Sur quelques points du calcul fonctionnel - Springer

~2 MAURICE FRI~CHET.
TH~OR~ME.- Les points de l'espace (Eo) forment une dasse (E) normale.
Nous savons d6jA qu'ils fonnent une classe (E) admettant une g~n6ralisation du
th~or6me de CAUCHY sur les suites convergentes. Cette chsse (E)est ~videmment pars
I1 suffit de montrer qu'on peut la consid~rer comme 1'ensemble d~riv6 d'une suite
d6nombrable de ses ~1&nents. Pour cela remarquons d'abord que l'ensemble des nom-
bres rationnels de signe quelconque est un ensemble d~nombrable qu'on peut mettre
sous la forme d'une suite:
C x, C2~ ... ~ Cn~ 9 ..
Consid~rons alors l'ensemble D des points de l'espace (E~,) qui ont des coordon-
n&s de la forme:
X x ~" ~nl, X 2 ~ Cn 2~ 9 . . , Xp --- Cnp, Xp+ l ~ 0, Xp+ 2 ~ 0, . . 9
off p, n,, n2, ..., np sont des entiers positifs quelconques. Cet ensemble est +videmment
d~nombrable et on volt facilement que tout point de (E~) est limite d'une suite
d'6l+ments de D.
66. Los ensomb/es aompaots.--La notion d'ensemble compact prend une signification
g~om&rique tr6s simple dans le eas d'un ensemble de points de (E~). Pour l'indiquer,
nous dirons d'abord qu'un ensemble de points de (E~,) est contenu dans un domaine fini,
si l'on peut trouver une suite de nombres ~ o: M, M,,... tels que l'on air pour
tout point (x,, ..., x,, ...) de l'ensemble:
Ix, I LM,,
Ix~ILM~,..., Ix.I/M~,...
THt~ORf3ME.--La condition ndcessaire et sujfisante pour qu'un ensemble E de points
de l'espace (Eo) soit compact est que cet ensemble soit contenu dans un domaine fini.
En effet, supposons l'ensemble E compact; s'il n'&ait pas dans un domaine fini,
on pourrait trouver n tel que l'ensemble des coordonn&s de rang n des points de E
ne soit pas born& Autrement dit, il faudrait que, quel que soit p, on puisse trouver
un point x (pl de E tel que, en appelant x ~p~. sa coordonn6e de rang n, on ait:
x (~1 > P.
tt
Or ceci est impossible si E est compact; car, de la suite des points de E: x ('1 ,
x ('), ... on pourrait extraire une suite x (p~), x (p2~, ... ayant une limite x. Et alors les
nombres x (~,~ ,.(p,I qui croissent ind~finiment comme p,, p,,
tt ~ 4"tl ~ ~ ~ * " " ~
auraient une
limite finie x..
Inversement, supposons que E soit dans un domaine fini. Alors, ou bien il n'y a
qu'un nombre fini d'616ments et dans ce cas E est compact par d6finition, ou bien il
y a un nombre infini d'616ments distincts. Consid&ons un ensemble infini E contenu
dans E. L'ensemble de ses coordonn+es de rang Iest born~ par hypoth6se. Donc: ou
bien il yen
a une infinit+ qui sont ~gales ~t un m6me nombre x I , ou bien on peut
en trouver une infinit+ qui sont distinctes et tendent vers un nombre d&ermiu~ x x .
Dans les deux cas, on pourra extraire de E
X(X) X(2) ~ X (n),
une suite de points de (Eo):
telle que la suite x(, '), x(,'), ... , ~,, ..~.1 . .. ait une limite d&ermin+e x,. De cette pre-