Sur quelques points du calcul fonctionnel - Springer

24 MAURICE FRgCHET.
dont le voisinage avec celui-ci soit aussi petit que l'on veut sans &re nul. Autrement
dit, tout ~l~ment de la classe sera fil&nent limite. Comme d'autre part la r&iproque
est vraie par d~finition m&ne de la classe, nous dirons que de telles classes sont parfaites
*).
Ceci &ant, nous nous bornerons maintenant ~t l'&ude des classes (V) NORMALES,
c'est-a-dire par~aim, sdparables et admettant une gdn&alisation du thdor~me de CAUCHY.
Cette limitation n'a du reste rien d'artificiel, elle provient directement de la comparaison
des classes (V') avec les ensembles lin&ires et nous verrons plus loin que toutes
les classes particuli~res que nous examinerons rentrent clans cette cat~gorie g~n&ale des
classes (V) normales. Ce dernier fait pourrait m~me amener ~t se demander si route
classe (V) n'est pas n&essairement normale. I1 n'en est rien comme le montrent les
exemples suivants :
a8. Prenons une classe d'~l~ments represent& par les points d'une droite et appelons voisinage de
deux d'entre eux la longueur de l'arc de cercle que limitent les deux points correspondants darts une
transformation par inversion. Nous avons ainsi une dasse parfaite (K). Cependant, si l'on prend une
suite d'~l~ments correspondants ~ des points s'~loignant ~t l'infini, il est ~vident que l'on aura une
suite de CAu'cHY sans ~l~ments limites. On peut donner un exemple dans lequel le voisinage ne soit
pas d~fini d'une fa,~on aussi artificielle, n sufilt de prendre la classe des nombres en se plagant au
point de rue des arithm&iciens qui se d~fendent la consideration des nombres irrationnels. En prenant
pour voisinage de deux nombres rationnels, la valeur absolue de leur difference, on obtient encore une
classe parfaite (V) pour laquelle il existe une infinitfi de suites v~rifiant les conditions de CAUCHY sans
avoir d'~l~ments limites.
Passons maintenant aux classes s~parables. On peut qualifier ainsi les ensembles lin~aires en consid~rant
la droite ind~finie comme l'ensemble d~riv~ de l'ensemble des points d'abscisses rationnelles.
Mais il n'en est pas de m~me pour route classe parfaite (V).
Prenons par exemple la classe des fbnctions (continues ou discontinues) d'une variable x dans
1' intervaUe (o, I). En appelant voisinage de dcux filfiments f(x), g(x), la limite supfirieure (finie ou non)
de If(x)- g(x)l darts l'intervalle (o, I), on volt qu'on obtient une classe (V)parfaite. Cette classe n'est
pas s~parable. En effet, si die l'&ait, on pourrait former une lois pour toutes une suite de fonctions
f~ (x), fa (x), ... telle que tout filament de la classe soit la Iimite uniforme d'une suite f,q (x), f,t 2 (x)....
extraite de la pr&~dente. Alors les ~l~ments de la classe ~tant d~finis par des conditions dfinombrables,
la puissance de la classe serait an plus ~gale ~ celle du continu (I, page 126). Or on salt que c'est le
contraire qui a lieu (I, page I25). On peut remarquer que les exemples pr&~dents nous prouvent que
la puissance d'un ensemble parfait tir~ d'une classe (/7) n'est pas n&essairement la puissance du continu
comme cela a lieu pour les ensembles linfiaires, mais qu'eUe peut lui &re inf~rieure (premier exemple)
ou sup&ieure (deuxi&ne exemple).
89. Ces remarques fakes, limitons-nous maintenant A l'&ude des classe (F') normales.
Tout d'abord, pour arriver ~t nous rendre compte de la structure de teUes classes,
nous g~n&aliserons une question propos& par M. HADAMARD (XlI). La question pro-
*) Une classe s~parable est n&essairement parfaite, mais la r&iproque n'est pas &idemment vraie.
Ii y a donc lieu de s~parer les deux hypotheses d'autant plus que certains th~or~mes s'appliquent aux
classes parfaites sans les supposer s~parables.