Sur quelques points du calcul fonctionnel - Springer

I8 MAURICE FR~CHET.
soit d'&udier ce qui se produit quand on impose cette propri&~ comme condition suppl~mentaire
il la d~finition de la limite, soit d'introduire une condition suppl&nentaire
qui entrain~t cette propri&~ comme consequence. Or l'examen des cas d@i connus o{~
cette propri&~ a lieu nous montre que c'est cette derni~re circonstance qui se produit
sous la forme suivante:
Consid&ons une classe (V) d'~l~ments de nature quelconque~ mais tels qu'on sache
discerner si deux d'entre eux sont ou non identiques et tels, de plus, qu'fi deux quelconques
d'entre eux A, B, on puisse faire correspondre un nombre (A, B)= (B, A)~ o
qui jouit des deux propri~t~s suivantes: I ~ La condition n&essaire et suffisante pour
que (A, B) soit nul est que Aet B soient identiques. 2 ~ II existe une fonction positive
bien d&ermin& f(e) tendant vers z&o avec ~, telle que les in~galit~s (A, B)/" e,
(B, C)f ~ entrainent (d, C)z~/f(~), quels que soient les 616ments A, B, C. Autrement
dit, il suffit que (A, B) et (B, C) soient petits pour qu'il en soit de m~me de
(A, C). Nous appellerons voisinage de A et de B le nombre (A, B).
Ceci ~tant, nous pourrons dire qu'une suite d'~l~ments de la classe (V): A, A2, ...
I
tend vers un ~l~ment A, si le voisinage (A,,, A) tend vers z&o avec --. Si une suite
n
A, A=, ... a une limite A, elle ne peut en avoir qu'une, car si B ~tait limite de la
m~me suite, les nombres (A, A.) et (B, A) seraient infiniment petits avec--, donc
1l
aussi (.d, B) (2 ~m~ condition). Alors (A, B) serait nul et par suite les ~lSnents A, B
ne seraient pas distincts (I ~ condition).
De plus, cette d~finition de la limite satisfait bien aux conditions Iet II que nous
avons impos&s en g~n&al ~ toute d~finition de la limite (n ~ 7) et cela grfice aux conditions
i ~ et 2 ~ impos&s ~t la d~finition du voisinage.
28. N~anmoins toute d~finition de la limite satisfaisant aux conditions Iet II, ne
peut etre d~duite de la notion de voisinage. I1 nous suffira pour le prouver de d~montrer
le th~or~me suivant.
TH~oR~ME.--L'ensemble dgrivg d'un ensemble d'dgments d'm~e cIasse (V) est un
ensemble feting.
En effet, revenons aux notations employbes plus haut. Puisqu'ici la limite est d&
duite du voisinage, on pourra faire correspondre ~ chaque entier nun entier q,, tel que
(A, Aq.) < -~-, I et un entier p. _~ n tel que: (Aq,,, A~") < ~- I . On aura donc:
I
(A, A,p., ,