Sur quelques points du calcul fonctionnel - Springer

~6 MAURICE FRI~CHET.
CHAPITRE
IV.
Les ensembles de fonctions continues et les fonctionnelles.
56. Prenons comme 616ments variables les fonctions de x uniform6ment continues
dans un intervalle d6termin6 J. Nous consid4rerons bien entendu comme distinctes deux
fonctions dont la diff6rence n'est pas partout nulle dans jr.
I1 y a ici deux d6finitions classiques de la limite, nous n'envisagerons que la limite
dite uniforme *). Nous pouvons consid6rer cette d6finition comme une cons6quence de
la d6finition suivante de l'6cart de deux fonctions f(x), g(x) uniform4ment continues
dans jr: Cet gcart (f, g) est le maxinuon de ff(x)--g(.r)J dans f. Cette d6finition
bien naturelle semble avoir 6t6 employee pour la premiere lois d'une mani~re syst~matique
par WEIERSTRASS. Elle satisfait bien aux conditions g6n~rales a), b) du n ~ 49.
La classe (E) ainsi d6finie est normale. En effet, on sait d'abord qu'elle admet une
g6n6ralisation du th~or~me de C~tUCHY relatif ~l la convergence d'une suite. D'autre
part, on peut former, une fois pour toutes, une suite S de fonctions uniform~ment
continues dans J:
L(x), ...
telle que toute fonction continue dans jr en soit la limite uniforme. Par exemple, on
peut prendre pour former la suite S, l'ensemble fividemment d~nombrable des fonctions
continues qui prennent des valeurs rationnelles en chacun des points de division de J
en q parties ~gales (q ~tant arbitraire) et qui sont lin~aires dans chacune de ces divisions.
Alors, ~tant donnfie une foncfion f(x) continue dans jr, si l'on prend dans cet
ensemble la fonction f,,q (x) qui prend en chaque point de division une valeur ~gale
I
la valeur approch6e par d6faut de f(x) ~. --q- pr6s, on voit facilement que la suite
]" (x), f,~(x), ... f.,~(x), ... extraite de S converge uniform~ment vers f(x) **).
Cette remarque peut s'~noncer de la fa~on suivante, en posant
u (x) = f~(x), ..., u (x) =fq(x)--fq_,(x), ...:
On peut former, une lois pour toutes, une sgrie de fonctions uniformgment continues
clans J:
(x) +. + ... +. + ...
telle qu'en groupant convenablement ses termes on puisse Ia faire tendre uniformdment
vers n'importe quelle fonction continue dans J.
57. D'apr~s notre d6finition de la limite, le th~or~me d'ARzELk sur les fonctions
*) On dit qu'une fonction f, (x) tend uniformbment vers f(x) dans ], sitt tout nombre s > o on
peut falre correspondre un entler p tel que l'in~galit6 n >p
entraine: ]f~(x) h f(x)] < ~ pour route
valeur de x de Hntervalle J (voir n ~ zt).
**) On pourrait aussi proc6der comme au n ~ 72 en utilisant le d6veloppement d'une foncfion con-
tinue en s~rie de polynomes (n, page 50).