Sur quelques points du calcul fonctionnel - Springer

22 MAURICE FRI~ CHET.
fasse partie d'aucun des ensembles / ~,,),...., I)f2T ?, I i,,).. Nous l'appellerons AC,:l; et
ainsi de suite. Nous formerons ainsi de proche en proche une suite A "1,, , A c2). , ... qui
peut-&re ne contiendra aucun terme, mais qui n'en contiendra sfirement qu'un nombre
fini. En effet, d'apr6s leur formation, iis sont tous distincts. Si donc il y en avait une
infinitb, on pourrait en extraire une suite B, B=, ... ayant une limite Bet alors
I
pour q assez grand on aurait (Bq, Bq+p) < y quelque soit p, c'est-s que Bq+ e serait
int6rieur ~i IBq, contrairement ~t l'hypoth~se.
La suite &ant ainsi form& comme nous l'avions annonc+e, il est alors facile de
voir que F est l'ensemble des ~l+ments de E qui ne font pattie d'aucun des ensembles
Q,, Q,, ", L::, Q,, ", ",
ce qui d~montre la proposition.
88. Appelons ensemble limitg un ensemble tir~ d'une dasse (V) tel que le voisinage
de deux +l+ments quelconques de cet ensemble reste inf&ieur ~. un hombre fixe. Dans
le cas des ensembles lin~aires, nous verrons que cette d+finition co~ncide avec celle d'ensemble
compact. Dans le cas g~n&al, nous pouvons seulement ~noncer la proposition
suivante :
THkOR~ME.- Tout ensemble compact formg d'glgments d'une classe (V) est limitk
En effet, dans le cas contraire, on pourrait trouver, quel que soit n, deux &l+ments
A., B de E tels que (A, B)~ n, et, puisque E est compact, on peut supposer que
A., B tendent vers deux limites respectives A, B. Or, pour n assez grand, on aura:
d'ofi :
(A, A) < 2(A, B),
Ainsi, pour n assez grand on aura:
d'ofl :
(A, B) < 2(A, B),
(A., B)