Sur quelques points du calcul fonctionnel - Springer

I9. MAURICE FR~CHET,
quel que soit q. Si on fait croltre q ind~finiment, on aura ~t la limite
1o(.4) - u(`4.)l _L ~, pour n > p.
Cela prouve que U est continue en tout +16ment `4 de E.
De plus, on volt que si les op}rations d'une famille ~ sont ~galement continues
dans E, il en sera de m~me des op+rations de la famille ~,, fortune par l'ensemble de
operations limites dans E d'une suite infinie d'op+rations de ~ (s'il y en a).
Supposons maintenant que E soit un ensemble extr~mal. Si des op+rations ~galement
continues U, U~, ... convergent vers une limite U dans un ensemble extr~mal
E~ la convergence est n~cessairement uniforme. Sans quoi, on pourrait trouver un
nombre ~ ~ o tel que, quel que soit n, il y ait un +l+ment `4 de E et un entier p, ~ n
pour lesquels
1u~.(`4.) -- u(`4.)l > ~;
et puisque E est extr~mal, on peut supposer que A ,`4, ~ ... tendent vers un ~l~ment
A de E. On aura donc:
I up, (`4.) -- u(`4..)l _~ I up, (`4,) -- vp. (`4)1 + Iu(`4)-- u(`4.)l + Iu(`4)-- up.(`4)l.
Puisque Up.(`4) tend vers U(A) et que les op6rations U, U,... sont ~galement
continues, on pourra trouver k' et k" de fa{on que le dernier terme soit inf~rieur ~t
pour n > k' et que les deux premiers soient inf6rieurs chacun ~t !
3 3
On aura donc pour n > k' + k":
I up. (`4.) -- u(`4.)l _L~.
pour n > k".
Nous arrivons donc bien ~t une contradiction.
17. 2 ~* LEM~tF.. ~ Consid~rons une suite d'op+rations U, U, ... convergente
dans un ensemble D. Sices operations so,at +galement continues dans l'ensemble F
form+ des +16ments de D et de son ensemble d+riv+ D', la suite consid6r~e est aussi
convergente dans F.
I1 suffit de d6montrer que la suite est convergente en tout +l~ment .4 limite d'une
suite d'~l+ments de D : `4, A,, ..., `4., ... Or, on peut, &ant donn6 ~ > o, trouver
p tel que:
1~(`4)-
v~ (`4.)i