Sur quelques points du calcul fonctionnel - Springer

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9.6 bIAURICE FRI~ C FIE T. B(2) , ... ,B(~),... sera une suite d'~l&nents de S distincts et tels que l'on ait R(n+pl. ~ ~ I (By', _+p, ~-quel que soit n. Puisque E est tir~ d'une classe (V) normale, il faudrait donc que la suite S eut un 61&lent limite. R&iproquement, supposons E compact. Alors l'ensemble F~Eq-E' est extr&~al. Pour une valeur donn~e de a, nous savons qu'on peut former une suite d'ensembles partiels K,.~ , --~/'(~1, ... telle que leur ensemble r6ponde aux conditions d'un ~ relative- ment ft. F. En particulier, tout 614ment de F est int&ieur au sens &roit ~ Fun des ensembles ~('~ ..~ , ..~ A "(~, . Donc, . on . peut . extraire . de cette . suite . /.("m ..~ ,~.~, R'~2) un nombre fini de termes K~J,',..., K(( >~ jouissant de la m4me propri&& (voir n ~ 36). Si nous appelons maintenant H~% I l'ensemble des 61~ments de E qui appartiennent ~i K~qk ) (lequel est dans F), on voit qu'on aura un nombre fini d'ensembles r41
SUR O_UELO_UES POINTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 2 7 De m4me, supposons que E ne soit pas compact; il existera une suite S d'616ments de E: B, B~, ... sans 616ments limites. Si nous consid4rons un 614ment A quelconque de E, nous pourrons d4finir un hombre tL~ ~ o tel que (A, B) ~ L4, quel que soit l'616ment B distinct de A et pris dans la suite S; alors d sera int6rieur au sens &roit ,~ l'ensemble /~ des 616ments C de E tels que (C, A)% t~.~. I1 en r4sulte que tout 616ment B de E est int4rieur au sens &roit ~i l'un au moins des intervaUes /.4, ~" savoir I 8. Si de la famille H des intervalles IA, on en extrait un nombre fini formant une familie G, il sera impossible que G contienne E, car il y a dans tout intervalle I s un 414ment au plus de la suite S. 48. TH~OR~ME.- Tout ensemble non dinombrable E formd d'~Idments d'une classe (V) normale est condensL Soit E une infinitb non d~nombrable d'~l~ments de E, il s'agit de d~montrer que E donne lieu ~ au moins un ~l~ment de condensation9 En effet, quel que soit e on peut, comme nous l'avons vu, trouver une suite ddnombrable d'ensembles k'('~ ~ k'("~ telle que tout ~l~ment ~te E se trouve dans Fun d'eux et que le voisinage de deux ~l~ments de Fun d'eux soit % ~. II y a doric au moins un de ces ensembles qui con- tient une infinit~ non d~nombrable d'~l~ments de E. En prenant successivement ~ = I, I I - - , , nous pourrons ainsi former une suite d'ensembles H I'~ , H ~ telle 9 . 9 ~ ... 2 ~ "" n que H I'~ contienne une infinitb non d~nombrable d'fil~ments de E, soit contenu darts H ~ .... /, et que deux quelconques des bl~ments de H ("1 aientunvoisinage inf~rieur ~ Alors, si on prend deux ~l~ments quelconques A, A~ dans H I"l, chacune des suites A,A~, ... ;A' ,, A~, ' . .. a une limite A qui est la m~me. Doric E donne lieu ~t un ~l+ment limite A et c'est un +l+ment de condensation, car, si on enl&e de E une infinit~ d~nombrable d'+16ments, il restera encore des ~l+ments dans chacun des H ("1 et A sera encore 61+ment limite de l'ensemble restant de E. 44. REMARQ.UE.- En combinant le th6orhme pr&6dent avec celui <strong>du</strong>n ~ 3~ on obtient l'6nonc6 suivant : Tout ensemble fermd F formg d'glgments d'une classe (V) normale est la somme cl'un ensemble dgnombrable et fun ensemble parfait ou nul sans dldments communs. 45. TH~OR~UE. -- Soit E un ensemble quelconque formd d'eldments d'une classe sdparable (V); il existe un ensemble ddnombrable d'dlgments de E tel que tout gldment de E appartienne, soit it cet ensemble D, soit it son ddrivd D'. Lorsque E est fermd, on a : E--D+D'. Lorsque E est parfait, E ~ D'. En effet, quel que soit n, on peut former une infinit6 d+nombrable d'ensembles H,") H (~1 H (~1 form& d%l~ments de E tels que dans chacun d'eux le voisin ~ "'" ~ n ' "'" I nage reste inf~rieur ~ -- et que tout ~l~ment de E soit dans l'un des ensembles de n cette suite. Dans chacun de ces ensembles H I~. il y a au moins un ~l+ment A7 I. Quand on donne ~i net p des valeurs enti6res quelconques, on obtient un ensemble d+nombrable D d'+l~ments A ~1. appartenant ~i E. Or il est manffeste que tout 61~ment de E appartient k D ou ~ D'. n
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