Djeraba Aicha - Université des Sciences et de la Technologie d ...

Dans un réseau cristallin parfait. Les fonctions d’ondes électroniques sont
délocalisées en ondes de Bloch (a). L’ajout d’un défaut (l’atome de couleur
claire) localise les fonctions d’ondes : localisation d’Anderson.
Dans cette section, nous allons introduire brièvement le modèle
d’Anderson pour les solides désordonnés à une dimension.
Le modèle d’Anderson est un terme générique qui regroupe diverses variantes
de l’équation de Schrödinger pour un potentiel aléatoire à une dimension. Son
origine physique est l’étude de la propagation des électrons dans un métal qui
contient des impuretés. A faible température, nous pouvons éliminer les
collisions inélastiques électrons-phonons qui deviennent négligeables, seules
les collisions élastiques électrons-électrons et les interactions des électrons avec
le potentiel du réseau cristallin subsistent. Les électrons se trouvent alors dans
un état quantique cohérent et les effets d’interférence sont importants. En
négligeant les interactions Coulombiennes entre les électrons, nous pouvons
écrire l’équation de Schrödinger stationnaire (équation aux valeurs propres) à
un électron et à une dimension :
2
h
HΨ = − Ψ
2m
''
( x)
+ V ( x)
Ψ(
x)
= EΨ(
x)
(I.3)
Où le potentiel V (x)
représente l’interaction entre un électron et les atomes du
réseau.
Si V (x)
est périodique, on retrouve le résultat des ondes de Bloch. Pour le
modèle d’Anderson, V (x)
est une fonction aléatoire dont les corrélations sont à
courte portée. L’équation de Schrödinger (I.3) se prête mal à des investigations
analytiques ou numériques. Une discrétisation va nous simplifier la tache en
remplaçant la variable continue x , par une variable discrète n, indice des sites
du réseau. Pour cela, nous décomposons la fonction d’onde sur les états de
Wannier [38] du réseau :
Ψ
=
n
∑
i=
1
Φ
i
i
(I.4)
Les états de Wannier i sont des états localisés sur chaque site n du réseau.
En projetant l’équation (I.3) sur les états de Wannier, on obtient l’hamiltonien
des liaisons fortes (Tight-Binding) :
H
Φ
i
= ∑ tijΦ
i+
j
i,
j
+ ε Φ = EΦ
(I.5)
i
i
i
Où les termes diagonaux
moyenne du potentiel
ε
i
sont les énergies de sites, ils constituent une
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