Sur quelques points du calcul fonctionnel - Springer

I4 MAURICE F RI~ C tIE T.
D ou d son ddrivd D', forment une fa,zille co,tpacte ~, il faut et il s~t que les opd.
rations de ~ soient dgalement continues et borndes dans leur ensemble en tout ddment de E.
La condition est n&essaire d'aprSs le dernier Lemme. Pour d6montrer qu'elle est
suffisante, il suffit de d~montrer que, de route suite infinie d'op&ations de ~ : U, U~, ...
on peut extra[re une suite qui converge uniform6ment dans E vers une op&ation qui
sera n&essairement continue dans E.
En effet, appelons A, d, ... la suite des d lC:ments de ['ensemble d6nombrable D
qn)
et consid&ons la suite S des nombres x(x"'~ U(A), ..., x; = U(A~), ...
Puisque les op&ations de ~ sont born&s dans leur ensemble en tout ~16ment de D,
ces nombres xp .I,) sont, pour chaque valeur de p, compris, quel que soit n, entre deux
hombres fixes ).p et Fp. D'apr~s la derniSre proposition que nous avons rappel&, on
pourra donc extra[re de la suite S, S~, ... une suite S.,, S.~, ... d'indices croissants,
telle que x)"q ~ z U.q (dp) converge vers une certaine limite x~ et cela quel que soit p.
Cela veut dire qu'on peut extra[re de la suite U, U,... une suite d'op&ations
U.,, U.~, ..., U.q, ... convergente en tout 61~ment de D.
D'apr6s le deuxi6me Lemme, cette suite d'op&ations sera aussi convergente en tout
~16ment de E; d'aprhs le premier Lemme la convergence sera uniforme, et par suite
la limite continue dans E.
I ~re REMARQUE. ~ Si l'on ne suppose plus que l'ensemble E est extr6mal, la d6monstration
pr&~dente prouve encore quelque chose. Elle prouve que si les op&afions de
sont 6gaflement continues et born6es dans Ieur ensemble en tout 61~ment de E ~ D -J- D',
on pourra extra[re de toute infinit6 d'op~rations de ~ une suite qui tend vers une op&
ration continue dans E. Mais on ne saura passi la convergence est uniforme. D'ailleurs,
on peut citer des exemples off, dans ces conditions, la convergence est non uniforme.
Elle sera toujours uniforme dans tout ensemble extr~mal contenu dans E.
2 ~me REMARQUE. -- I1 pourrait sembler que la condition E ~ D + D', off D est d6nombrable,
est une condition introduite artificiellement dans le seul but d'assurer l'exactitude
du r6sultat. Nous verrons plus loin que c'est au contraire le cas g6n6ral qui se pr&
sente dans les applications (n ~ 45, 52) 9
2o. L'op#ration Iimite 8up#rieute d'un ensemble d'op#rations. -- Consid&ons une famille
~ d'op6rations uniformes dans un ensemble E. En chaque 616ment d de E,
nous pouvons d6finir un nombre L (d) qui soit la limite sup&ieure des valeurs end
des op6rations de ~. Si les op6rations de ~ sont born&s dans leur ensemble en tout
616ment de E, nous d&erminerons ainsi une op6ration uniforme dans E, que nous
appellerons la limite sup6rieure de ~.
THkOR~.ME.- [~tant donnde une famille e~ d'opdrations borndes dans leur ensembh
et dgalement continues dans un ensemble quelconque E, la limite sup&ieure de ~ est une
opdration continue dans E.
Ce thSor~me a &6 d~montr6 par M. ARZEL.k (V, page 9) dans le cas off les 616-
ments sont des points d'une droite. Sa d6monstration se g~n6ralise imm~diatement au
cas actuel en se souvenant que notre d6finition de la continuit6 rend inutile l'emploi
des intervalles.