Sur quelques points du calcul fonctionnel - Springer

4 MAURICE FRt~CHET.
PREMIt RE PARTIE.
INTRODUCTION DE LA NOTION DE LIMITE
DANS LES ENSEMBLES ABSTRAITS.
CHAPITRE I.
Notions g~n~rales sur les ensembles d'6Mments d'une elasse (L).
4. Ob/et du Caloul FonotionneL--Consid~rons un ensemble E form~ d'~l~ments quelconques
(nombres, points, fonctions, lignes, surfaces, etc.) mais tels qu'on en sache
discerner les 61~ments distincts. A tout ~l~ment .4 de cot ensemble raisons correspondre
un nombre dStermin~ .U(3); nous d~finissons ainsi ce que nous appellerons une opalration
fonctionnelle uniforme dons E.
L'~tude de ces operations est l'objet du Calcul FonctionneI. II est ~t presumer que
les propri~t6s de chaque op6ration d~pendront, d'une part des propri&~s de l'ensemble
dans lequel die est d6finie, d'autre part de la nature de la correspondance qui d~finit
l'op~ration, c'est4-dire de la correspondance (non univoque) entre les ~l~ments de E
et certains nombres qui sont les valeurs de l'op~ration. On voit donc que le calcul
fonctionnel comprend n~cessairement une th~orie pr~liminaire des ensembles.
5. Th6ori8 des enssmbles.--Les r~sultats qu'on obtiendra dons une telle th6orie seront
d'autant plus 6tendus qu'on s'adressera h des ensembles plus g~n~raux. Pour obtenir la
plus grande g~n~ralit~ possible, il y aurait donc lieu de chercher d'abord des r~sultats
applicables ~t des ensembles abstraits, c'est4-dire dont on ne sp~cifie pas la nature des
~l~ments.
Les r~sultats los plus importants qui ont ~t~ obtenus jusqu'ici dans cet ordre
d'id~es sont ceux qui concei'nent los notions (introduites par M. G. CANTOR)de puissance
d'un ensemble et d'ensemble ordonn6.
Pour la PREMIERE PARTIE de ce travail, je n'aurai ~ supposer connus (on dehors
des notions math~matiques les plus ~l~mentaires) que ces r~sultats, et m~me seulement
les plus simples d'entre eux *). En particulier, je n'aurai pas ~ utiliser la th~orie des
ensembles tin,aires et des s continues qui apparaitra, au contraire, comme un
corollaire tr~s particulier de notre th6orie g~n6rale.
6. La notion de Iimite clans los ensembles abstraits.--Les r~sultats les plus connus et
en fait les plus importants de la th~orie des ensembles sont ceux que l'on d~duit de la
notion de limite d'une suite d'~l~ments. Or, on n'introduit jamais cette notion qu'apr~s
avoir abandonn~ l'~tude des ensemblcs abstraits et en sp6cifiant bien nettement la nature
des ~l~ments que l'on consid~re. C'est le m~me fait qui se produisait lorsqu'on d~velop-
~ Voir par exemple II, pages i, 2; et m, pages 27, 28.