Sur quelques points du calcul fonctionnel - Springer

I0 MAURICE FRI~CHET.
On d&nontre facilement que si une suite d'op&ations U, U, ..., continues
dans un ensemble quelconque E converge uniform&nent vers une op&ation U, celle-ci
est continue dans E.
I4. Mais la limite peut &re continue sans que la convergence soit uniforme. On a
donc &~ anaen~ .a chercher une condition moins restrictive pour la convergence.
M. ARzt~Lk est parvelm Jl r&oudre le probl~me par l'introduction de la convergence
quasi-uniforme. Sa d~monstratiou assez compliqu& ne s'applique qu'aux fonctions d'une
variable 0x). Mais M. BoRer. a donn~ ensuite une d&nonstration plus simple (H, page
42) qui se g~n&alise imm~diatement aux ensembles d'61~ments d'une classe (L) avec
une l~g&e modification n&essit& par notre hypotMse plus g~n&ale.
Nous dirons qu'une suite d'op&ations U, U, ..., U ~ ..., uniformes dans un
ensemble E converge quasi-uniformbnent vers une op&ation U, lorsque, &ant donn~s le
hombre e ~ o et un entier quelconque N, on peut d&erminer, une lois pour toutes,
un entier N'~ N tel que, h tout +l~ment d de E, on puisse fake correspondre un
entier n~ tel que
N ~ na L N', IU(A)-- U,,~(A)I < ~.
Lorsqu'il y a convergence uniforme, il y a aussi convergence quasi-uniforme. D&s
lors, le thtortme que nous avons 6nonc6 plus haut est une consequence du suivant:
Lorsqu'une suite d'opdrations U, , U= , ..., U, ... continues dans un ensemble quelconque
]ormd d'dldments d'lme classe (L) converge quasi-uniformdment dans E vers une
op&ation U, celIe-ci est continue dans E. La d&nonstration est la gtn&alisation directe
de celle de M. BoREr @, page 42). Ce th~orhme admet une r&iproque, mais cdle-ci
ne s'applique qu'~. un ensemble E extrtmal.
I1 suffit de g&&aliser la seconde dtmonstration de M. BOReL (tI, page 43-44); cependan
b pour dtmontrer qu'une certaine quantit~ n a d&erminte en tout 6l&nent A
de E est born& dans E, il est impossible de diviser comme lui en intervalles de longueurs
d&roissantes. Mais sine n'est pas bornt, on peut former~ puisque E est extrdmal,
une suite d'~ltments de E: d, d=, d3, ... qui tendent vers un ~lbment de E et tels
que nA~ tende vers l'infini avec p. Le reste de la d~monstration s'ensuit.
On peut cependant donner un 6nonc6 de la r&iproque applicable ~t un ensemble
quelconque. En la combinant avec le thtorOme direct, on obtient la proposition suivante:
Pour qu'une suite d'opgrations U, U=, ..., U ,... continues dans un mgme ensemble
E formd d'd&nents d'une classe (L) converge vers une op&ation continue dans E,
il faut et il su~t que cette suite converge quasi-uniformdment dans tout ensemble extrdmal
formd d'ddments de E.
Ii suffit de montrer que si un 616ment d de E est limite d'une suite d'L16ments
de E: A, A, ..., A, ..., on a:
U(A) -- lim UCA).
Or l'ensemble F form6 des 616ments A, A, A , .. est extr6mal. On peut donc
lui appliquer la r&iproque d@i d6montr& dans ce cas.
15. Los opdrations ~galement continues. --Consid6rons une famiUe~ d'op6rations con-