Sur quelques points du calcul fonctionnel - Springer

48 MAURICE FRI~CHET.
TH~:OR~'tE. -- On pettt ddterminer, nne fois pour tontes, une suite S de polynomes
Px(z), P,(K), ..., P,,(K), ... telle que route fonction holomorphe ~ l'int&ieur de ~ soit
limite d'au moins une suite extraite de S~ et cela nniform;ment dans route aire limit(e
9' int&ieure ~ 9"
Nous nous appuierons sur ce th~or8me bien connu que route fonction f(~)holomorphe
~t l'int~rieur de ~ est la somme d'une s&ie de polynomes (avec convergence
uniforme dans toute aire ~' int~rieure ;l ~). Alors, quel que soit n on peut d&erminer
un polynome Q,(K) tel que l'on ait dans tome l'aire ~,, contour compris
I
If(z) -- Q, (~)1 < 2--~"
Mais en rempla~ant les parties r&lles et imaginaires des coefficients de Q.(~)
i
par leurs valeurs rationneUes approch&s ~i moins de -7- pr6s, on pourra toujours for-
met (en prenant q assez grand) un polynome R, (K) a coefficients rationnels tels que
l'on air dans l'aire limit& 9,, et sur son contour
Donc on aura If(K) -- R, (K)I < 7 I
- < s
2n
dans 9, et par suite R,(K) tend uniform4ment
vers f(;0 dans toute aire limit& 9' int6rieure ~t 9" D'ailleurs, la suite R. (K), R~(K), ...
est extraite de l'ensemble E des polynomes de la forr e:
q
"'" +i b~ b'K'+ "'" ,
q
off q et k sont deux entiers positifs; ao, a, ... a~, bo, b, ... b~ des entiers positifs
n6gatifs ou nuls. I1 suffit 6videmment de d6montrer que l'ensemble _E est d6nombrable.
D'aiUeurs cet ensemble est la somme des ensembles Eq,~ de ceux de ces polynomes qui
correspondent 5, des valeurs fixes de q et de k. I1 suffit donc de d4montrer (u, page 2)
que chacun des ensembles Eq, k est d6nombrable. Or cela r6sulte de ce que les polynorues
de E+k pour lesquels laol + la,I + "." + [a~l + [bol + ... + Ibkl = r sont en
nombre fini pour ch'que valeur de r et qu'on obtient Eq, k prenant successivement
r--l~ 2~ ....
78. THeOReMS.- La condition ndcessaire et su.fisante pour qu'un ensemble de fonctions
holomorpbes dt l'intdrieur de ~ soit un ensemble compact est que les fonctions de
cet ensemble soient en module borndes dans leur ensemble dans toute aire limitde 9' intdrieure
dt 9"
La condition est n&essaire d'apr~s un raisonnement enti&ement analogue ~ celui
dun ~ 18, en consid&ant l'aire limit& ~' comme un ensemble extr6mal de points du
plan.
Pour d6montrer que la condition est suffisante, il suffit de d6montrer que si l'on
consid~re une infinit6 I de fonctions holomorphes ~t l'int+rieur de ~ et born&s dans