Sur quelques points du calcul fonctionnel - Springer

38 MAURICE F Rt~CHET.
tion complete en ce qui concerne la puissance, et m~nle il nous est indiff&ent de supposer
ou non que les valeurs des fonctions soient ou non donn&s aux extr6mit&. La
r~ponse est la suivante: Qael que soit un ensemble E de fonctions uniformdment continues
dam un intervaIle ], on peut toujonrs choisir sa dicomposition en ensembles k~ de fa~on
que ~ soil d&ombrable (n ~ 4o). Pour que ~ non seulement soit dgnombrable mais se
compose d'un hombre fini de termes quel que soit ~, il faut et il sujfit que les fonctions
appartenant ~ E soient en cbaque point de ] born&s et ggalement continues (n ~ 41).
Dans les deux cas, on pourra choisir les k, de fa~on que chaque ~lbment de E soil
int&ieur au sens &roit ~ au moins l'un d'eux. De plus, nous connaissons un moyen
effectif de d&erminer les k, dans le cas g+n&al et cela ind+pendamment de E.
59. Les op&ations portant sur des fonctions continues sont sp&ialement appelbes
des fonctionnelles par M. HADAMARD (XI). Un exemple important de fonctionnelle continue
est la fonctionnelle lin&ire:
c.b
U(f) = j~ m(x)f(x)dx,
off m(x) est une fonction born& intbgrable dans l'intervalle (a, b).
Nous pouvons appliquer encore ici nos th+orbmes g~n~raux sur les op&ations.
THb.OR~ME.- Soit U une fonctionndle continue dans un ensemble ferm+ B de
fonctions de x born~es et ~:galement continues en tout point d'un intervalle J. Cette
fonctionnelle: 1 ~ est born~e dans B; 2 ~ y atteint au moins une lois sa limite sup&ieure
(n ~ I I). Rdciproquement, si cette circonstance a lieu pour toute fonctionnelle continue dam
B, Best un ensemble fermg de fonctions ggalement continues et born&s en tout point
de ] (n ~ 5I).
TH'kOR~ME.--P0ur qu'une suite de fonctionnelles U, U,, ..., continues dam un
champ quelconque E de fonctions de x unifor,dment continues dans ], converge vers une
fonctionnelle continue dans E, il faut et il suffit que la convergence soit quasi-uniforme
dam tout ensemble fermg formg de fonctions ggalement continues et born&s appartenant
d E (n ~ 14).
THeORiZE. -- Considgrons une famille ~ de fonctionnelles continues dam un ensemble
fermg de fonctions dgalement continues et bornges en tout point fun intervalle ].
Pour que de route infinitg de fonctionnelles de ~, on puisse extraire une suite qui converge
uniformgment, il faut et il su~t que les fonctionnelles de ~ soient bornges et ggalement
continues en tout d&nent de l'ensemble de fonctions (n ~ 48).
CHAPITRE V.
Les ensembles et les fonctions de points de l'espace
~t une infinit6 d6nombrable de dimensions.
60. Un grand nombre des ~l~ments qui interviennent en math~matiques sont d&
terminus chacun compl~tement par une suite infinie de nombres r~els ou complexes:
Par exemple, une s~rie de TAYLOR est d&ermin~e par la suite de ses coefficients sous