alors
1.4.2, on a alors . Notons ¨ par le sous-groupe à un paramètre associé à et soit
avec
. On peut s’arranger de telle façon que soit somme directe de certaines droites
avec £ ©
, alors on a , où , et comme les orbites nilpotentes sont des
cônes on en déduit que pour tout ¦ ¨ , ©
£ . En faisant
tendre vers , on voit que
est dans l’adhérence de l’orbite de
sous l’action de . Ce qui montre que
, (cf. remarque 2.2.3, on a
est dans l’adhérence de tout élément de
p, on en déduit que
Puisque
p q.
©
Par construction on a
localement
£ © , on a
. Mais puisque
et £ © localement est isomorphe à l’espace
produit
propre de
désingularisation de
.
¨ ), alors on a ¤ . Si on écrit
fait partie de l’orbite q qui est adjacente à
q, de même p est localement isomorphe à
£ ¦ ©
¢
provient du fait que est complet; par
conséquent
q. En particulier,
q.
est lisse. Le caractère
est bien une
Lemme 5.3.3 (Hinich - [Hin91a] p. 302). Le germe de surface £ ¦ © est un germe de surface normale à
singularité rationnelle.
£ Démonstration. Il suffit de constater que p ©
et on a deux morphismes lisses
p et au point £ ¦ £ © . On en déduit que le germe p ¦ © est normal si et seulement si le
germe de surface £ ¦ © est normal [GD61]. D’après la proposition 4.3.7, (cf. [KP79]), l’adhérence de
toute orbite nilpotente dans ¢¡¤£ ¦ ¨© est normale. Par conséquent £ ¦ © est un germe de surface normale à
singularités isolées.
En appliquant le théorème 5 de [Elk78a] au
morphisme
des singularités rationnelles.
Le diagramme suivant:
est une désingularisation simultanée des fibres de déduit que
est un germe à singularités rationnelles.
p, on en déduit que
présente
. Alors en appliquant le théorème 3 de [Elk78a], on en
Définition 5.3.4. Soit £ ¦ © un germe de surface normale à singularité rationnelle. Une désingularisation
£ ¦ © est dite minimale si £ © n’a aucune composante irréductible d’auto-intersection -1.
La désingularisation minimale existe et toute désingularisation de £ ¦ © se factorise par cette dernière.
De plus les germes de surface normale à singularité rationnelle, dont les composantes irréductibles de la
fibre exceptionnelle ont pour auto-intersection ¥ sont parfaitement connus, ils sont obtenus comme quotient
de ¨ par tout groupe fini de SL £ ¥§¦ ¨© , [Slo80b, p. 72]. On les appelle les singularités simples, et elles
sont classifiées suivant les familles ¦ ¦ ¦ ¦ .
Alors on a le résultat suivant:
Théorème 5.3.5. Soient p
telles que
p
£
£ q
©¥ et
¦¦© q ¦ £
. Soit la sous-algèbre standard issue de la partition duale ˆp. Soit
¦ ¦¦ © deux partitions ordonnées adjacentes

5.3. – Étude de germe de surface – 54
. Notons par
est la désingularisation minimale de la surface
¡ et ¡
. Soit
¨© à l’orbite q au point ¢¡¤£ ¦
p et
i)
Le morphisme
q, et une section transverse dans
£ © . Alors
ii) Le germe de surface £ ¦ © est un germe de surface normale, avec une singularité simple de type
.
Démonstration. Le calcul qui suit se calque sur ce que H. Esnault avait fait pour le cas sous-régulier
dans sa thèse [Esn76]. Le raisonnement se fait dans un cadre plus général, mais on ne peut l’appliquer dans
notre étude antérieure que dans le cas où
:
d’après le théorème 5.2.8,
£ © est une réunion de droites projectives de type avec
Pour démontrer le théorème il reste à calculer l’auto-intersection pour chacune de ces droites
projectives
© dans , la première classe de Chern du fibré normal de chacune de
ces droites projectives
dans le fibré normal de la droite
projective
, c’est à dire £
¦
à calculer
, [MS74].
Notons par
.
.
dans
. Si sont trois variétés lisses, alors on obtient la suite exacte courte suivante
de fibrés normaux:
§ §
Par conséquent, on en déduit que le fibré normal de £ © dans est une extension du
fibré
£ © dans ; mais on a vu que
localement
normal de dans et du fibré normal restreint, de
£ © est trivial, il est localement isomorphe à l’espace produit q, par conséquent localement, le
fibré normal restreint de £ © dans est isomorphe au fibré tangent de q, il est donc trivial pourvu
que l’on prenne un représentant suffisamment petit du germe de . Par conséquent on est amené à calculer
£ ¦ £ ©© .
Lemme 5.3.6. Soit un sous-groupe parabolique standard d’un groupe algébrique complexe, semi-simple
, donné par un ensemble de racines ¢ simple . Soit le sous-groupe parabolique standard issu des
¢ racines simples , où est une racine en dehors du support de et £ © tel que . Alors le
£ © ¢ ¦£ ¦ ©§
morphisme naturel , est une -fibration localement triviale,
et £ ©
permet d’identifier avec le fibré ¢ , ¢ où , est le radical nilpotent de
l’algèbre de Lie de .
Démonstration. En effet, le morphisme naturel
© ¢ ¦£ ¦ ©
£
est -invariant par conséquent on ¢
a , £ © où , (cf. lemme 3.1.1). Mais il est
facile alors de vérifier que l’on a:
£ ¦ ©
¢
¢¥
¢
La trivialité locale provient de la décomposition de Bruhat-Tits sur .
Notons au passage que la droite projective est contenue dans . Par conséquent on a
£ © trois variétés lisses. On en déduit que le fibré normal de dans £ © est une
extension du fibré normal de dans et du fibré normal, restreint, de £ © dans . Mais puisque
£ ©
¢
est une fibration localement triviale de base lisse, alors le fibré normal restreint de dans £ © est
trivial car isomorphe au fibré trivial de fibre l’espace tangent au point à de , donc de classes de
Chern nulles.
On est donc amené à calculer
£ ¦ © .
Lemme 5.3.7. Avec les même hypothèses que le lemme précédent. Soit un élément nilpotent contenu
dans ¢ . Soit une droite projective contenue dans P . Alors la première classe de Chern du fibré
normal de dans £ © est égale à -2.

5.3. – Étude de germe de surface – 55
Démonstration. D’après ce qui précède, il nous reste à calculer la première classe de Chern du fibré
normal de dans ¢ . Notons par le radical nilpotent de l’algèbre de Lie de . Alors on a
la suite exacte courte suivante qui est -invariante:
¢¢§¢
¢
Par conséquent on en déduit la suite exacte courte de fibrés:
¢ ¢ £ ¢§¢ ©
Mais puisque le -module est obtenu comme restriction du ¢ -module , alors le ¢ fibré est
trivial. De plus par §¢ hypothèse on a est un espace vectoriel de dimension 1 sur lequel agit
via la racine simple : en effet,
si on écrit où ¦ £ ©
est la composante de Levi de
avec
(resp. £ © ¦ ) le centre (resp. le sous-groupe dérivé) de et
est son radical nilpotent. Les
sous-groupes
et £ n’ayant pas de caractères, l’action de sur§¢ (induite par l’action adjoint)
©
se réduit à celle
de , donc elle se réduit à celle du tore maximal d’algèbre de Lie , et la différentielle de
¦
cette action du tore se matérialise à travers la racine . Alors il est facile de vérifier que l’on a:
SL £ ¥§¦ ¨© £
£ ¢§¢ ©
£ SL £ ¥§¦ ¨© ©
où est un sous-groupe de Borel de £ ¥§¦ ¨© SL et le radical nilpotent de son algèbre de Lie. Mais
SL £ ¥§¦ ¨© . Par conséquent
£ ¦ ¢ ©
£ £ ©©¥§

Chapitre 6
Sur la correspondance de Spaltenstein
L’enjeu du chapitre dernier ne consistait pas seulement à retrouver le résultat de Hesselink-Kraft-
Procesi, [Hes76b, KP81], mais aussi à étudier très exactement les fibres de la résolution de Springer où
est une sous-algèbre de Borel, (cf. proposition 3.4.4). Si est un élément nilpotent associé à une partition
par
le théorème 5.2.8, les composantes irréductibles des fibres
de (resp. de ) au dessus de ¢
l’orbite
(resp. ); on peut alors imaginer que les composantes irréductibles des
. En réitérant ce type de description
, de manière naïve considérons une suite de partitions £ © adjacentes .
¦¦
Notons
les sous-algèbres paraboliques associées aux partitions duales ¦¦
des partitions . Par
(resp. ) sont de la forme ¢
fibres de au ¢
dessus de sont des fibrés en au dessus de
on peut très bien espérer avoir une suite de
fibrations en pour remonter ainsi jusqu’à une
£ ©
certaine
, ce qui donnerait une description assez semblable à celle d’une variété
composante irréductible de
de Bott-Samelson qui est une tour en , [Dem74]. Mais il y a un inconvénient majeur avec cette idée
naïve: c’est qu’un tel procédé donnerait que des composantes irréductibles lisses £ © de , or il existe
des exemples de composantes irréductibles singulières £ © de , (cf. [Spa76, p. 454]); si bien qu’avec ce
même procédé on ne peut pas espérer obtenir toutes les composantes irréductibles £ © de .
Pour essayer de remédier à ce dernier problème, on va essayer de “localiser” la position de chacune
£ © dans et cela dans le but de pouvoir les calculer. Le travail
£ © , l’unique cellule de
des composantes irréductibles de
de ce chapitre consiste à déterminer pour toute composante irréductible
de
où est un espace vectoriel de
C Schubert de la variété des drapeaux complets F F £©
dimension sur un corps algébriquement clos , telle que le sous-espace C soit dense dans .
6.1 Notations, rappels et théorème principal
Soit un espace vectoriel de dimension sur un corps algébriquement clos . On appelle un drapeau
(complet) de ¦ © ¦¦
, une suite de sous-espaces vectoriels de , tels que . Notons par F £© F la variété des drapeaux complets de . Fixons une base
£
et
¦
¦ ¦¦
de ,et pour tout notons £
par
est appelé le drapeau standard dans . Pour tout entier £ , notons par
£
Soit
semble
¦ ¦¦ © . Le drapeau £
£ ¦ ¦¦ ©
¦¦ ©
¦
, notons par , l’ensemble
¦
© £
¦¦ © ¦
¦ ¦¦ . Considérons l’en-
£ ¦ ¦¦ ©
L’ensemble est identifié au groupe symétrique , [BL00, p. 28]: à tout élément de ,
on
associe l’élément £ ¦¦ © de défini de la manière suivante: est obtenu en rangeant dans
¦
l’ordre croissant les entiers£©¦£ ¥§©¦¦£ © . On munit l’ensemble de la relation d’ordre de Bruhat-
Chevalley: pour tout £ ¦ ¦¦ © de , on écrira si pour tout
¦¦ © et £
¦
et
£ on a . £ ¦
¦¦ © Tout élément de peut être représenté par le
56

6.1. – Notations, rappels et théorème principal – 57
tableau de symboles suivant:
Pour tout élément £
S £
¦¦ ©
¦
£
¦¦ ©
, considérons l’ensemble
¦
¦¦ ©
F £¦¦£ ©
¦
appelé la variété de Schubert dans F relativement à . Alors on a le résultat S suivant: S si et
seulement si , [BL00, p. 26]. Notons par
C S § S ¦
l’espace C est appelé la cellule de Schubert relativement à et on a la décomposition bien connue:
F
C
On peut aussi voir la cellule de Schubert C à partir de la règle suivante que nous appellerons:
Règle d’Ehresmann, [Ehr34, p. 440]: Si on considère les variétés de Schubert à partir de leur tableaux
de symboles, alors la cellule de Schubert associée à est obtenue en enlevant à cette dernière les variétés
de Schubert associées aux éléments pour lesquels leurs tableaux de symboles sont obtenus en diminuant
d’une unité certains nombres du tableau de symboles de .
Sur un corps tel (comme pour le corps des complexes), on a une bijection entre les orbites nilpotentes
dans ¦ © et les partitions ordonnées de .
£
Soit un élément nilpotent de ¦ © . Il lui correspond une partition ordonnée £ £ ¦ ¦ ©
de , notée , appelé le type de X, et est la longueur de , (cf. p. 43). On appelle un tableau de Young
standard de ou de un arrangement des entiers ¦¥§¦¦ sans répétition dans les cases du diagramme
de Young de
tel que les entiers soient croissants lorsqu’on lit horizontalement de gauche vers la droite
et verticalement de haut en bas, est aussi appelé la forme du tableau de Young standard. Notons
par
l’ensemble des tableaux de Young standards de
.
Soit F la sous-variété des drapeaux fixés par
:
£ ¦ ¦¦ ©
F £ ¦ ©
¦
¦
F
puisque est nilpotent, on obtient © , si bien que l’on a:
£ ¦
£ ¦¦ ©
F £ ¦ © ¦
F
N. Spaltenstein £ ¦ ¦¦
©
F associe à tout drapeau un tableau de Young standard de de
la manière suivante: l’élément
induit un endomorphisme nilpotent sur
et £
fixe
¦¦
le
©
drapeau
. Le diagramme de Young de
est obtenu en retirant une case qui se trouve à un
coin du diagramme de
Young de
. Si cette case que l’on vient de retirer se trouve à la colonne, on
a la propriété suivante: © £ ©© , £¢£ £ © et réciproquement. Par induction
sur
£ , au drapeau £ ¦¦ © ©
fixé par
il lui correspond un tableau de Young
standard , alors au £ ¦
¦¦ © drapeau il correspondra le tableau de Young standard obtenu à
partir de auquel on remet la case enlevée avec la
numérotation et ce dernier est bien un tableau de
Young standard . Notons
par F , l’application ainsi définie.
Pour tout , notons
£ © par F . Alors on a le
résultat suivant:
Proposition 6.1.1 (Spaltenstein - [Spa76] p. 454). La collection £ F
en sous-variétés irréductibles, lisses et
l’application
© ¡ est une partition de F
F
F est une bijection entre
et les composantes irréductibles de F . De plus, l’application £ © F
P £¢£ ©
£ ©© P £¢£ © £ ©© est une fibration surjective dont les fibres sont isomorphes à F .

6.1. – Notations, rappels et théorème principal – 58
En plus du résultat de N. Spaltenstein, R. Steinberg a montré dans l’article [Ste88] que la “position
relative” de deux composantes irréductibles F et F de F est reliée à l’algorithme de Robinson-
Schensted appliqué à la paire £ ¦ © . La position relative de deux drapeaux £
F F , de manière équivalente elle peut être définie comme étant l’unique permutation £¢
et £
¦¦ © ¦
¦ ¦¦ © est définie comme étant la GL £ ¦ © -orbite de la paire £ ¦ © dans l’espace
avec la propriété suivante [Lee00, p. 415]: il existe une base ¦¦ de ¦
telle que ¦¦¢
est une base
de
¦¦
et
est une conséquence de la décomposition de Bruhat de GL £ ¦ . D’autre part, avec la correspondance © de
Robinson-Schensted, la permutation associée à la paire de tableaux de Young standards £ ¦ ©
de même forme, est donnée par l’algorithme suivant, (cf. par exemple [Knu70]): à partir de enlevons le
nombre (ainsi que la case qui le contient); alors, prenons le nombre qui est dans la même
position dans
(que l’a été dans ) et remontons le d’une ligne pour déplacer le plus grand nombre (dans cette même
ligne) qui lui soit plus petit; utilisons ensuite le nombre déplacé pour déplacer un nombre dans la ligne
supérieure selon la même règle, et ainsi de suite, jusqu’à un certain nombre, disons , qui soit éjecté de la
première ligne; posons alors £ © . Répétons le même procédé dans les deux nouveaux tableaux
de Young standards (qui ne comportent plus que cases) afin d’obtenir £ © , et ainsi de suite
de
est une base de pour tout . L’existence et l’unicité de ¤¢
pour avoir successivement les valeurs £ ¥§©¦¦ £© . Alors le résultat de R. Steinberg nous
¦ ¦¦ ©
F et £ ¦ ¦¦ ©
F dans des
assure que pour des £
éléments
, [Ste88, theorem 1.1].
ouverts denses appropriés, on a
¤¢
Puisque F est une réunion finie disjointe de cellules de Schubert, pour toute composante irréductible
F de F il existe une unique cellule de Schubert C telle que F C soit dense dans F
.
Notons ¢ par l’ensemble des tableaux de Young standards de longueur . Pour
tout
, notons par le numéro de la ligne occupée par le nombre dans . Notons par
et par
¢¦¥
§
¤
¦
©¨ ¦
¦ si ¤
¦
sinon
où est la transposition élémentaire qui échange et . Définissons l’élément du groupe symétrique
suivant:
Relativement à la base standard , on peut supposer que ¦ ¦¦
est décomposé sous forme de
£
blocs
¦ ¦¦ ©
de Jordan; si est
le type de , alors et pour £ ©
tout
nous
©
avons
et ¦ ¢ £ £©
pour ¦
¥
décomposition, on dira que
est adapté à la base ¦ ¦¦ .
Alors on a:
(6.1)
; pour une telle
Théorème 6.1.2 (théorème principal). Soit un endomorphisme nilpotent adapté à la base canonique
de
et soit F une composante irréductible de F
avec
cellule de Schubert telle que le sous-espace C F ¨ est dense dans F .
Donnons le contenu de ce dernier chapitre.
. Alors C ¨ est l’unique
Dans le 6.2, nous associons a chaque élément
un diagramme de variation qui va nous permettre
de donner la preuve du théorème principal.
Dans le 6.3, nous donnons deux applications du théorème principal. En premier, nous donnons
un algorithme pour calculer explicitement les fibres de la résolution de Springer dans £ ¦ © (cf. p. 65),
ensuite lorsque ¨ , nous calculons le graphe de résolution (pour la définition, voir p. 67) associé à la
fibre de Springer au dessus d’un élément nilpotent dont la partition est £ ¥§¦ ¦¦ © et nous allons voir qu’il
est relié au graphe de résolution associé à la partition £ ¦ © qui coïncide avec le diagramme de Dynkin
de ¢¡¤£ ¦ ¨© , (cf. p. 70).

6.2. – Diagramme de variation et démonstration – 59
6.2 Diagramme de variation et démonstration
Soit un tableau de Young standard. On associe à l’élément son diagramme de variation
défini de la manière suivante: notons par et £ ¤© . Sur la première ligne
on dispose des points pondérés de à , ensuite sur les lignes suivantes on représente successivement
chaque cycle
par où se trouve à la verticale de et à la verticale de , et
enfin pour la dernière ligne on recopie la première ligne:
¦¦
¥
¥
Le diagramme de variation de
fonctionne de la manière suivante: pour connaître la valeur
on part de la valeur sur la première ligne, on descend verticalement jusqu’au moment où l’on rencontre un
des cycles représentés par ; dans le cas où l’on ne rencontre pas de cycle on trouve £ © ,
dans le cas où l’on rencontre un cycle, si on tombe sur la partie du cycle représentée par alors on
se décale d’une unité vers la gauche et on réitère ce procédé en descendant à nouveau selon la verticale, et
si on tombe sur la partie du cycle £ © .
alors on trouvera
Exemple 6.2.1. Pour le tableau de Young standard
¥
on trouve
£ §© , le procédé décrit ci-dessus nous donne:
valeur
, , § , ,
on trouve alors £ §© .
¥
¥
£ ©
et si on veut connaître par exemple la
¦
Soient deux tableaux de Young standards de forme , (cf. définition p. 57). On écrira
s’il existe un entier tel que , et pour on a
par conséquent ceci définit un ordre total
sur . On dira que est le prédécesseur de si
et pour tout on a . Notons le plus grand élément de
§ . Nous pouvons remarquer que pour l’ordre , deux éléments de
sont toujours comparables, ¡ ,
pour cette relation

6.2. – Diagramme de variation et démonstration – 60
d’ordre.
Si est le prédécesseur de , notons (resp.
(resp. ) en retirant les cases indexées par les entiers ¦ ¦¦ , alors
) et l’élément maximal (resp. minimal) de §¢ et on a:
, de plus
(resp.
Deux tableaux de Young standards
) le tableau de Young standard obtenu à partir de
et ont une même forme
§
¦ si ¦
¦ si (6.2)
¦
est obtenu à partir de en échangeant les places occupées par et dans tandis que les places
occupées par les autres entiers sont inchangées.
Pour aboutir à la démonstration de ce théorème, nous allons dans un premier temps montrer que la propriété
sont dit adjacents s’il existe un entier tel
du théorème 6.1.2 est réalisée pour et dans un deuxième temps nous allons montrer par induction sur la
relation d’ordre que cette propriété est vérifiée pour tous les éléments
de .
Lemme 6.2.2. Le sous-espace C ¨ F est dense dans F .
Démonstration. Notons par £ © le diagramme de Young de
. Il est facile de voir que est obtenu
en remplissant £ © avec les entiers ¦¦ pour la première ligne £ © , et ainsi de suite, et finalement
par un remplissage avec les entiers ¦¦ pour la dernière ligne de £ © . D’après la proposition
6.1.1,
F
est dense dans F
est un ouvert dense de F , alors pour démontrer le lemme, il suffit de montrer que C
¨
F . £ ¦ ¦¦ ©
F Soit F
, et la
projection naturelle. Soit l’endomorphisme induit par
sur . Par le rappel de la
£ ¨ ©
construction de N.
, où (resp.
Spaltenstein (cf. page 57), on a ¢£ © £ ¨ © et
) désigne le numéro de la colonne occupée par le nombre (resp. ) dans . Si on écrit
; l’ensemble des
drapeaux dans F §
pour lesquels
dans F , alors il suffit de se placer dans cette situation pour démontrer le résultat.
définis par:
£ © , alors
, avec
, et
¡
(i.e.
), avec
, est un ouvert dense
Considérons comme base canonique de les vecteurs
£©¦ § £¦ if
et posons
£¦
£ §
¦
©
©¦ if ¦
comme drapeau standard de . Alors, est adapté à la base
if ¦ ¦
if ¦ (6.3)
¦
de .
Soit le tableau de Young standard obtenu en enlevant la case où se trouve le nombre dans .
Alors, nous avons et £ ¦¦
©
F . Il est facile de voir
que est l’élément maximal de .
Pour ¥ , posons , et pour
, nous devons
considérer deux situations, le cas A lorsque et le cas B lorsque .
et posons . Pour relier les entiers aux entiers
. Alors, pour obtenir le diagramme de variation de
droite de chaque cycle du diagramme de variation de .
Dans le cas A: pour , on a , et pour ¥ , on a
, nous augmentons la taille d’une unité vers la
, et
diagramme de variation de
du diagramme de variation de avec £¥ et nous rajoutons le cycle
Dans le cas B: pour ¥ on a . Alors, pour obtenir le
, nous augmentons la taille d’une unité vers la droite de chaque cycle
Puisque est le plus grand élément de
la ème ligne de , on a
¦
.
, pour chaque et pour tout entier
sur
est de la forme
. Alors le diagramme de variation de

6.2. – Diagramme de variation et démonstration – 61
suivante:
posons
alors on a:
,
, et £ ©§ , £ ©§ ,
En lisant le diagramme de variation de , on en déduit que:
£ © ¦ si £ ¦ (6.4)
et pour ¥ , on a:
£ © £
© £
Dans le cas A: pour ¦¦ , on a:
Avec les tableaux de symboles de
a1) Si , pour £ :
a2) Si
a3) Pour
avec ¥ :
©¦ si
£ ©
£ ©¦ si £ ¦
¦ si ¦
(6.5)
£ ©¦ si
et , d’après (6.4), (6.5) et (6.6), on obtient:
.
§
¦
¦
si
, avec ¥ .
Si on écrit
, avec , on obtient:
a4) Et finalement: § .
D’après (6.3) on a:
Pour a1): on a:
£ ¦
¦ si £ ¦
¦ si ¦
¦ ¦
si ¦
¦
si
£ §
¦
© ¦
si ¦
¦
si
© £ ¦
© £ ¦
¦ ©
¦
(6.6)

6.2. – Diagramme de variation et démonstration – 62
pour , d’après (6.4) on a
£ ¦
©
Pour a2): d’après (6.5) et a3),
¦
on a
¦ ¦ ¦ ¦ ¦
aussi
© £
¦ ¦ ¦
© ¦ si ¦
£ §
¦ si
et ¦
¦
¦
©¦ si
¦
¦
; alors, on obtient:
, et pour ¥ on a
. Alors on obtient:
£ ¦ ¦
§
¦ £ ©¦ si £
Pour a3): pour .
Si . Pour ¥ , d’après (6.5) et (6.6) on ¦
a
¦ ¦
¦
Si , d’après (6.5) et (6.6) on a ¦ ¦
¦ ¦
Pour
.
, on a
. Si bien que l’on obtient:
Pour a4): nous avons trivialement:
£
©
¦
¦
¦ ¦ ¦
.
©¦ si
¦
¦
£ ¦ ¦
§
¦ £ ©¦ si £
¦
(6.7)
, on a
(6.8)
. Si , on a
, avec ; et on a aussi
(6.9)
D’après la règle d’Ehresmann p. 57, les relations (6.7), (6.8), (6.9), (6.10) et l’induction on en déduit
que
le sous-espace F C est dense
dans ¨ F .
Dans le cas ¦¦ B: pour , on a:
£ ©
£ © (6.10)
¦ § ¦
si
£ ©¦ si ¥ (6.11)
Avec les tableaux de symboles de et , d’après (6.4), (6.5) et (6.11), on obtient:
On ¦
trouve
£ ¦
et puisque ¦
Par induction on obtient:
et on a
pour et £ , et on a:
© ££ ©
et
on a:
© £ ¦
£
©©
¦ £ ©£ ©¦ (6.12)
£ ¦
£ ¦
© ¦
©£ ¦
©
¦

6.2. – Diagramme de variation et démonstration – 63
Si bien £ ¦ ¦¦ ©
que ¨ l’on a S , en particulier on a F
d’Ehresmann p. 57, la relation (6.12) et l’induction on en déduit que
le sous-espace F
dense
dans F .
S . D’après la règle
¨
C est ¨
Lemme 6.2.3.
Soient deux tableaux de Young standards adjacents tels que le théorème
principal est vrai pour , (i.e. le théorème généralisé est vérifié pour ; d’après le lemme 6.2.2, il existe
pour lesquels cette propriété est vérifiée). Soit C (resp. C ) l’unique cellule de
Schubert telle que C F (resp. C F ) est dense dans F (resp. dans F ). Alors, ¡ .
bien des éléments de
Démonstration. Par hypothèse, nous avons nécessairement:
(6.13)
Supposons que . D’après (6.21) tout drapeau dans C F peut s’écrire sous la
forme , avec
. Ecrivons sous une écriture réduite. A partir du
diagramme de variation de , d’après (6.12) nous avons £ ©£ ¥§© ; d’après
[Hum92, lemma p. 12], on peut supposer que .
Comme cela a été démontré dans la preuve de [Ste74, p. 132], la droite projective de type ,
est contenue dans F , et joint les deux points
et
maintenant que F , sinon on peut trouver un sous-espace irréductible localement
fermé C F de dimension égale à £ F F © et tel que tout point de soit contenu
©£
dans une droite projective de type qui soit F contenue dans , mais d’après [Spa82, lemme 1.11 p. 46]
la réunion de ces droites projectives est un sous-espace irréductible de F de dimension £ © F qui
est plus grande que la dimension de
F , ce qui est impossible. Alors, si F avec
. Supposons
D’après le lemme 6.2.2, il existe des éléments
de
est vérifiée. Par induction, soient tels que pour tout
, d’après [Spa82, lemme 5.11 a)] on a ce qui contredit (6.13).
pour lesquels la propriété du théorème 6.1.2
, vérifie la propriété du théorème 6.1.2 et
est le prédécesseur de
. Soit
le prédécesseur
de . Alors, pour terminer la démonstration de théorème principal généralisé , il suffit
de démontrer le lemme suivant:
Lemme 6.2.4. Le sous-espace C ¨ F est dense dans F .
Démonstration. Soit £ tel que et pour on a .
en échangeant de place les
entiers et . Puisque est le prédécesseur de et d’après (6.2), on a et
Notons le tableau de Young standard adjacent à obtenu à partir de
¦ si ¡ ¦
¦ si ¦
En particulier, la propriété du théorème 6.1.2 est vraie pour .
Soit
¦ si
(6.14)
£ ¦ ¦¦ ©
F . Quitte à remplacer
par son endomorphisme induit sur ,
on peut supposer que .
Notons par ¤¤ ¥¤ , avec ¦¥ . Alors, d’après (6.14) on a:
Par leurs diagrammes de variation, il est facile de voir que
¤
¤§¦ § ¦
si
¦ si (6.15)
£ ©
£ ©¦ si ¦
£ ¥§©¦ si ¦
si ¥§ £©¦
(6.16)

6.3. – Applications – 64
Soit C l’unique cellule de Schubert telle que C F est dense dans F . Avec les tableaux de
symboles de
Considérons à présent
induit par
, et , d’après (6.16) on obtient:
§
¦ si ¦
¦ si ¥§ (6.17)
¦ ¦¦ ©
C F £ . Notons par
l’endomorphisme nilpotent
sur . Soit le tableau de Young standard obtenu en enlevant à les cases qui
contiennent les entiers et . Puisque est adjacent à , est aussi obtenu en enlevant à les
même cases. Posons ¨ , où £ ¦
¦¦ © est le type de
et d’après (6.14) on a
§
. Soit la projection naturelle. Considérons comme base canonique de les
vecteurs
et posons
définis par:
§
£©¦ si £¦
£¦ ©¦ si ¦
comme drapeau standard de . Alors est adapté à la base
©
F .
Si on note par le tableau de symboles de
du lemme 6.2.2), on peut supposer que pour et ¦ ¦¥ :
Puisque
£
£ © ¦ § ¦
¦ ¦ ¦
si
si
(6.18)
et £
, par induction sur (comme dans la preuve
¢
¦¦
¦ ©£ © (6.19)
£
¦¦ ©
C , d’après (6.19) et (6.17) on en déduit que pour ¦ et :
Alors, on a
(6.20)
, d’après le lemme 6.2.3 on en déduit que , ce qui
termine notre démonstration.
ou bien
6.3 Applications
6.3.1 Calcul des fibres de Springer
Notons par £ ¦ © GL et par le sous-groupe de qui stabilise le drapeau standard; on peut
identifier avec T £ ¦ le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures de . Soit le tore maxi-
©
mal de GL £ ¦ correspondant aux matrices diagonales. Mais il est facile de voir que agit de manière
©
transitive sur F , alors on obtient l’identification F ; on peut relier la décomposition 6.1 avec cette
dernière décomposition en obtenant:
où est le drapeau standard de .
C ¦ (6.21)
l’espace des matrices triangulaires strictement supérieures de Soit ¦ © . Soit £ ¦ ©
£
£ ¦ © (cf. proposition 3.4.4, [Slo80b, p. 19]). La résolution de Springer n’est rien d’autre
que la deuxième projection de l’espace sur ¦ © : £
¢ de
Son image est exactement la variété des matrices nilpotentes de ¦ © . Soit
une matrice nilpotente
£
de ¦ © . La fibre au dessus de § au dessus de
est donnée par:
£
£ ¦ ©¦£ ¦ ©
£ ©
¦

6.3. – Applications – 65
(cf. 3.2). Par l’identification
F on a aussi:
£ © £ ¦ ¦¦ ©
F £ ¦ ©
F (6.22)
Soit le sous-groupe parabolique minimal de GL £ ¦ correspondant à la racine simple © .
£ ¦ ©
Une
GL . Il
droite projective de type dans F est une sous-variété de la forme dans F , avec
est connu que deux points de F peuvent être reliés par une suite de droites projectives de types différents
et que ces dernières sont contenues dans F [Ste74, p. 132]. En particulier, F est un point ou une union
de droites projectives.
Par la décomposition de Bruhat-Tits, on peut aussi écrire:
£ ©
(6.23)
Comme peut être représenté de manière canonique sous forme de blocs de Jordan, on peut supposer que
où ¦ et pour tout
§ , on a
avec
avec
£
§¦
un élément qui se trouve dans le sous-espace vectoriel engendré par avec , par conséquent
et
ont des supports disjoints.
L’identité (6.23) et le commentaire que l’on vient de faire nous disent que l’on doit nécessairement avoir
.
Soit § un élément de
£ ¦ © écrit à partir des matrices élémentaires. Notons par £ ©§
¦© ¡ le support de £
. Alors on obtient l’algorithme suivant:
(i) - On doit déterminer l’ensemble:
(ii) - Ensuite pour tout
(iii) - Alors on obtient:
¤
¤
£ ¦ ©
£ ©¦ £ © £ ©
on doit déterminer le sous-ensemble:
£ ¦©
£
©¦ £ © £ ©
£ ©
£
©
Mais N. Spaltenstein a montré que les composantes £ © irréductibles de ont toutes la même dimension
égale à £ £ ©© ££ © £ ©© , [Spa77]; si £ ¦ ¦¦ © est le type de
,
par £
¦
¦¦
notons , alors on
a:
Alors si on considère l’ensemble:
on obtient:
§ © sa partition duale, avec
£ £ ©©
¤
£
£ ©
£ © (6.24)
¥
£
£ ©
©
© (6.25)
Remarque 6.3.1. La grande difficulté dans cet algorithme c’est le coût très important au calcul des en-
.
sembles et . Mais par le théorème principal on a un moyen plus rapide pour obtenir

6.3. – Applications – 66
Proposition 6.3.2. Soit
¤
.
un endomorphisme nilpotent adapté à la base canonique. On a
Démonstration. C’est une conséquence immédiate du commentaire précédent et du théorème principal.
Exemple 6.3.3. Dans ¦ ¨© considérons les partitions £¦ © et £ ¥§¦ ¦ © .
£
(a) - Pour la partition £¦ © on a ; on trouve
données par l’adhérence des espaces suivants:
¦ ¦ ¦ , et
¢¦ ¦ ; les composantes irréductibles de F sont
¦
¢ ¦
Les diagrammes standards associés à la partition £¦ © sont les suivants:
¥
¥
¦
Le théorème principal nous donne exactement: ; on trouve:
(b) - Pour la partition £ ¥§¦¥§© on a
¢¦ ¦ ¦ ¦ , et
¤
¥
¦
¦ ¦ .
¦ ; les composantes
irréductibles de F sont alors données par l’adhérence des sous-espaces:
¦
¢
Les tableaux de Young standards associés à la partitions £ ¥§¦¥§© sont donnés par:
¥
¥
¦
Le théorème principal nous donne exactement: ¦ .
; on trouve
(c) - Pour la partition £ ¥§¦ ¦ © on a
¦ ¢¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
¦
¦
¦
¦
et
données par l’adhérence des espaces suivants:
¤
¢¦ ¦ ; les composantes irréductibles sont
¦
¦
Les diagrammes standards associés à la partition £ ¥§¦ ¦ © sont donnés par:
¥
¦
¥
¦
¥
Le théorème principal nous donne exactement: ¦ ¦ ¦ ¢¦ .
peut vérifier que l’on a bien:
. On

6.3. – Applications – 67
6.3.2 Graphe de résolution de la partition
Pour ce dernier paragraphe nous allons considérer le corps des complexes ¨ . Considérons
la résolution de Springer. Alors pour tout élément nilpotent on peut associer le graphe
de résolution associé à § £ © de la manière suivante, [KL79, p. 179] : à toute composante irréductible de
£ © on associe un sommet, deux sommets sont joints par un segment si l’intersection des composantes
irréductibles en question est une sous-variété de codimension dans chacun d’eux. Enfin, on étiquette
chaque sommet d’une sous-partie des racines simples de la manière qui suit: soit la composante
irréductible en question et soit une racine simple; notons par le sous-groupe parabolique minimal
contenant correspondant à la racine simple et notons par la projection naturelle;
alors on dira que
projectives de la forme .
A titre d’information, nous signalons que la détermination des graphes de résolution associés aux fibres de
Springer dans le cas où le groupe algébrique est GL £ ¦ ¨© fait partie de la conjecture de Kazhdan-Lusztig
(pour plus de détails, voir [KL79, conjecture 6.3]).
si £ £©© , c’est à dire que n’est rien d’autre qu’une union de droites
Soit le radical nilpotent ¢£ © de . Soit un élément de écrit sous sa décomposition
de Bruhat-Tits. Notons par . Soit
un élément nilpotent. Considérons alors “l’application
formelle”, (cf. page 39):
¦
¢
Soit F une composante irréductible § £ © de . Alors on a le résultat suivant:
Lemme 6.3.4. Soit une racine simple. Alors on a les équivalences suivantes:
i)
ii)
iii)
F¨ ;
F© ; £
Démonstration. ©© n’est rien d’autre qu’une conséquence du résultat:
£ F C ¨ © .
si et seulement si
théorème principal.
§ £ © pour tout
, [Ste74, p. 146], enfin ©© résulte du
Nous allons ici nous intéresser au graphe de résolution au dessus de l’élément nilpotent associé à la
partition £ ¥§¦ ¦¦ © de , i.e.
est dans l’orbite nilpotente minimale, c’est l’orbite nilpotente non-triviale
qui est contenue dans l’adhérence de toute autre orbite nilpotente non-nulle, [CM93, p. 61]. Pour
¥
tout
notons par F la composante irréductible § £ © de associée au tableau de Young standard:
Pour , notons par la racine simple correspondant à la réflexion simple et par le
radical nilpotent de la sous-algèbre parabolique minimale associée à la racine .
Alors on a le résultat suivant:
Lemme 6.3.5.
i) Notons par
Alors on a:
ii) F ¦
£¦ © ¤ § £© § £© et par
¨
1
2
£ ¥§¦ © ¦
.

6.3. – Applications – 68
Démonstration. © Pour alléger les écritures notons par le numéro de la ligne occupée par le nombre
dans le tableau de Young . Pour £ notons par . Alors on a
¦ pour £¦
¦ pour ¦
pour
¦
Ce qui nous donne l’aspect du diagramme de variation de
où ¥ . Alors on en déduit que
et pour on a
Alors on a:
et pour ¥
¥
¥
§ :
£© , pour tout ¥ on a
§
£© . §
£¦ ©
£¦ © ¦
(6.26)
§ £© ¥
Alors le sous-groupe £ est engendré par les matrices élémentaires avec £¦ ©
¨
, et
§ est le sous-espace engendré par les matrices élémentaires
¤§
. Pour tout £¦ © ,
£
© et on a £ ©
£ ©
¨ ¨
si et
seulement si £¦ © ¥§¦© ¦
£ . Si bien que l’on obtient ¨
si et seulement si
£¦ © ¡ £ ¥§¦
© avec £ . On vérifie que l’on a:
De plus, d’après (6.24) on a:
Notons
par
où ¨ .
© Pour tout ¨
Alors on a
c’est à dire
£ £ ¥§¦ © ¦
£ ©©
¥
£
£ ¥§¦ © ¦
¨
££ ©
©
©£ ¥§© £
¥
© £ ©£ ¥§©
¥
. D’après la proposition 6.3.2, on en déduit que:
on a vu précédemment que
© £¦ © £
(6.27)
¨
¨ et par conséquent
£
¨
¨ © £
§ £©¦
§ £ ©©
£
¨
¨ © £ ¦ ¥§©

6.3. – Applications – 69
Pour tout £ , soit la racine simple correspondant à la réflexion simple .
D’après le lemme 6.3.4, on a alors
£¦ © ¡
F si et seulement s’il existe un entier tel que
£
¦ © , mais cela n’a lieu que pour ¡
Remarque 6.3.6. L’ensemble F aurait pu être déduit de [Spa77, proposition b. p. 455], qui nous donne
exactement: F § ¦ § , où § est le numéro de la colonne occupée par le nombre
dans .
. D’où le résultat.
Théorème 6.3.7. Pour tout ¥¦ , l’intersection F F est une sous-variété de codimension
dans chacun des espaces F et F .
Démonstration. Fixons ¥ . D’après la description (6.25), la proposition 6.3.2 et le lemme
6.3.5, la composante irréductible F n’est rien d’autre que l’adhérence de la sous-variété:
Alors en combinant avec le diagramme de variation de
(cf. démonstration précédente), on obtient:
££
Pour ££ notons
par
Mais on a l’identité suivante:
£
et puisque dans l’expression de
de proche en proche on obtient
¨ £
© £ ©
Par le même principe on a l’identité suivante:
¦ ¦ ©
£
¨ ©
qui nous donne les expressions de
§
£ ¦ ©
¦ © £
£¦ ©¦¦£¦ © .
£ ©
©£
©£ ¦ ¦ ©
on trouve la réflexion simple , on a
¦ ¦ © £ £
©
¢
¦¦ ,
© ©
¦¦
£
¦ £ ©
£
©£
©£ ¦ ¦ ©
de même de proche en proche on obtient
¦ © £ £ ¦ © ¦
¦
©£ £
¦ ©
En réitérant ainsi ce principe, on obtient la relation suivante:
¨ £
£ © ¨ © £ ¦ ©
De plus, dans le diagramme de variation de
, en particulier les termes ¦¦
pour tout ¥¤ on a
¦ © £ £ ©
©
d’après (6.26) et puisque on se rend compte que
§
commencent tous
par
pour lesquelles on a:
; par conséquent, il existe des valeurs particulières ¦¦ ¦
£ ¦ ©£
©
¨

6.4. – Perspectives – 70
Puisque on en déduit que
par conséquent on en déduit que:
et l’intersection F F est l’adhérence du sous-espace:
£
© ¨
©
la codimension de F F dans chacun des espaces F et F est donc égale à
F F £ © £
£
©
Remarque 6.3.8. Le théorème précédent est contenu dans [Varg79, theorem 4.4], mais nous avons voulu
obtenir ce même résultat à partir du théorème principal.
¦
Le graphe de résolution pour la partition £ ¥§¦ ¦¦ © est de la forme suivante: avec F
on a:
F
On sait que le graphe de résolution de la partition £ ¦ © est le diagramme de Dynkin de ¢¡¤£ ¦ ¨© ,
[Ste74]. Si on considère les graphes de résolution sans leurs étiquetages, on se rend compte que le graphe
correspondant à la partition £ ¥§¦ ¦¦ © est exactement le même que celui de la partition £ ¦ © . Et pour
chaque sommet de ce graphe non étiqueté, on remarque que l’étiquetage qui doit être attribué à la
£ ¦ ©
partition
et celui de la £ ¥§¦ ¦¦ © partition sont complémentaires dans l’ensemble des racines simples.
Et on notera que la partition £ ¥§¦ ¦¦ © est exactement la partition duale de la partition £ ¦ © .
F
6.4 Perspectives
F
Un travail à faire dans l’immédiat serait d’obtenir des résultats semblables à ceux qui ont étés obtenus
dans le chapitre 5 pour les autres algèbres de Lie classiques complexes. Pour cela il faudrait juste s’adapter
à la donnée combinatoire des orbites nilpotentes dans chacune de ces algèbres de Lie.
La géométrie de la fibre de la résolution de Springer au dessus d’un élément nilpotent sous-régulier caractérise
parfaitement la strate donnée par l’orbite nilpotente sous-régulière, (cf. [Ste74, théorème 2 p. 153]),
nous pouvons espérer avoir un résultat analogue pour toutes les autres strates données par les orbites du lieu
donnés par la
singulier de . Dans le cas de ¢¡¤£ ¦ ¨© on peut remarquer que la famille d’invariants
proposition 6.3.2 permet de retrouver la fibre de § au dessus d’un élément nilpotent sous-régulier
exemple 6.3.3 (a)), grâce à ce même résultat on peut espérer obtenir un moyen de décrire toutes les autres
fibres de et ainsi avoir une description des strates correspondantes du lieu singulier de .
Avec le théorème principal 6.1.2, on a réussi à “localiser” les composantes irréductibles de la fibre
de Springer; alors un projet intéressant serait de donner les équations de ces composantes irréductibles en
utilisant la théorie des monômes standards, [BL02, KL02, LL02], ceci nous permettrait d’avoir un champ
d’investigation pour obtenir des propriétés semblables à celle des variétés de Schubert.
L’inclusion B B induit un homomorphisme de groupes d’homologie
£ B © £
B ©
Alors un travail très intéressant serait de donner les classes d’homologie des composantes irréductibles de
B en fonction des classes des variétés de Schubert, en s’inspirant du travail de J.J. Güemes [Güe89] qui a
(cf.

6.4. – Perspectives – 71
pu le réaliser lorsque est de type crochet, i.e. que son type est de la forme suivante £¦ ¦¦ © avec ,
la philosophie de ses démonstrations est assez semblable à celle de ce dernier chapitre, il est raisonnable de
croire que l’on puisse parvenir à une généralisation très prochainement.
Dans une algèbre de Lie semi-simple complexe, si désigne le radical nilpotent d’une sous-algèbre
de Borel , alors pour toute orbite nilpotente , on a £ © £ © , [Spa77], alors A. Joseph
et D. Vogan ont montré que les composantes irréductibles de sont des sous-variétés lagrangienne
de muni de la forme symplectique de Kostant-Kirillov, [Jos84, Vog79]; par le théorème 5.2.6, on peut
envisager dans le cas de ¢¡¤£ ¦ ¨© avoir le même résultat en remplaçant plus généralement par le radical
nilpotent d’une sous-algèbre parabolique.
Enfin, un projet plus ambitieux serait de comprendre la relation entre le résultat de E. Brieskorn
[Bri70] et celui de F. Knop [Kno87]; le résultat de ce dernier est le suivant. Soit un groupe algébrique
complexe de type ¦ ¦ ¦ ¦ , d’algèbre de Lie . Considérons l’action adjointe de sur . Cette ac-
tion va induire une action sur l’espace projectif P £ © . Puisque l’action adjointe est irréductible, il existe une
unique orbite fermée dans P £ © donnée par la plus grande racine. Pour tout élément
, considérons
le
£ ¦ © sous-espace de P £ © , où est la forme de Killing. Si
est un élément nil-
potent régulier, alors présente une singularité isolée de même type que . Ce résultat extraordinaire est
le deuxième pont entre la théorie des singularités et celle des algèbres de Lie. Une chose que nous pouvons
remarquer pour ¢¡¤£ ¦ ¨© est que la représentation adjointe est donnée par la partition £ ¥§¦ ¦¦ © qui est la
partition duale de la partition associée à l’orbite sous-régulière, [FH91], et que c’est cette dernière orbite
qui joue un rôle essentiel dans le résultat de E. Brieskorn, tandis que l’orbite n’est rien d’autre que le
projectivisé de l’orbite nilpotente minimale. Je pense qu’il serait bon de considérer une autre partition or-
donnée de , à cette partition va correspondre une représentation ¢ irréductible SL £ ¦ ¨© GL £¥¢© ,
[FH91]; le groupe SL £ ¦ ¨© va aussi agir sur l’espace projectif P ££¢© et il n’y aura qu’une seule orbite
fermée dans P £¢© . Alors l’enjeu consisterait à lier les singularités qui apparaissent dans la fibre £ ©
du morphisme ¢ ¤¢ SL £ ¦ ¨© , à celles des
£ ¦ ©¢ sous-espaces , avec
£ © et £¦©¢ représente une forme bilinéaire non-dégénérée sur £¢ .

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Index
A
action complètement réductible . . . . . . . . . . . . . 27
action hamiltonienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
action symplectique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
adapté à une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
algèbre affine d’un ensemble algébrique affine . 5
algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
algèbre de Lie du groupe algébrique . . . . . . . . . . 8
algèbre de Lie réductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
algèbre de Lie résoluble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
algèbre de Lie semi-simple, simple . . . . . . . . . . . 9
algèbre enveloppante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
application de Spinger généralisée. . . . . . . . . . .30
application moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 33
B
base d’un système de racines . . . . . . . . . . . . . . . 12
C
cellule de Schubert, 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
chambre de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
chambre fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
champ de vecteurs invariant à gauche . . . . . . . . . 8
champ fondamental hamiltonien . . . . . . . . . . . . 33
classe de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
comorphisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
composante irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
composante neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
D
décomposition de Chevalley-Cartan . . . . . . . . . 11
décomposition de Bruhat-Tits . . . . . . . . . . . . . . . 16
décomposition de Jordan-Chevalley . . . . . . . . . . 9
décomposition de Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
désingularisation simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . 54
diagramme de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
diagramme de Dynkin associé à une orbite nilpotente
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
diagramme de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
diagramme de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
drapeau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
droite projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49, 65
E
élément distingué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
élément nilpotent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 17
élément polarisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
élément régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
élément semi-simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
élément unipotent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
ensemble algèbrique affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
espace irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
espace préhomogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
F
faisceau structural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
faisceau image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
feuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
feuille de Dixmier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
fibré principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
filtration bonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
fonction régulière en un point . . . . . . . . . . . . . . . . 5
forme d’un tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
forme de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
forme de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
G
-fibré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
-module. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
-module induit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
-module simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
-morphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
-variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
-variété homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
-module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
graphe de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
groupe adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
groupe algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
groupe d’isotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
groupe de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
groupe résoluble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
H
hypothèses et notations (H-N). . . . . . . . . . . . . . . . 8
I
idéal résoluble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

– Index – 77
L
longueur d’un mot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
M
module de Verma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
morphisme équivariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
morphisme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
morphisme de groupes algébriques . . . . . . . . . . . 6
multiplicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
N
nappe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
O
orbite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
orbite de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
orbite induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 46
orbite nilpotente minimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
orbite nilpotente régulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
orbite nilpotente sous-régulière . . . . . . . . . . 20, 38
orbite régulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
ordre de Bruhat-Chevalley . . . . . . . . . . . . . . 16, 56
ouvert affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
P
partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 43
partition duale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
partition ordonnée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 43
partitions adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
partitions associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
prévariété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
prédécesseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
R
racine positive, négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
racine simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
radical nilpotent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
règle d’Ehresmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
représentation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
représentation d’opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
représentation d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
résolution de Springer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
résolution des singularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
résolution minimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
S
section transverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
singularités rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
singularités simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
¢¡¤£ ¥§¦ ¨© -triplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
smoothly equivalent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
sous-algèbre de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
sous-algèbre de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
sous-algèbre de Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
sous-algèbre parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
sous-algèbre parabolique de Jacobson-Morozov
22
sous-algèbre parabolique distinguée . . . . . . . . . 22
sous-groupe parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
sous-groupe de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
stabilisateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
système de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
T
tableau de Young standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
tableaux de Young standards adjacents . . . . . . . 60
topologie de Zariski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
tore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
type d’un endomorphisme nilpotent . . . . . . . . . 57
V
variété algébrique affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
variété associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
variété déterminentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
variété de Schubert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 57
variété symplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Résumé
Cette thèse commence par quatre chapitres qui sont consacrés aux rappels de la théorie des groupes algébriques
semi-simples complexes, de leurs algèbres de Lie et des orbites nilpotentes sous l’action adjointe.
Dans le chapitre 5, on étudie en détails les fibres de Springer généralisées. Dans le cadre général des
algèbres de Lie semi-simples complexes, on obtient une borne supérieure pour leur dimension, généralisant
un résultat de R. Steinberg et permettant ainsi de décrire certaines de leurs composantes irréductibles. Puis
dans le cas des matrices de trace nulle, on détermine la fibre générale au dessus de la partie générique du lieu
singulier. En s’inspirant d’un travail de H. Esnault, on en déduit, en particulier, que l’application de Springer
généralisée associée à l’adhérence d’une classe de conjugaison nilpotente, se restreint en la résolution
minimale des singularités génériques en codimension 2, retrouvant le fait que ces singularités sont simple
de type , un résultat de H. Kraft et C. Procesi.
Dans le chapitre 6, pour la variété des drapeaux complets, les fibres de Springer sont formées des drapeaux
fixés par les endomorphismes nilpotents. D’après N. Spaltenstein, les composantes irréductibles de ces
fibres sont paramètrées par les tableaux de Young standards. Alors le résultat principal consiste à déterminer
à partir d’un tableau de Young standard associé à une composante irréductible de la fibre de Springer,
l’unique cellule de Schubert dont l’intersection avec soit dense dans .
Mots clefs: Résolution de Springer généralisée, orbites nilpotentes, singularités simples, tableau de
Young standard, cellules de Schubert, Variété des drapeaux.
Abstract
This thesis begins with four chapters which are devoted to the presentation of some results about the theory
of the semi-simple complex algebraic groups, of their Lie algebras and of the nilpotent orbits under the
adjoint action.
In chapter 5, we study in details the general Springer fibers. In the general framework of the semi-simple
complex Lie algebras, we obtain a majoration for their dimension, this generalizes a result of R. Steinberg
and allows us to describe some irreducible components of the general Springer fiber. Next for the special
linear Lie algebra, we determine the general Springer fiber above the generic points of the singular locus.
With H. Esnault’s work, we deduce in particular that the general Springer resolution associated to the closure
of a nilpotent orbit restricts to the minimal resolution of the generic singularities in codimension 2, this
shows again that this singularities are simple of type , a result of H. Kraft and C. Procesi.
In chapter 6, for the full flag variety, the Springer fibers are identified with the flags fixed by the nilpotent
endomorphism. By N. Spaltenstein, the irreducible components of theses fibers are parameterized by the
standard Young tableaux. Then the main result consists in determining with the standard Young tableau
associated to an irreducible component of the Springer fiber the unique Schubert cell such that the intersection
with is dense in .
Key words: general Springer resolution, nilpotent orbits, simple singularities, standard Young tableau,
Schubert cells, flag variety.