Sur quelques points du calcul fonctionnel - Springer

44 ~AURICE FR~CHET.
tenu dans un domaine fini. il faut et il su~t qne de toute famille G d'ensembles I de
points de E telle que to.t point de E soit intdrie.r au sens dtroit tt Fun au moins des
ensembles I, on puisse extraire un hombre fini de ces ensembles I formant une famiIIe H
jouissant de la mdme propriSd que G.
Tn~oR~ME.- Tout ensemble parfait de points de (E~,) posskde la puissance du
continu.
On peut encore ici r~soudre une question analogue ,~ ceUe qui a &+ posse par
M. HADAMARD pour les ensembles de fonctions continues (n ~ 39)-
Soit E un ensemble de points de l'espace (Eo); d&omposons E en ensembles
partiels k, tels que deux points quelconques de l'un d'eux aient un &art moindre que
,, et soit ~ l'ensemble des k,. Quels que soient E et ~, on peut toujours opdrer cette
ddcomposition de far que ~ soit ddnombrable. Pour que, quel que soit ,, on puisse ddcomposer
E en nn hombre fini d'ensembles k~, il faut et il suft que E soit contenu dans
un domaine fini.
68. REMARO_UE.- C'est ici le lieu d'observer qu'on aurait pu &re amen6 ~ choisir
une autre d+finition de la limite d'une suite de points de l'espace (Eo). I1 semble au
premier abord qu'il aurait ~t+ plus naturel, en m~me temps que plus ad+quat aux applications,
d'adopter la d6finition suivante: Une suite de points x~ x ('~, ..., x c"~, ...
tend vers un point x lorsque, &ant donn6 un hombre ~ > o, on peut trouver un
entier q tel que l'on air:
i~ ")-xp[q,
qud que soit le rang p des coordonn6es consid&~es de x I"l et de x.
I1 y aurait certainement lieu d'&udier une th6orie des ensembles et de la continuit6
dans l'espace (E~) fond6e sur cette dbfinition qui peut pr6senter parfois des avantages
(XVlXI). Cependant, elle se pr&e moins bien aux applications de nos th6or~mes g+n~raux.
En effet, on volt que pour d~duire cette d6finition d'une d6finition convenable de l'~cart,
on est amen+ A appeler &art de deux points x, x' la limite sup6rieure de [xp- x'pl
quand p prend toutes les valeurs enti~res possibles. Cette dd'finition semble beaucoup
plus simple que celle que nous avons adopt6e; eLle a pourtant l'inconv~nient de ne pas
s'appliquer A deux ~l~ments I quelconques. Plus exactement, elle pourrait donner une valeur
infinie h l'&art de deux points dont les coordonn6es sont finies (mais non born6es).
Un autre inconvenient de cette re&bode est qu'on ne volt plus nettement quelle
est la signification g+om&rique qu'il faut attacher h la notion d'ensemble compact. En
effet, il est facile de former un exemple d'un ensemble de points de (Eo) qui est contenu
dans un domaine fini et qui n'a pourtant aucun 616ment limite au sens de la
deuxi~me d~finition. On pourrait peut-&re esp&er qu'il y a un 616ment limite lorsqu'on
impose A l'ensemble d'etre, non plus seulement infini, mais non d~nombrable. Ou bien
encore en restreignant la d+finition que nous avons donn~e d'un domaine fini et en
disant que le domaine sera fini si toutes les coordonn6es sont en valeur absolue inf6-
rieures A un mgme hombre fixe. Aucune de ces restrictions ne peut pourtant restituer
sa validit+ au th6or6me en question. II suffit en effet de consid&er l'ensemble de tous