Djeraba Aicha - Université des Sciences et de la Technologie d ...

République Algérienne Démocratique et Populaire
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA
RECHERCHE SCIENTIFIQUE
THÈSE
Présentée à
UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE D’ORAN
Mohamed Boudiaf
Faculté des Sciences
Département de Physique
Pour l’Obtention de Doctorat Science
Spécialité: Physique
Option: Etude physique des matériaux
Par:
Melle DJERABA Aicha
THÈME
Soutenue le ......./......./……. devant le jury:
Mr FERHAT Mohamed Professeur USTO M.B PRESIDENT
Mr ZEKRI Nouredine Professeur USTO M.B RAPPORTEUR
Mr BELAIDI Abdelkader Professeur ENSET EXAMINATEUR
Mr SENOUCI Khaled Professeur U.Mostaganem EXAMINATEUR
Mr GHAMNIA Mustapha Professeur U.Oran EXAMINATEUR

Remerciements
Résumé
Liste des tableaux
Liste des figures
Liste des symboles et abréviations
Introduction générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHAPITRE I
Propriétés électroniques des systèmes désordonnés
I.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.2 Les systèmes désordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.3 Transition Métal-Isolant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.4 Les régimes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.5 Modèle d’Anderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.6 Théorie d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I.6.1 Approche de Thouless. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I.6.2 Influence de la dimensionnalité de l’espace. . . . . . . . . . . . . . . 14
I.6.3 Raisonnement d’Abrahams, Anderson, Licciardello et
Ramakrishnan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
CHAPITRE II
Modèles et concepts utilisés
II.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.2 Expériences sur la localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.3 La transition métal isolant en dimension deux . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.4 L’expérience et la théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II.5 Modèle théorique utilisé et mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
II.6 Modèles du désordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II.6.1 Les différents types de désordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II.6.2 Le désordre utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

II.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
CHAPITRE III
Etude statistique du spectre énergétique
III.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
III.2 Propriété statistique de la transition d’Anderson . . . . . . . . . . . . . . . 40
III.3 Distributions des espacements d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
III.4 Résultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
III.4.1 La densité d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
III.4.2 Le rapport de participation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
III.4.3 Distribution des espacements des niveaux d’énergie . . . . . . . . 56
III.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
CHAPITRE IV
Etude du comportement de la longueur de localisation en dimension deux
IV.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
IV.2 Formalisme de la méthode de la matrice de transfert . . . . . . . . . . . 62
IV.3 Calcul de la longueur de localisation en dimension deux . . . . . . . . . 67
IV.4 Résultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
IV.4.1 Effet du désordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
IV.4.2 Effet de taille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
IV.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Conclusion générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Liste des communications et publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Ce travail de thèse a été réalisé au sein du laboratoire étude physique
des matériaux LEPM du département de physique de l’université des
Sciences et de Technologie d’Oran M.Boudiaf.
Je remercie Professeur Zekri Nouredine d’avoir accepter que je sois son
étudiante et d’avoir guidé ce travail, grâce à lui j’ai pu faire mes premiers
pas dans la recherche durant ces années de thèse.
Je suis infiniment reconnaissante au Professeur Ferhat Mohamed qui a eu
la solennelle tache de présider le jury.
Je remercie sincèrement le Professeur Belaidi Abdelkader, Professeur
Senouci Khaled et Professeur Ghamnia Mustapha de m’avoir fait
l’honneur d’être membres de mon jury.
Merci au Professeur Senouci Khaled pour les conseils avisés et l’aide
qu’il m’a donnée au cours de ma dernière année de thèse.
Un grand merci aux membres du laboratoire LEPM pour leur soutien et
encouragements.
Mes vifs remerciements à mes très chères amies Melle Benasla Houaria,
Melle Bendela Soumia et Mme Sediki Hayet pour leur soutien.

Merci à Mr Ait kaci hocine, Mr Moussaoui Abdelhak et Mr Sabeur
Sid Ahmed pour leur aide et soutien.
Merci à toute ma famille pour sa patience et ses encouragements.

En utilisant le modèle d’Anderson, nous avons étudié la nature des états
électroniques dans les systèmes bidimensionnels sans interaction en présence
d’un désordre diagonal.
Nous nous sommes intéressés aux systèmes désordonnés corrélés. Nous
avons examiné la densité d’états pour un réseau carré. Nous avons trouvé, pour
un désordre faible une singularité en centre de bande d’énergie qui disparaît
pour un désordre fort. Le calcul des vecteurs propres nous a permis d’évaluer le
rapport de participation, afin de voir le nombre de sites qui contribuent à la
fonction d’onde et de voir l’effet de taille sur le comportement du rapport de
participation. Les résultats montrent que seuls les états en dehors du centre de
bande présentent un changement de pente signature d’une transition
localisation-délocalisation.
Nous avons aussi étudié la distribution des espacements des niveaux
d’énergie. Nous avons remarqué que la distribution passe d’une Wigner pour un
désordre faible à une Poissonienne pour un désordre fort, ce qui caractérise le
passage d’un état étendu vers un état localisé.
Afin de confirmer l’existence de cette transition, nous avons calculé la
longueur de localisation par la méthode de la matrice de transfert et étudié son
comportement pour différentes valeurs du désordre à l’énergie E=0 et E=+2 en
variant la taille du système. Effectivement la longueur de localisation est
supérieure ou égale à la taille du système uniquement pour l’énergie E=+2.
MOTS CLÉS : Localisation, systèmes désordonnés, transition localisationdélocalisation,
transition métal-isolant, Modèle d’Anderson, désordre corrélé,
états étendus-localisés, longueur de localisation.

Table I.1 Comparaison des différents régimes de transport. L taille du
système, g conductance, l libre parcours moyen et λ longueur de localisation .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Tableau II.1 Les classes universelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

I.1 Forme de la fonction d’onde. (a)état localisé, (b) état étendu . . . . . . . . . . . . . . 7
I.2 Formation d’états localisés dans les puits de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.3 Densité d’états pour un système avec désordre intermédiaire. Les états localisés et
étendus sont séparés par le front de mobilité E c
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.4 (a) Ondes de Bloch, (b) localisation d’Anderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.5 L’idée de Thouless. Il construit un échantillon de taille macroscopique à partir d’un
échantillon microscopique en doublant la taille de celui-ci de manière itérative. Par
exemple, il passe d’un échantillon cubique de taille (L) d en dimension d à un
échantillon de taille (2L) d puis (4L) d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.6 Variation de la fonction β (g)
en fonction de ln (g) pour différentes dimensions dans
le cas d’un système désordonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
II.1 Résistivité ρ d’un gaz 2D d’électrons en fonction de la température T, pour
différentes valeurs de la densité n
s
[6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
II.2 Exemple de résultats expérimentaux concernant l’évolution de la résistivité d’un
gaz bidimensionnel d’électrons en fonction de la température T pour différentes
densités électroniques n. Le comportement est isolant à faible densité, alors qu’il est
métallique pour une densité plus grande [21] . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.3 (a) Puits de potentiel dans le modèle d’Anderson, (b) densité d’état dans le modèle
d’Anderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II.4 Les différents types de désordre. (a) système ordonné, (b) désordre structural, (c)
désordre topologique, (d) désordre compositionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II.5 Densité d’état pour un désordre purement non diagonal (W=0) et pour
comparaison, désordre diagonal (w=0) [34] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
II.6 Rapport de participation P N en fonction de la taille du système N, avec c=0 en
centre de bande E=0, proche du centre de bande E=0.1 et proche du bord de bande
E=1.05 [34] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
λ
1
II.7 Longueur de localisation réduite en fonction de à une énergie E=0 pour un
M M
désordre purement non diagonal (W=0, w=1, caractères c=0,0.05,…1)[34] . . . 32
II.8 Longueur de localisation réduite M
λ en fonction de M
1
à une énergie E=0 en
présence d’un désordre non diagonal (w=1, c=0,0.05,…1) et un désordre diagonal faible
W=0.0001 [34] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II.9 Fonction d’échelle M
λ en fonction du paramètre d’échelle M
ξ , pour un désordre
purement non diagonal (W=0, w=1, c=0,0.05….1), pour les énergies E=0.05, E=0.01 et
E=0.1 [34] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II.10 Fonction d’échelle M
λ en fonction du paramètre d’échelle M
ξ , pour un désordre
non diagonal à l’énergie E=0 et en ajoutant un désordre diagonal W=0.0001 ,0.001,
0.01 et 0.1 [34] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

λM
II.11 Fonction d’échelle M
λ∞
en fonction du paramètre d’échelle M
d’un système de
largeur M, (a) à 2D (M≥4), (b) là 3D [43] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II.12 Sites visibles d’un réseau carré de taille N=40×40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
III.1 Distributions des écarts entre niveaux à une particule dans la limite
thermodynamique, cas d’un système diffusif (P W (s), Wigner-Dyson) et d’un système
localisé (P P (s), poisson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
III.2 Densité d’état pour le désordre visible. (a) VW=1, (b) VW=2, (c) VW=5, (d) VW=10 ,
le désordre non visible NW=0 pour la taille du système N=40×40 . . . . . 45
III.3 Densité d’état pour le désordre non visible. (a) NW=1, (b) NW=2, (c) NW=5, (d)
NW=10, le désordre visible VW=0 pour la taille du système N=40×40 . . . . . . . . . 46
III.4 Densité d’état pour le désordre total. (a) NW=VW=1, (b) NW=VW=2, (c) NW=VW=5,
(d) NW=VW=10, pour la taille du système N=40×40 . . . . . . . . . . . . 47
III.5 Densité d’état pour différentes valeurs du désordre. (a) NW=2 VW=0, NW=0 VW=2
et NW= VW=2, (b) NW=0 VW=5, NW=5 VW=0 et NW=VW=5), pour la taille du système
N=40×40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III.6 Rapport de participation en fonction des états propres j avec une énergie
croissante (0≤E j ≤E j+1 ). (a) pour le désordre non visible NW=1,2,5 avec VW=0, (b) pour le
désordre visible VW=1,2,5 avec NW=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
III.7 Log 10
RPN
en fonction de Log 10
N en centre de bande E=0 et en dehors du centre
de bande E=+2. (a) pour le désordre non visible NW=1,10 avec VW=0, (b) pour le
désordre visible VW=1,10 avec NW=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
III.8 Variation de la pente κ en fonction du désordre corrélé à l’énergie E=0,+2.
(a) pour le désordre NW, (b) pour le désordre VW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
III.9 Distribution des espacements d’énergie pour les valeurs du désordre visible VW=1,
5, 10 avec NW=0 et pour la taille du système N=40×40 . . . . . . . . . . . . . 56
III.10 Distribution des espacements d’énergie pour les valeurs du désordre non visible
NW= 1, 5, 10 avec VW=0 et pour la taille du système N=40×40 . . . . . . . . 56
III.11 Distribution des espacements d’énergie pour les valeurs du désordre VW=NW=
1, 5, 10 et pour la taille du système N=40×40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
IV.1 La géométrie d’une barre en MMT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
IV.2 Comportement typique de
γ
min
σ
min
et
( γγ )
min
durant le processus d’itération
[2.9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
IV.3 Longueur de localisation λ en fonction du désordre NW à l’énergie E=0 avec
VW=0 pour différentes largeurs de la barre M (M=10,20, …40). . . . . . . . . . . . . . 67
IV.4 Longueur de localisation λ en fonction du désordre NW à l’énergie E=+2 avec
VW=0 pour différentes largeurs de la barre M (M=10,20, …140) . . . . . . . . . . . . . 67

IV.5 Longueur de localisation λ en fonction du désordre VW à l’énergie E=0 avec
NW=0 pour différentes largeurs de la barre M (M=10,20, …140) . . . . . . . . . . . . . 68
IV.6 Longueur de localisation λ en fonction du désordre VW à l’énergie E=+2 avec
NW=0 pour différentes largeurs de la barre M (M=10,20, …140) . . . . . . . . . . . . . 68
IV.7 Longueur de localisation réduite M
λ en fonction de la largeur de la barre M
(M=10,20...150) à l’énergie E=0 avec VW=0 pour différentes valeurs du désordre non
visible NW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
IV.8 Longueur de localisation réduite M
λ
en présence d’un désordre diagonal.
(a) M
λ en fonction de M à E=0 pour différents degrés de désordre W, (b) M
λ en fonction
de M pour W=2 et différentes valeurs d’énergie [10] . . . . . . . . . . . . . . 70
IV.9 Structure d’un réseau de graphène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
λM
IV.10 Longueur de localisation réduite M en fonction de la largueur M en centre de
bande E=0 pour différentes valeurs de désordre W d’un réseau en nid d’abeille et d’un
réseau triangulaire [11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
IV.11 Longueur de localisation réduite M
λ en fonction de la largeur de la barre M
(M=10,20, …150) à l’énergie E=+2 avec VW=0 pour différentes valeurs du désordre
non visible NW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
IV.12 Longueur de localisation réduite M
λ en fonction de la largeur de la barre M
(M=10,20, …150) à l’énergie E=0 avec NW=0 pour différentes valeurs du désordre
visible VW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
IV.13 Longueur de localisation réduite M
λ en fonction de la largeur de la barre M
(M=10,20, …150) à l’énergie E=+2 avec NW=0 pour différentes valeurs du désordre
visible VW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Le début du XXème siècle a vu naître de nouvelles disciplines en
physique : la mécanique quantique et la dynamique non linéaire. La première a
mis en évidence le double caractère onde-particule de la matière et la seconde
le caractère non linéaire et souvent chaotique des systèmes dynamiques
présents dans la nature.
La mécanique quantique est une mécanique des ondes, une des
propriétés des ondes est leur capacité à interférer. Comme en optique
ondulatoire, les effets d’interférence, par exemple la diffraction, sont visibles
lorsque la longueur caractéristique du milieu interférentiel, par exemple la taille
d’une fente, est comparable à la longueur d’onde considérée. La mécanique
quantique traite donc des particules dont l’extension spatiale considérée sous
la forme d’une onde d’amplitude de probabilité de présence appelée fonction
d’onde est comparable à la longueur caractéristique du potentiel avec lequel
elles interagissent.
Dans l’établissement des fondements de la mécanique quantique, F.
Bloch (1928) en étudiant la propagation des électrons d’un milieu cristallin
parfait, a posé les prémices de la théorie quantique des solides. Cette théorie
permet d’expliquer l’existence de matériaux conducteurs dans lesquels les
fonctions d’onde électroniques sont délocalisées dans l’ensemble du cristal.
Plus tard en 1958, P.W. Anderson s’intéresse à la propagation des
électrons dans un milieu désordonné, il montre que le désordre peut localiser
spatialement les fonctions d’onde électroniques et rendre un matériau isolant,
par le seul effet des interférences entre les fonctions d’onde. Ce résultat porte le
nom de localisation d’Anderson. Depuis l’article fondateur d’Anderson, un
nombre impressionnant d’études théoriques et numériques sur le phénomène
de localisation ont vu le jour. Le modèle prédit l’existence d’une transition de
phase entre un état localisé (isolant) et un état délocalisé (conducteur) pour le
modèle d’Anderson à trois dimensions. Bien qu’effectivement des résultats
expérimentaux confirment l’existence d’une transition de phase conducteurisolant
(Métal-Isolant) pour ce modèle, des difficultés techniques associées aux
expériences de physique du solide (échantillons de taille finie, décohérence...)
ne permettent pas d’établir de façon précise les propriétés de la transition
comme la valeur de l’exposant critique.
-1 -

Au début des années soixante avec l’apparition du calcul numérique,
l’étude des systèmes chaotiques retrouve de l’intérêt. La possibilité de réaliser
des simulations numériques complexes a considérablement accru les
connaissances sur le sujet et de nouvelles notions sont apparues comme
l’espace des phases, les exposants de Lyapunov,……
Depuis l’établissement de la théorie d’échelle en 1979 par Abrahams et
al, il est bien connu que tous les états électroniques des systèmes désordonnés
à température nulle à une et deux dimensions sont localisés.
Jusqu’au début des années 90, les analyses des mécanismes de
transport dans les systèmes bidimensionnels tels les transistors à effet de
champ à base de silicium (MOSFET Si), étaient en accord avec la théorie
d’échelle, confirmant l’absence de la transition métal-isolant en dimension
deux. Dans ce contexte, les observations de Kravchenko et al sur des MOSFETs
Si montrant un comportement métallique à basse température ont soulevé de
nombreuses questions.
Cependant, les travaux numériques d’Eilmes et al en 1997 ont montré
l’existence d’un comportement critique en centre de bande d’énergie d’un
système désordonné sans interaction en dimension deux, pouvant caractériser
une délocalisation des états électroniques.
Le sujet de cette thèse se situe dans ce contexte et consiste à l’étude
numérique du phénomène de transport électronique dans un système
bidimensionnel d’électrons sans interaction en présence d’un désordre corrélé.
Dans le premier chapitre sont rappelées les propriétés d’un système
électronique en présence du désordre. Particulièrement la théorie d’échelle qui
prédit une dimension critique d
c
= 2 en dessous de laquelle tous les états sont
localisés.
Le chapitre II contient une revue des résultats expérimentaux et
numériques de la transition métal-isolant en dimension deux. A travers ce
chapitre nous définissons aussi le modèle du désordre corrélé utilisé dans notre
étude.
Le chapitre III concerne l’étude du spectre énergétique d’un système
bidimensionnel obtenu par diagonalisation de l’hamiltonien d’Anderson. Nous
examinons la densité d’état, le rapport de participation et la distribution des
espacements énergétiques en présence d’un désordre en présence d’un
désordre corrélé. Ceci pour mettre en évidence l’effet de la corrélation du
désordre sur la nature des états.
- 2 -

Dans le chapitre IV, nous donnons le formalisme de la méthode de la
matrice de transfert qui est la méthode la plus adaptée à notre étude. Nous
calculons numériquement les exposants de Lyapunov pour un système quasi
unidimensionnel. A partir du minimum de ces exposants nous déduisons la
longueur de localisation du système. Nous examinons ensuite l’effet du
désordre et de la taille du système sur le comportement de la longueur de
localisation.
Ce travail s’achève par une conclusion générale, résumant les principaux
résultats obtenus avec les interprétations physiques associées.
- 3-

I.1 Introduction
I.2 Les systèmes désordonnés
I.3 Transition Métal-isolant
I.4 Les régimes de transport
I.5 Modèle d’Anderson
I.6 Théorie d’échelle
I.6.1 Approche de Thouless
I.6.2 Influence de la dimensionnalité de l’espace
I.6.3 Raisonnement d’Abrahams, Anderson, Licciardello et
Ramakrishnan
- 4 -

I.1 Introduction
La propagation des ondes en milieu aléatoires est un phénomène
commun à de nombreux domaines de la physique. Son étude a connu un
regain d’intérêt après la découverte, en optique et en mécanique quantique,
d’effets cohérents inattendus dans un régime où l’on pensait que le désordre
soit suffisamment fort pour éliminer à priori tout effet d’interférences. Sachant
que les électrons dans les métaux sont décrits par des ondes et la conductivité
résulte de la propagation de ces ondes. Mais les ondes ne se propagent pas
librement, la plupart des milieux qu’elles traversent comportent des obstacles,
des inhomogénéités. Alors le phénomène de diffusion prend place. Une onde
peut être diffusée soit de façon élastique, soit de façon inélastique. Lors d’une
diffusion élastique, l’énergie (la fréquence) de l’onde est conservée, seule sa
direction de propagation est changée, alors qu’une onde diffusée
inélastiquement son énergie et son impulsion seront modifiées.
La diffusion inélastique est toujours présente dans les systèmes physiques réels
et contribue à la destruction de la cohérence de l’onde, empêchant ainsi
l’apparition d’interférences. Différents phénomènes surviennent si l’onde diffuse
faiblement ou fortement, rarement ou souvent, sur un ensemble d’obstacles
réguliers ou non. Si le milieu que traverse l’onde est peu dense, celle-ci subira
peu de collision et sera légèrement perturbée. Au contraire, une forte densité de
potentiels engendrera la diffusion multiple. L’onde subit alors plusieurs
collisions avant de sortir du milieu. Définissons un paramètre important pour
caractériser les différents régimes de propagation possibles: le libre parcours
moyen élastique, noté l. Le libre parcours moyen représente la distance
moyenne entre deux collisions successives. Cette distance caractéristique du
système permet de séparer différents régimes dans lesquels l’onde ne se
comporte pas de la même façon.
Alors que P.W.Anderson [1-4] effectuait des recherches sur la structure
électronique des systèmes magnétiques désordonnés, il remarqua la structure
de bandes délocalisées des niveaux d'énergie des électrons dans un cristal
périodique, leur fonction d'onde étant étendue sur tout le cristal. Il existe en
effet des bandes autorisées où les fonctions d'ondes des électrons se
concentrent et des bandes interdites. C'est ce qui confère aux métaux un
caractère conducteur. Cette structure est due à la périodicité du potentiel à
l'intérieur d'un cristal pur. Toutefois, des qu'il y a des impuretés, le potentiel
n'est plus parfaitement périodique ce qui a pour effet de localiser les fonctions
d'onde autour de points particuliers et transforme donc le conducteur en
isolant. On a une décroissance exponentielle de la densité de probabilité de
présence des électrons en un point de l`espace.
Au début des années soixante, Mott [5-10] à montrer que, dans la bande, les
états localisés et délocalisés sont séparés en énergie. Les états en bord de
bande ont une énergie cinétique plus faible que les états en milieu de bande.
Ainsi les états en bord de bande sont plus facilement localisés que ceux en
milieu de bande. L’énergie séparant les états localisés des états délocalisés est
appelée bord de mobilité.
- 5 -

En 1979, Abrahams et al [11] proposèrent une théorie dite théorie d’échelle,
dans laquelle ils montrent que tous les états électroniques sont localisés
lorsque la dimension spatiale est inférieure ou égale à deux.
La théorie d’échelle a été supportée par beaucoup de travaux mais des travaux
récents ont montré que certains systèmes désordonnés à une dimension
pressentent des interférences constructives menant au régime métallique tel
que le désordre corrélé [12-23], l’anharmonicité [24], la non linéarité [25-29].
Vingt ans après, Kravchenko et al. [30-32], ont observé un comportement
métallique dans des gaz d’électrons en dimension deux ce qui a ouvert un
grand défi a la compréhension courante du problème. D’autre part, il a été
montré théoriquement depuis le début de cette décennie l’existence d’une
transition localisation-délocalisation dans les systèmes bidimensionnels en
présence d’un désordre non diagonal [33-36].
La nature électronique d’un système est très importante pour comprendre ses
propriétés de transport ainsi que les transitions de phases qui peuvent avoir
lieu. Dans ce chapitre nous allons définir les modèles théoriques utilisés et les
différents états électroniques.
I.2 Les systèmes désordonnés
Le cas du désordre zéro décrit un cristal infini parfait. Bien que l’électron
soit influencé par le potentiel du réseau, il ne peut pas diffuser en raison de la
périodicité exacte des atomes.
La fonction d’onde de l’électron est donnée sous la forme d’une onde de Bloch:
r r r r
Ψ (I.1)
( r ) U ( r ) expikr
n, k
=
n,
k
L’onde de Bloch est solution de l’équation de Schrödinger dans l’espace libre
avec les conditions aux limites périodiques, et les effets du réseau peuvent être
absorbés dans la masse effective de l’électron. La symétrie de la solution signifie
que nous pouvons trouver la fonction d’onde de tout l’échantillon en répétant la
solution d’une cellule unité.
Quand le désordre est introduit, la symétrie est perdue et des quantités
physiques deviennent aléatoirement distribuées. La fonction d’onde doit être
calculée pour plusieurs réalisations d’une petite cellule et des grandeurs
physiques sont évaluées en prenant les moyennes sur les valeurs prévues.
o
La théorie semi-classique du transport à T = 0 K pour un petit désordre utilise
les états de Bloch comme un ensemble complet de base et permet la diffusion
d’un état de Bloch à un autre comme un résultat du désordre.
La distance moyenne que l’électron traverse entre événement de diffusion est
appelé le libre parcours moyen l et dans le régime métallique, cette quantité est
une bonne mesure de la force du désordre.
- 6 -

Durant chaque événement de diffusion élastique, l’énergie de l’électron est
conservée, bien que la phase de l’électron puisse changer.
La cohérence d’événement de diffusion multiple résulte dans l’interférence
quantique de la fonction d’onde de l’électron qui mène à plusieurs propriétés
intéressantes que l’approche semi-classique ne révèle pas. Peut-être le résultat
le plus surprenant est l’apparition d’états localisés partout dans la bande
d’énergie quand le désordre est suffisamment fort [1]. Par opposition avec les
ondes étendues de Bloch, un état localisé a la forme générale:
r r r
Ψ (I.2)
( r ) = f ( r ) exp( − r λ)
r
Où f (r)
est une fonction variant aléatoirement et l’enveloppe de la fonction
d’onde décroît exponentiellement dans l’espace avec un rapport caractérisé par
la longueur de localisation λ figure I.1.
Un désordre fort cause de grandes fluctuations dans le potentiel et l’existence
d’états localisés peut être comprise, en termes classiques, comme un électron
piégé dans un puits de potentiel profond. Les électrons avec une énergie
inférieure à l’énergie du puits de potentiel seront localisés figure I.2.
(a)
(b)
Figure I.1 : Forme de la fonction d’onde. (a) état localisé, (b) état étendu.
- 7 -

Energie
0
Position
Figure I.2 : Formation d’états localisés dans les puits de potentiel.
I.3 Transition Métal-Isolant
Dans les limites de faible désordre et de fort désordre, les états au centre
de la bande sont étendus ou localisés respectivement. Pour les systèmes avec
un degré intermédiaire de désordre, on prévoit l’existence à la fois des états
localisés et des états étendus. Cependant, l’opinion dominant est qu’un système
ne peut soutenir les états localisés et étendus à la même énergie.
Un simple argument à supporter cette conjecture propose que si les deux états
coexistent à la même énergie alors l’état localisé doit complètement se mélanger
avec l’état étendu et la superposition résultante sera elle- même qualifiée
comme un état étendu. Un autre caractère important est la tendance des états
localisés à apparaître dans les queues de bande plutôt qu’au centre. Ces deux
considérations mènent naturellement à la division de la bande en des régions
entièrement séparées composées d’états soit localisés ou étendus figure I.3.
o
Dans la limite T = 0 K , le couplage aux phonons est négligeable et seulement
les électrons dans les états étendus contribuent à la conductance dans la limite
thermodynamique. La limite entre les deux régions est appelée le front de
mobilité Ec
et elle marque le changement des états étendus à ceux localisés. Le
concept de front de mobilité aide à expliquer la transition du métal à l’isolant.
Quand le désordre augmente, la région localisée s’étend et le front de mobilité
se déplace vers l’intérieur. A un désordre critiqueW c
, le front de mobilité se
croise à l’énergie de Fermi et la transition métal-isolant existe.
- 8 -

Densité
d’état
Etats étendus
Etats localisés
0
E c
E c
Energie
Figure I.3 : Densité d’états pour un système avec désordre intermédiaire.
les états localisés et étendus sont séparés par le front de mobilité E .
c
I.4 Les régimes de transport
Il existe plusieurs régimes qui sont caractérisés par leurs propriétés de
transport uniques tableau I.1.
Régime balistique ( l > L ) : Le libre parcours moyen l excède la taille du
système L , donc l’électron traversera d’une barrière à l’autre sans diffusion. Par
conséquent, les propriétés de transport sont seulement déterminées par la
géométrie du système. Par exemple, dans un système 2D fin le confinement
transverse résulte dans un vecteur d’onde transverse quantifié et restreint la
propagation à un nombre fini de canaux de conduction indépendants. Chaque
canal occupé contribue avec un degré égal à la conductance et le total est une
conductance quantifiée en unités de 2 e 2 h . Cet effet a été expérimentalement
observé [37].
Régime métallique ( g >> 1, L >1)
à la différence du
régime balistique, l’électron diffuse plusieurs fois à travers le système. Tous les
états sont étendus et la loi d’Ohm est applicable g ∝ L
d −2 . Pour un désordre
petit, le libre parcours moyen l est beaucoup plus grand que la longueur d’onde
λ et le transport peut être décrit par l’approximation semi-classique.
Effectivement, le réseau cristallin est traité par la mécanique quantique et la
diffusion classique. L’interférence entre ondes partielles diffusées des
différentes impuretés est ignorée.
- 9 -

Régime localisé (isolant) ( g > λ)
: Dans ce régime la taille du
système excède la longueur de localisation. La conductance g d’échantillons
finis dans le régime fortement localisé est petite mais non nulle, elle décroît
exponentiellement avec la taille du système g ∝ exp( − L λ)
.
Régimes
Balistique
Métallique
Localisé (isolant)
Echelle de longueur Conductance
l > L
quantifiée
λ >> L > l
g >> 1
L > l
g ∝ exp − 2 L λ
>> λ ( )
Table I.1 : Comparaison des différents régimes de transport. L taille du
système,
g conductance, l libre parcours moyen et λ longueur de localisation.
I.5 Modèle d’Anderson
En 1958, Anderson [1] s’intéresse à la propagation des électrons dans un
milieu désordonné. Des défauts introduits dans la matrice cristalline (par
exemple des défauts compositionnels comme l’ajout d’impuretés dans le cristal),
jouent le rôle du désordre. Si l’intensité du désordre est suffisamment
importante, les fonctions d’onde électroniques vont se localiser spatialement
figure I.4.
Ce résultat, qui porte le nom de localisation d’Anderson, est un phénomène
ondulatoire tout à fait général qui affecte aussi la propagation des ondes
classiques (ondes sonores, lumineuses etc)
Figure I.4 : (a) Ondes de Bloch, (b) Localisation d’Anderson.
- 10 -

Dans un réseau cristallin parfait. Les fonctions d’ondes électroniques sont
délocalisées en ondes de Bloch (a). L’ajout d’un défaut (l’atome de couleur
claire) localise les fonctions d’ondes : localisation d’Anderson.
Dans cette section, nous allons introduire brièvement le modèle
d’Anderson pour les solides désordonnés à une dimension.
Le modèle d’Anderson est un terme générique qui regroupe diverses variantes
de l’équation de Schrödinger pour un potentiel aléatoire à une dimension. Son
origine physique est l’étude de la propagation des électrons dans un métal qui
contient des impuretés. A faible température, nous pouvons éliminer les
collisions inélastiques électrons-phonons qui deviennent négligeables, seules
les collisions élastiques électrons-électrons et les interactions des électrons avec
le potentiel du réseau cristallin subsistent. Les électrons se trouvent alors dans
un état quantique cohérent et les effets d’interférence sont importants. En
négligeant les interactions Coulombiennes entre les électrons, nous pouvons
écrire l’équation de Schrödinger stationnaire (équation aux valeurs propres) à
un électron et à une dimension :
2
h
HΨ = − Ψ
2m
''
( x)
+ V ( x)
Ψ(
x)
= EΨ(
x)
(I.3)
Où le potentiel V (x)
représente l’interaction entre un électron et les atomes du
réseau.
Si V (x)
est périodique, on retrouve le résultat des ondes de Bloch. Pour le
modèle d’Anderson, V (x)
est une fonction aléatoire dont les corrélations sont à
courte portée. L’équation de Schrödinger (I.3) se prête mal à des investigations
analytiques ou numériques. Une discrétisation va nous simplifier la tache en
remplaçant la variable continue x , par une variable discrète n, indice des sites
du réseau. Pour cela, nous décomposons la fonction d’onde sur les états de
Wannier [38] du réseau :
Ψ
=
n
∑
i=
1
Φ
i
i
(I.4)
Les états de Wannier i sont des états localisés sur chaque site n du réseau.
En projetant l’équation (I.3) sur les états de Wannier, on obtient l’hamiltonien
des liaisons fortes (Tight-Binding) :
H
Φ
i
= ∑ tijΦ
i+
j
i,
j
+ ε Φ = EΦ
(I.5)
i
i
i
Où les termes diagonaux
moyenne du potentiel
ε
i
sont les énergies de sites, ils constituent une
- 11 -

V (x) pour des valeurs de x proches du site n . Les termes non diagonaux
tij
sont les taux de transition (hopping rates) entres sites. Il s’agît de quantités
complexes proportionnelles aux amplitudes de transitions quantiques d’un site
i à un site j , ces taux de transition décroissent rapidement avec i − j . De plus,
le caractère hermitien de l’ hamiltonien imposet ij
= t .
On peut alors simplifier l´équation (I.4) par une approximation aux premiers
voisins.
t
i, 1Φi+ 1
+ ti,
−1Φi
−1
+ εiΦ=
EΦ
i
(I.6)
Dans le chapitre IV, nous établirons le formalisme matriciel de cette équation
afin de la résoudre numériquement par la méthode de la matrice de transfert
(MMT).
I.6 Théorie d’Echelle
I.6.1 Approche de Thouless
Thouless [39] a développé des arguments qui permettent de faire le lien
entre le modèle d’Anderson et la conductance d’un système. De plus ces
arguments vont conduire aux arguments d’échelle qui seront présentés dans la
partie suivante.
Considérons un système de taille L en dimension d . Les niveaux d’énergie d’un
tel système sont espacés d’une largeur Δ qui est l’inverse de la densité
d’états ρ ( E)
. Un électron qui diffuse dans un système explorera les niveaux
hD
d’énergie contenus dans une bande de largeur E T
= , où E
2
T
est appelée
L
énergie de Thouless et D est la constante de diffusion. Le rapport entre
l’énergie de Thouless et l’espacement de niveaux est appelé nombre de Thouless
noté g , peut être relié à la conductance du système. En effet, on a :
g
E
Δ
T
2
= = hDρ( E)
L
(I.7)
Or la relation d’Einstein relie la constante de diffusion à la conductivité du
système σ :
2
D = σ e ν ( E)
(I.8)
- 12-

Où
( E ) ρ(
E)
L
d
ν = est la densité d’états par unité de volume. En notant que la
d −2
conductance du système est donnée parG = σ L , on obtient :
ET
h
g = = G
(I.9)
2
Δ e
Le nombre de Thouless g est appelé conductance généralisée sans dimension.
D’après le modèle d’Anderson. En supposant que les niveaux d’énergie des
impuretés sont régulièrement repartis entre − w 2 et + w 2 , l’espacement entre
niveaux est Δ = W N , où N est le nombre d’impuretés et par conséquent
l’énergie de Thouless sera donnée parV
N , où V est l’intégrale de recouvrement
entre états.
Le nombre de Thouless peut s’écrire :
V h
= = G
(I.10)
W e
g
2
Et le critère d’Anderson donne que le système devient isolant lorsque le nombre
de Thouless devient inférieur à une certaine valeur critique g c =V/W c de l’ordre
de 1. Ce résultat montre donc que dans le problème d’Anderson, c’est la
conductance qui possède une valeur critique.
δ E Δ

δ E Δ >1 Les états sont étendus
I.6.2 Influence de la dimensionnalité de l’espace
Dans l’argument d’Anderson, la présence de la transition a lieu quelle que
soit la dimension de l’espace. Des arguments simples permettent de montrer
que cette vision est fausse en dimension un, pour laquelle un désordre, aussi
faible soit il, localise les états électroniques [40] pour le montrer, reprenons les
arguments de Thouless. L’élargissement, en énergie, d’un paquet d’onde
−2
diffusant sur une longueur L est égal à l’énergie de Thouless E T
∝ L , alors que
l’espacement entre niveaux d’un système de dimension d varie comme L − d .
Ainsi le nombre de niveaux contenus dans un paquet d’onde est proportionnel
d −2
à L . Pour d = 1, lorsque L augmente, le nombre de niveaux dans le paquet
d’onde va diminuer jusqu’à ce qu’il ne reste qu’un état propre dans le paquet
d’onde, conduisant à la localisation. Ainsi, quelque soit le désordre, les états
électroniques en dimension un sont toujours localisés.
Pour d = 2 , l’élargissement du paquet d’onde et l’espacement entre niveaux
varient tous les deux comme L
−2
, et aucune conclusion sur la localisation ne
peut être donnée par cet argument. Il est alors nécessaire d’aller plus loin.
1.6.3 Raisonnement d’Abrahams, Anderson, Licciardello et
Ramakrishnan
Thouless a donc montre que l’ont peut définir une conductance généralisé
h
sans dimension g = G . L’idée de la théorie d’échelle est de considérer la
2
e
conductance g (L)
d’un système de taille L , et de se poser la question que
devient cette conductance lorsqu’on multiplie par un entier b la taille du
système. Cette étape consiste donc à regarder la conductance d’un système
d
contenant b cubes de taille L figure I.5.
- 14 -

Figure I.5 : L’idée de Thouless. Il
construit un échantillon de taille
macroscopique à partir d’un
échantillon microscopique en
doublant la taille de celui-ci de
manière itérative. Par exemple, il
passe d’un échantillon cubique
de taille (L) d en dimension d à un
échantillon de taille (2L) d puis
(4L) d ………….
Thouless a montré que g (Lb)
s’exprime uniquement en fonction de g (L)
et deb .
A partir de cette démonstration Abrahams et al [3] ont montré que lorsqu’on
augmente la taille du système en combinant des blocs de taille donnée, la
conductivité varie de manière à ce que :
d ln( g(
L)
d ln( L)
= β ( g(
L))
(I.11)
La fonction β ainsi construite ne dépend que de g .
Il est possible de déterminer les limites asymptotiques de la fonction β (g)
, à
grandes et à petites valeurs de g , par des arguments généraux de la physique.
Pour g grand la théorie macroscopique du transport est applicable, conduisant
à :
d −2
G(
L)
= σ L et lim β ( g)
= d − 2
(I.12)
g→∞
Dans cette même limite, on peut aller plus loin en utilisant la théorie de la
localisation faible qui donne un développement en W V = 1 g :
β ( g)
= d − 2 − a g + ο(1
g)
(I.13)
Pour g petit, on tombe dans le régime localisé, et on a :
−L
λ
G = g
0e
et lim β (g) = ln(g g
0
( d))
g→0
(I.14)
- 15 -

Où g
0
est un rapport sans dimension de l’ordre de 1 et λ est la longueur de
localisation. Il est possible d’aller plus loin en faisant un développement en
perturbation en V W [16], donnant une correction positive :
2
0
g
β (g) = ln(g g )[1 + αg + ο(
)]
(I.15)
D’après ces considérations il est possible de tracer la fonction β (g) en faisant
l’hypothèse de continuité entre les deux limites et on remarque que β (g) doit
être monotone étant donné qu’une diminution de V W signifie plus de
localisation. On regarde le comportement de cette fonction lorsque la taille
augmente figure I.6.
Si β > 0 , g augmente lorsque L augmente, les électrons sont délocalisés
et le système est métallique
Si β < 0 , g diminue lorsque L augmente, le système est alors isolant.
Dimension d = 3 , la courbe croise l’axe β = 0 en un point g
c
, ce qui signifie que
le système peut subir une transition d’un état métallique (pour g >
état isolant (pour g < ).
g
c
g
c
) vers un
Par contre, pour d = 2 et d = 1, β est une fonction toujours négative, ce qui
signifie que le système ne rencontre pas de transition métal-isolant.
D’après cette théorie d’échelle, un système d’électrons indépendants en
dimension d = 2 ou d = 1 en présence d’un désordre arbitrairement petit est
toujours isolant.
- 16 -

Figure I.6 : Variation de la fonction β (g)
en fonction de ln(g ) pour différentes
dimensions dans le cas d’un système désordonné.
- 17 -

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[2] P.W.Anderson, E.Abrahams et T.V. Ramakrishnan, Phys.Rev.Lett.43, 718
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3519 (1980).
[4] P.W.Anderson, Phys.Rev.B23, 4828 (1981).
[5] N.F.Mott et W.T.Twose, Adv. Phys.10, 107 (1961).
[6] N.F.Mott, J.Non-Cryst.Sol.1, 1(1968).
[7] N.F.Mott, Phil.Mag.22, 7 (1970).
[8] N.F.Mott, Commun.Phys.1, 203 (1976).
[9] N.F.Mott et E.A.Davis, Electronic Processes in non-crystalline Materials 2ed
(Oxford: Clarendon Press) (1979).
[10] N.F.Mott, Phil.Mag.B44, 265 (1981).
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[13] Y.E.Levy et B.Souillard, Europhys.Lett.4, 233 (1987).
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[22] I.F.dos Santos, F.A.B.F.deMoura, M.L.Lyra et M.D.Coutinho-Filho,
J.Phys.Condens.Matter19, 476213 (2007).
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- 18 -

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[36] A.Eilmes, R.A.Römer, Phys.Stat.Sol.(b) 9, 2079 (2004).
[37] B.J. Van Wees, H.Van Houten, C.W.J.Beenakker, J.G.Williamson,
L.P.Kouwenhoven, D.Van derMarcel et C.T.Foxon, Phys. Rev.Lett. 60, 848
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[38] G. H.Wannier, Phys. Rev. 117, 432 (1960).
[39] D.J.Thouless, J.Non-Crys.Solids 8-10,461 (1972).
[40] Y.C.Lee, C.S.Chu et E.Castano, Phys.Rev.B27, 6136 (1983).
- 19 -

II.1 Introduction
II.2 Expériences sur la localisation
II.3 La transition métal isolant en dimension deux
II.4 L’expérience et la théorie
II.5 Modèle théorique utilisé et mise en équation
II.6 Modèles du désordre
II.6.1 Les différents types de désordre
II.6.2 Le désordre corrélé
II.7 Conclusion
- 20 -

II.1 Introduction
Ce chapitre est une description des travaux expérimentaux et
analytiques de ce qui est appelé transitions métal-isolant en dimension deux, a
travers la quelle nous mettons en évidence la motivation ainsi que le choix du
modèle théorique utilisé dans notre travail. Particulièrement nous définissant
une corrélation des énergies des sites d’un réseau bidimensionnel par un
algorithme mathématique.
II.2 Expériences sur la localisation
Il y’a plusieurs matériaux dans les quelles le désordre entraîne une
transition métal-isolant [1]. Comme le Silicium dopé au Bore ou au Phosphore
[2-5]. Le désordre dans ces matériaux provient de la position aléatoire des
atomes dopants. Le degré du désordre varie soit en changeant la concentration
des dopants N p ou en appliquant une force sur le système avec une
concentration N p fixe. Dans les deux cas la distance entre les dopants change
ce qui modifie le rapport W/t, le degré du désordre effectif considéré dans le
modèle d’Anderson.
II.3 La transition métal isolant en dimension2
Que deviennent les lois physiques dans un espace à deux dimensions ? En
Matière condensée, cette question est loin d’être purement théorique, puisque
la dimensionnalité joue un rôle crucial dans les propriétés des matériaux. Ainsi,
les caractéristiques des métaux usuels à 3D (grande conductivité électrique, …)
tiennent à ce que les électrons peuvent se déplacer à peu près librement dans
tout le volume.
A deux dimensions, diverses expériences réalisées sur des gaz d’électrons
à l’interface entre deux semi-conducteurs ont indiqué qu’au contraire le
système était isolant. Ceci s’explique par le caractère désordonné des systèmes
réels (défauts cristallins, impuretés). Ce désordre induit des termes
d’interférences destructives dans les calculs de la fonction d’onde à un électron.
Celle-ci a alors une extension finie dans le plan en raison des propriétés
topologiques de l’espace à deux dimensions, et chaque électron ne peut donc se
déplacer dans tout le plan.
Tout ceci a été remis en cause en 1994 quand Kravchenko et son équipe
ont observé un comportement métallique dans des MOSFETs Silicium de très
grande qualité [6,7]. Ce comportement apparaît en abaissant la densité du gaz
d’électrons 2D. Il se caractérise par une augmentation de la résistance avec la
température figure II.1. Cette découverte a déclenché une intense activité
théorique et expérimentale dans le monde. Elle suggère en effet une transition
de phase quantique (en variant la densité) vers un nouvel état physique
caractérisé par des corrélations entre électrons induites par leur interaction
Coulombienne répulsive. On sait que si la densité du gaz d’électrons est élevée,
cette interaction est négligeable : on a à faire à un liquide (le liquide de Fermi
[8]) de quasi-particules indépendantes, leur interaction mutuelle étant écrantée
par le système lui-même. C’est aussi le cas des métaux usuels.
- 21 -

Cet écrantage ne peut subsister à basse densité et le système doit
s'ordonner dès que l’énergie cinétique due au confinement spatial de fermions
devient faible devant l’énergie d’interaction Coulombienne. Le nouveau "métal"
serait alors un état intermédiaire entre le liquide de Fermi et un système très
"corrélé" (cristal ou verre de Wigner [8]).
Aujourd’hui, malgré de nombreux efforts expérimentaux et théoriques,
l’existence de cette nouvelle phase quantique reste controversée, et sa nature
éventuelle est à préciser.
Figure II.1 : Résistivité ρ d’un gaz
2D d’électrons en fonction de la
température T, pour différentes
valeurs de la densité n s .
Pour les densités les plus faibles,
la décroissance de ρ quand T
augmente signe un isolant, tandis
que l’augmentation de ρ en
fonction de T correspond à un
comportement métallique.
L’expérience a été réalisée sur des
MOSFETs silicium par S.V.
Kravchenko et son équipe [6].
Figure insérée: résultats similaires
à ceux de la figure principale, mais
présentés en fonction du rapport
δn
où δn
est l’écart relatif
1 zν
T
à la densité critique, z et ν les
exposants critiques, et T la
température.
L’ensemble des courbes ρ (T ) à ns
donné se rassemble en une seule
courbe à deux branches
correspondant à l’isolant et au
métal (pour z ν = 1. 2 ), ce qui vérifie
l’invariance d’échelle.
- 22 -

II.4 L’expérience et la théorie
Le lien entre la théorie et l’expérience est l’équation qui découle de la
théorie du simple paramètre d’échelle [9], ceci en concluant que cette transition
de phase est du deuxième ordre et en considérant la continuité de la fonction
β au point critique. Cet exposant critique est le même aux deux limites de la
transition métal-isolant. Une provenant de la longueur de localisation pour un
système de taille infini λ∞
et l’autre de la conductivité DCσ :
−ν
⎛ W
λ∞
⎟ ⎞
( W ) ∝ ⎜ −1
(II.1)
⎝W c ⎠
s
⎛ W ⎞
σ ( W ) ∝ ⎜ 1−
W ⎟
(II.2)
⎝ c ⎠
Pour la région isolante et métallique, respectivement [9]. s et ν sont reliés par le
scaling de Wegner [10, 11,24].
Donc
s = ( d − 2)ν
(II.3)
s = ν en dimension trois.
L’universalité est un concept important dans la théorie des phénomènes
critiques. Elle est basée sur l’observation que certaines propriétés
caractéristiques de la transition de phase particulièrement les exposants
critiques, ne sont pas sensibles aux détails spécifiques de l’hamiltonien.
Plutôt, en général ils dépendent de la symétrie du modèle. Donc il est possible
d’identifier l’universalité en classes qui contiennent certaines symétries et
l’ensemble des exposants critiques correspondant est (s,v,z). Cependant, il y’a
aussi des propriétés non universelles qui pourraient fortement dépendre des
détails microscopiques du système comme les paramètres a la transitions.
Dans les travaux d’Anderson, il y’a trois classes universelles citées dans le
tableau II.1. Elles se distinguent par la présence ou l’absence de l’inversion du
temps (SIT) et de la symétrie de rotation du spin (SRS). Ses symétries peuvent
être brisées soit par l’application d’un champ magnétique ou d’un couplage
spin orbite.
Le concept d’universalité a été confirmé par plusieurs travaux, par exemple il a
été montré que pour le cas orthogonal v ne dépend pas de la distribution des
énergies quelle soit rectangulaire, Gaussienne ou Lorentzienne [10], ou par la
présence d’énergies de sauts aléatoirement distribuées [11].
- 23 -

Classe universelle SIT
Orthogonal Oui
Unitaire
Non
Symplectique Oui
SRS H
- Real, symétrique
Oui Complexe, auto adjoint
Non Real, symplectique
Tableau II.1 : Les classes universelles
Dans le cadre de la transition métal-isolant en dimension deux, certains
auteurs ont évoqué la possibilité d’une transition de phase quantique entre un
état métallique et un état isolant. Voir travaux de Shondi et al [12] et Vojta
[13,14].
Notons qu’une transition de phase quantique se produit lorsque le changement
d’un paramètre de l’Hamiltonien du système, tel le désordre ou la densité,
change l’état fondamental du système. Dans une transition de phase
quantique, les fluctuations quantiques dominent à grande échelle et contrôlent
ainsi le comportement critique.
Des calculs théoriques [8] suggèrent que cette transition soit une transition de
percolation. Cela permettrait de comprendre la valeur de l’exposant critique,
ainsi que le lien avec les transitions métal-isolant en champ magnétique. Il y
aurait une séparation spatiale entre deux phases haute et basse densité, la
Première "s’écoulant" à travers la seconde. La nature de ces deux phases
éventuelles reste cependant inconnue. Il pourrait s’agir du liquide de Fermi et
du verre (ou du cristal) de Wigner [8,15]. Dans ce cas, il n’y aurait pas de
nouvelle phase quantique métallique. Mais il a été suggéré aussi qu’il s’agisse
de la nouvelle phase quantique éventuelle et du liquide de Fermi [8,15].
En l’absence d’interactions (la limite de forte densité), tout système
désordonné à deux dimensions est un isolant, du fait de la localisation forte.
Dans l’autre limite (faible densité), les interactions sont si fortes que les
électrons se localisent et cherchent à rester loin les uns des autres en formant
ce que l’on appelle un cristal de Wigner. Une étude analytique [16] montre
qu’en l’absence de désordre le cristal se forme aux alentours d’une certaine
valeur de densité. En présence de désordre, le cristal peut se former à des
valeurs plus petites et est piégé par le désordre, de sorte que le système est
isolant [17, 18].
Expérimentalement, la résistivité (ou la conductivité) est mesurée en
fonction de la température et de la densité électronique. Dans les deux régimes
qui viennent d’être discutés (c’est-à-dire à forte et faible densité), le
comportement observé est isolant (la résistivité croît lorsque la température
diminue). Cependant, pour une densité électronique intermédiaire, un
comportement métallique est observé [19, 20], la résistivité décroît lorsque la
température baisse [6,21]. Sur la Figure II.2, on peut voir le comportement
isolant à faible densité et le comportement métallique à densité intermédiaire.
- 24 -

Figure II.2 : Exemple de résultats expérimentaux concernant l’évolution de la
résistivité d’un gaz bidimensionnel d’électrons en fonction de la température T
pour différentes densités électroniques n. Le comportement est isolant à faible
densité, alors qu’il est métallique pour une densité plus grande [21].
Si les électrons sont polarisés par champ magnétique un fort, le
comportement métallique disparaît. Cela suggère l’importance du degré de
liberté de spin dans le mécanisme donnant lieu à cette phase.
L’existence d’un tel comportement métallique est surprenante. Il n’est pas
prédit par une théorie sans interaction (la théorie d’échelle de la localisation,).
Une introduction perturbative de l’interaction mène même à un renforcement
de la localisation des électrons [22]. Cela semble impliquer que le
comportement métallique résulte des effets combinés du désordre et de
l’interaction, dans un régime où aucun des d’eux n’est perturbatif.
Plusieurs approches ont été proposées, entre autres dans cette direction, pour
déterminer l’origine de ce comportement métallique [23].
- 25 -

II.5 Modèle théorique utilisé et mise en équation
Le modèle d'Anderson a été utilisé tout au long de ce travail afin de
réduire les difficultés mathématiques, il est le plus adapté aux calculs
numériques. Le modèle décrit un mouvement d'électrons dans un potentiel
aléatoire. Il néglige les interactions électron-électron et les interactions électronphonon.
La fonction d’onde est générée par discrétisation de l’hamiltonien
Tight binding indépendant du temps :
H
=
N
∑
i
N
ε i i + t i j
(II.4)
i
∑
i≠
j
ij
Chaque site i est une orbitale atomique centrée sur le site i = ( x,
y,
z)
et les
sites forment un réseau régulier ou une chaîne. Les quantités ε
i
sont les
énergies des électrons situés sur le site i. t ij
est l’énergie de saut d’un site i à un
site j. Physiquement la probabilité de saut est non nulle pour les plus proches
voisins ( t = 1).
ij
Généralement les énergies ε i
des sites sont choisies selon une distribution de
probabilité [11, 24,26] soit:
Une distribution rectangulaire :
− ⎛ ⎞
P ( ε ) = W θ⎜
− ε ⎟
(II.5)
⎝ 2 ⎠
1 W
θ est la fonction step, le degré du désordre est défini par le rapport
Une distribution de Gauss :
W
V
2
1 ⎛ ε ⎞
P ( ε ) = exp
⎜ −
⎟
(II.6)
2 2
2πσ
⎝ 2σ
⎠
2 2
Avecσ = W 12 .
Une distribution de Lorentz ;
W
p ( ε ) =
(II.7)
2
π ( W + ε )
- 26 -

En dimension un, cela revient à considérer un potentiel du type de celui décrit
sur la figure II.3 (a). L’énergie de chaque site prend une valeur comprise entre
− W 2 et + W 2 , avec une distribution de probabilité uniforme dans cet
intervalle d’énergie. W est alors une mesure du désordre dans ce système. V est
l’intégrale de recouvrement entre les états sur sites plus proches voisins.
La question d’Anderson est de savoir si les états électroniques du système sont
délocalisés sur tout le système, ou si les états ont une extension finie dans
l’espace. Un état délocalisé est décrit par la superposition d’un nombre infini
d’états sur sites avec des poids équivalents, alors qu’un état localisé est décrit
par la superposition d’états sur sites avec des poids décroissant
exponentiellement avec la distance par rapport à un site. Si tous les états
électroniques d’un système sont localisés, alors la conductivité du système à
température nulle est nulle.
Anderson a montré que le paramètre critique est le rapport W V . Pour une
valeur suffisamment élevée de W V , tous les états sont localisés. Lorsque ce
rapport passe en dessous d’une valeur critiqueW c
V , des états délocalisés
commencent à apparaître en milieu de bande. Pour une valeur faible deW
V , la
région des états délocalisés devient large, recouvrant quasiment toute la bande
figure II.3 (b).
Etats
délocalisés
Etats
localisés
(a
(b
Figure II.3 : (a) Puits de potentiel dans le modèle d’Anderson,
(b) densité d’état dans le modèle d’Anderson.
- 27 -

Nous avons vu au chapitre I que la localisation d’Anderson est le résultat
d’effets d’interférence quantique. Cette localisation forte génère un
comportement d’isolant. Dans le modèle d’Anderson a une dimension, il n’existe
pas d’état métallique, la localisation existe toujours quel que soit le degré de
désordre. En dimension deux, la localisation existe toujours mais la longueur
de localisation décroît exponentiellement avec le désordre [9]. En dimension
trois, il existe une transition de phase entre état localise et délocalisé. Cette
transition d’Anderson fait partie d’une classe de transitions de phase continues
dites transitions de phase quantiques car leur comportement critique est
gouverné non pas par des fluctuations d’origine thermique mais par des
fluctuations quantiques [27].
Dans cette classe de transitions de phase, il existe une catégorie qui
regroupe les transitions d’origine purement électronique : Les transitions de
Mott induites par les corrélations électroniques et les transitions d’Anderson
induites par le désordre.
La transition d’Anderson est une transition dite continue ou de second ordre
comme la transition superfluide ou la condensation de Bose Einstein [28].
Ce type de transition est caractérisé par la divergence d’une longueur
caractéristique sous la forme :
λ ≈ Λ − )
−ν
( g g
c
(II.8)
Où λ est la longueur de localisation, ν est l’exposant critique, Λ la longueur
caractéristique du système (par exemple le pas du réseau) et g
c
le paramètre
critique de la transition (par exemple le degré de désordre).
L’équation de Schrödinger (II.4) peut être écrite sous la forme récursive
suivante :
Φ
i
E ε (II.9)
+ 1
= ( −
i
) Φ
i
− Φ
i−1
Où Φ i
est la fonction d’onde du ième site atomique, pouvant s’écrire sous la
forme matricielle suivante :
Φ + 1
i
1
⎛ i
⎜
⎝ Φ
⎞ ⎛E - ε
i
-1⎞
⎛ Φ
i ⎞
⎟ = ⎜ ⎟
⎜
⎟
⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝Φ
i- ⎠
(II.10)
⎛ Φ
i ⎞
= T
i
⎜
⎟
⎝Φ
i-1 ⎠
(II.11)
i
T est la matrice de transfert. Par conséquent la fonction d’onde pour le système
désordonné de taille L, peut être généré en répétant l’application de la matrice
de transfert :
- 28 -

⎛Φ
L
⎜
⎝ Φ
+ 1
L
⎞
⎟ =
⎠
L
∏
i=
1
⎛ Φ1
⎞
Ti
⎜
⎟
⎝Φ
0 ⎠
(II.12)
Dans le chapitre IV, la méthode de la matrice de transfert [29,30] est étendue et
appliquée pour un système bidimensionnel. Elle permet de calculer l’exposant
de Lyapunov γ , dont l’inverse représente la longueur de localisation λ .
II.6 Modèles du désordre
II.6.1 Les différents types de désordre
Les matériaux désordonnés qui se trouvent abondamment dans la nature
dans les phases amorphes caractérisés par l’absence apparente de l’ordre,
présentent différents types de désordre :
Désordre structural ou spatial :
Dans ce cas de désordre, les atomes sont de même type mais disposés
aléatoirement. Ce type de désordre est typique aux atomes en mouvement
thermique aléatoire ou des matériaux amorphes.
Désordre topologique :
Quand les atomes sont disposés aléatoirement sur des sites fixes et le nombre
de plus proches voisins est constant.
Désordre compositionnel :
Dans ce cas de désordre, on a deux types d’atomes ou plus disposés sur des
sites qui forment un arrangement régulier.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure II.4 : Les différents types de désordre : (a) système ordonné, (b)
désordre structural, (c) désordre topologique, (d) désordre compositionnel.
- 29 -

II.6.2 Le désordre utilisé
Le désordre que nous allons utiliser dans notre travail est un désordre du
potentiel où se trouve la particule. Particulièrement pour le modèle d’Anderson,
il est existe deux types de désordre relatifs aux deux termes de son
hamiltonien.
Le terme non diagonal t ij
et le terme diagonalε i
. Si le désordre est purement
diagonal les termes t ij
sont constants et les ε i
sont aléatoirement distribuées
dans l’intervalle [ − W 2,
+ W 2]
, par contre si le désordre est non diagonal les ε i
t
ij
sont constants et les sont distribués aléatoirement dans l’intervalle
[ c − w 2,
c + w 2]
. Où c est le centre et w la largeur de la distribution du désordre
non diagonal.
Notons que ce dernier type de désordre a été intensivement étudié par Eilmes et
al [31-33] pour le modèle d’Anderson bidimensionnel. Ils ont trouvé l’existence
d’une délocalisation en présence d’un désordre non diagonal, particulièrement
en centre de bande d’énergie E=0. Cette délocalisation a été mesurée en
examinant la densité d’état figure II.5 qui présente une singularité en E=0
signature d’une délocalisation. Un scaling du rapport de participation
[34,35] qui mesure le nombre de sites qui contribue à la fonction d’onde en
fonction de la taille du système montre un comportement de la forme :
RP N
κ
N
≈ (II.12)
avec κ = 0 pour des états localisés en dehors du centre de bande d’énergie
E=1.05 et κ = 1 pour des états étendus en centre de bande d’énergie E=0
figure II.6.
RP
N
Figure II.5 : Densité d’état pour un désordre purement non diagonal (W=0) et
pour comparaison, désordre diagonal (w=0) [34].
- 30 -

Figure II.6 : Rapport de participation P
N
en fonction de la taille du système N,
avec c=0 en centre de bande E=0, proche du centre de bande E=0.1 et proche
du bord de bande E=1.05 [34].
Ils ont aussi examiné le comportement de la longueur de localisation en
fonction du désordre c non diagonal et diagonal W, de l’énergie E et la taille du
système M en utilisant la méthode de la matrice de transfert. Les résultats
trouvés par la fonction d’échelle de taille finie (FSS) [30] montrent aussi
l’existence d’un comportement analogue au comportement critique observé a la
transition métal-isolant pour le modèle d’Anderson a trois dimensions [30],
pour une énergie E=0, un désordre c=0,0.05,…1 et une largeur du système
M=10,20,…, 180 avec une précision de 1% figure II.7. Par contre l’ajout d’un
désordre diagonal aussi faible qu’il soit détruit ce comportement critique figure
II.8.
- 31 -

Figure II.7 : Longueur de localisation réduite M
λ
en fonction de
M
1 à une
énergie E=0 pour un désordre purement non diagonal (W=0, w=1, caractères
c=0,0.05,…1) [34].
Figure II.8 : Longueur de localisation réduite M
λ en fonction de M
1 à une
énergie E=0 en présence d’un désordre non diagonal (w=1, c=0,0.05,…1) et un
désordre diagonal faible W=0.0001 [34].
- 32 -

Le résultat essentiel des travaux de Eilmes et al, il n’y’ a pas de transition
métal-isolant en présence du désordre non diagonal en centre de bande, car la
fonction d’échelle de la longueur de localisation réduite λ/Μ figure II.9 présente
une seule branche correspondant a des états localisés en accord avec la théorie
d’échelle figure II.11 [43]. Le même comportement existe si on ajoute un faible
désordre diagonal figure II.10.
Par conséquent le comportement critique représente uniquement une transition
forte localisation- faible localisation.
Figure II.9 : Fonction d’échelle M
λ
en fonction du paramètre d’échelle
M
ξ , pour
un désordre purement non diagonal (W=0, w=1, c=0,0.05….1), pour les
énergies E=0.05, E=0.01 et E=0.1 [34].
Figure II.10 : Fonction d’échelle M
λ
en fonction du paramètre d’échelle M
ξ ,
pour un désordre non diagonal à l’énergie E=0 et en ajoutant un désordre
diagonal W=0.0001 ,0.001, 0.01 et 0.1 [34].
- 33 -

λM
Figure II.11 : Fonction d’échelle M
en fonction du paramètre d’échelle
λ ∞
M
d’un système de largeur M. (a) à 2D (M≥4), (b) à 3D [43].
Dans notre travail, nous allons introduire une corrélation sur le désordre
diagonal, en s’inspirant des travaux de Dunlap et al [36-38] ; qui étudient des
alliages binaires (particulièrement les dimères) en utilisant l’hamiltonien de
liaisons fortes à une dimension. Ils ont introduit une corrélation par paires
d’énergies, ils ont trouvé que le nombre d’états étendus est racine de N pour
une chaine de longueur N.
Ces résultats intéressants ont poussé Sanchez et al [39] a étudier les dimères
aléatoires dans le modèle de Kronig-Penney, ce même modèle en présence de
désordre corrélé a été étudier avec un potentiel en pic [40,41] ou en super
réseau [42], montrant ainsi l’existence de régime diffusif.
Nous considérons un réseau bidimensionnel de taille N=L×L, si les indices des
sites (i,j) sont des nombres premiers entre eux le désordre est nommé visible
vw , si par contre les indices des sites sont non premiers entre eux le désordre
est nommé non visible nw figure II.12. Par conséquent la distribution aléatoire
des énergies des sites ε i sera introduite sur les sites visibles, non visibles ou
bien visibles-non visibles dans ce cas le système sera totalement désordonné.
Cette corrélation énergétique est introduite grâce à un algorithme
mathématique simple introduit comme subroutine dans notre programme de
calculs numériques.
- 34 -

45
40
Visibles sites
N=40*40
35
30
25
sites j
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Sites i
Figure II.12 : Sites visibles d’un réseau carré de taille N=40×40
- 35 -

II.7 Conclusion
D’après les différents travaux théoriques, nous pouvons conclure que les
états électroniques dans les systèmes désordonnés bidimensionnels étaient
connus comme localisés. Mais les résultats expérimentaux trouvés par
Kravchenko et al montrant un comportement métallique dans des MOSFETs
Silicium ont remis en cause la théorie d’échelle. Depuis, de nombreux travaux
ont montré l’existence d’états délocalisés ou faiblement localisés en centre de
bande d’énergie en présence d’un désordre non diagonal à deux dimensions.
- 36 -

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[41] Z.Okbani et N.zekri, J.N.Crist.Solids.352, 2746 (2006)
[42] V.Bellani, E.Diez, R.Hey, L.Toni, L.Tarricone, G.B.Parravicini.
F.Dominguez- Adame et G.Gomez-Alcala, Phys.Rev.Lett.82, 2159
(1999).
[43] A.MacKinnon et B.Kramer, Phys.Rev.B47, 1546 (1981)
- 38 -

III.1 Introduction
III.2 Propriété statistique de la transition d’Anderson
III.3 Distributions des espacements d’énergie
III.4 Résultats et discussions
III.4.1 La densité d’état
III.4.2 Le rapport de participation
III.4.3 Distribution des espacements des niveaux d’énergie
III.5 Conclusion
- 39 -

III.1 Introduction
Dans ce chapitre, on réalise une étude de la statistique spectrale d’un
réseau bidimensionnel en présence d’un désordre diagonal pour un système
sans interactions. La technique utilisée de diagonalisation de l’hamiltonien
d’Anderson est basée sur les méthodes standard de diagonalisation des
matrices symétriques tridiagonales par bande. Sachant qu’à partir du spectre
énergétique et le calcul des vecteurs propres du système, on peut caractériser
la nature de l’état électronique. Ceci en étudiant le comportement de la densité
d’état, du rapport de participation RP et la statistique des niveaux d’énergie.
N
III.2 Propriété statistique de la transition d’Anderson
En l’absence d’interactions, la distribution des écarts entre niveaux à une
particule a été étudiée et a été trouvée être un bon indicateur du caractère
isolant ou métallique d’un système. En particulier, la statistique spectrale
permet d’étudier la transition métal-isolant d’Anderson [1, 2].
On note Δ l’écart énergétique entre deux niveaux à une particule au niveau de
Fermi:
Δ = E
+1
−
(III.1)
i
E i
Du fait du caractère aléatoire du potentiel de désordre, cet écart dépend de
l’échantillon considéré. Une étude statistique est donc toute indiquée.
On note p (s)
la distribution des écarts normalisés s entre niveaux à une
particule :
s = Δ Δ
(III.2)
Où Δ dénote la moyenne d’ensemble sur toutes les configurations du
désordre.
Pour les systèmes désordonnés, la forme de la distribution p(s)
dépend de
l’intensité du désordre. En l’absence de désordre (billard balistique), p (s)
est
universelle si le système est classiquement chaotique. Pour les systèmes
intégrables (comme notre système de forme carrée), ce n’est pas le cas.
Dans le régime diffusif ( l

Dans notre cas, l’Hamiltonien (II.2) respecte la symétrie par renversement du
temps ainsi que la symétrie par rotation de l’espace (isotropie).
Nous commençons par une matrice aléatoire A de taille 2 × 2:
⎛ a1
a3
⎞
A =
⎜
⎟
(III.3)
⎝a3
a2
⎠
Par commodité, on suppose que les éléments a i
suivent une distribution
gaussienne. A doit être hermitique et de plus la symétrie par renversement du
temps vérifiée par notre système implique que les éléments de A sont réels,
d’où l’égalité des deux éléments non diagonaux. La symétrie de l’ensemble des
matrices A par rotation de l’espace, quant à elle s’écrit :
A = (III.4)
'2 2
ij
A ij
Avec
−1
A
ij
= ∑Μ
ik
AklΜ
lj
(III.5)
kl
Où Μ est une matrice orthogonale. Cette symétrie impose une relation entre la
largeur des Ω
12
de la distribution des éléments diagonaux a1
et a
2
et celle Ω
3
2 3
de l’élément non diagonal a
3
: Ω
12
= 2Ω3
. Par la suite on pose Ω = Ω3
.
On a donc les distributions :
P(
a
1,2
'
P ( a
3
)
)
1 ⎛ − a
exp⎜
2π
Ω
⎝ 2Ω
2
1,2
=
2
1 ⎛ − a
exp⎜
π Ω
⎝ Ω
2
3
=
2
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
(III.6)
(III.7)
Où Ω peut être choisi librement.
On peut maintenant calculer les valeurs de A , puis leur écart :
s = ( a + a
(III.8)
2
1
− a2
) 4
2
3
Dont on peut déterminer la distribution :
2 2
( s − ( a1
− a2
)
3
)
p ( s)
= ∫∫∫da
da da p a P a P a δ + a (III.9)
'
1 2 3
(
1)
(
2
) (
3
)
4
- 41 -

Après avoir exprimé s en unité de sa moyenne (ce qui fait disparaîtreΩ), on
obtient la statistique de Wigner-Dyson ou Wigner surmise:
P W
π π 2
( s)
= s exp( − s )
(III.10)
2 4
C’est alors que la théorie des matrices aléatoires se montre surprenante : la
statistique de Wigner-Dyson, obtenue avec une simple matrice 2×2 correspond
presque parfaitement [3-6] à la distribution des écarts de niveaux pour des
matrices aléatoires beaucoup plus grandes.
Cette distribution, dont on peut voir le tracé sur la figure III.1, se retrouve dans
les systèmes désordonnés dans le régime diffusif ainsi que dans des systèmes
classiquement chaotiques.
Elle doit son nom à Wigner qui étudiait le spectre de noyaux lourds et qui fit
cette hypothèse (Wigner surmise) pour la première fois. Cette distribution s’écrit
sous la forme générale :
β
2
p(
s)
= A s exp( −B
s )
(III.11)
β
β
β reflète la symétrie du système,
On distingue trois ensembles :
Aβ
et
Bβ
sont des constantes.
Ensemble Gaussien orthogonal (EGO) le système est invariant par
inversement du temps : β = 1, A = 2 et B = 4 .
1
π
1
π
Ensemble Gaussien unitaire (EGU) le système est non invariant par
2
inversement du temps : β = 2 , A2 = 32 π ≈ 3. 24et B = 4 2
π .
Ensemble Gaussien Symplectique (EGS) système avec spin :
3
β = 4 , A = 262144 729π
11. 6 et B = 6 4 9π
2. 26 .
4
≈
4
=
On remarque que, dans le régime diffusif, la probabilité d’avoir un écart nul est
nulle. Cela montre que les niveaux sont corrélés. On parle de répulsion des
niveaux. Cela se comprend par le fait que, dans ce régime, les fonctions d’onde
sont délocalisées. Or, dans le cas où tous les électrons « voient » le même
paysage, les dégénérescences entre les états à une particule sont dues à des
symétries. Comme le désordre brise toutes les symétries, il lève également
toutes les dégénérescences.
- 42 -

Cela n’est pas le cas dans le régime localisé. Dans ce régime, les électrons sont
piégés dans des parties à priori différentes du système, et leurs énergies sont
donc non corrélées. L’indépendance des niveaux d’énergies mène à la
distribution de Poisson figure III.1 :
Ou bien
P P
( s)
= exp( −s)
(III.12)
Avec
A = 1
Δ
P P
( s)
= Aexp(
−Bs)
(III.13)
Figure III.1: Distributions des écarts entre niveaux à une particule dans la
limite thermodynamique, cas d’un système diffusif (P W (s) : Wigner Dyson) et
d’un système localisé (P P (s) : Poisson).
- 43 -

Il faut néanmoins qu’il y’ait suffisamment de niveaux en jeu pour obtenir une
distribution de Poisson. En effet, si l’on ne prend en compte que deux nombres
aléatoires (tirés uniformément), la statistique de leur écart est triangulaire. À
partir d’une cinquantaine de nombres cependant, le tri permet une belle
statistique de Poisson.
Ainsi, l’étude de la distribution P(s) permet de caractériser la localisation des
fonctions d’ondes, et donc la mobilité des électrons (en l’absence d’interaction).
Bien qu’il s’agisse d’une propriété thermodynamique (c’est-à-dire à l’équilibre),
la statistique spectrale donne ainsi, bien qu’indirectement, des informations sur
les propriétés de transport (notamment la distinction entre métal et isolant)
d’un système à une particule. En revoyant son interprétation en termes de
mobilité, il est également possible d’avoir recours à la statistique spectrale
multi-particules pour étudier les systèmes avec interaction.
III.3 Distributions des espacements d’énergie
Ainsi pour étudier le régime métallique de la transition d'Anderson, nous
pouvons nous attendre a ce que le spectre des niveaux d'énergies ait les même
propriétés statistiques que celles des matrices aléatoires appartenant a
l'ensemble EGO des matrices gaussiennes aléatoires orthogonales (Les
symétries en temps et par rapport au spin étant conservées). Pour cet
ensemble, la distribution des écarts en énergie entre des niveaux adjacents est
correctement approximée par la distribution de Wigner. La répulsion des
niveaux est traduite ici par le facteur s devant l'exponentielle équation (III.7),
ainsi P W (s=0) = 0, deux niveaux adjacents ont une probabilité nulle d'être
confondus. La distribution de Wigner P W (s) figure III.1, caractérisera donc les
systèmes dont les états seront complètement étendus. A l'opposé, le régime
isolant de la transition d'Anderson est constitué d'états localisés. Deux états
localisés, dont les énergies respectives sont proches l'une de l'autre, ne sont pas
forcement proches dans l'espace. Ainsi, il n'y a pas de corrélations entre les
différentes fonctions d'ondes et donc pas de répulsion des niveaux. Le spectre
est alors comparable à celui d'un système intégrable. On s'attend à ce que la
distribution des écarts de niveaux soit alors assimilable à la distribution de
Poisson.
- 44 -

III.4 Résultats et discussions
Dans cette section, nous exploitons les valeurs propres et les vecteurs
propres issus de la diagonalisation de l’hamiltonien d’Anderson afin de
caractériser la nature des états électroniques en présence d’un désordre
corrélé. Le premier outil utilisé dans notre étude est la densité d’états pour
différente valeurs du désordre .La mesure de la localisation peut aussi être faite
par l’étude du comportement du rapport de participation RP
N
obtenu a partir
des vecteurs propres en fonction de la taille du système N=L×L pour différentes
valeurs de désordre en centre de bande E=0 et loin du centre de bande
d’énergie E=2. Le deuxième outil utilisé dans notre étude est la distribution
P(s) des espacements d’énergie s pour un désordre faible, moyen et fort d’un
système de taille fini.
III.4.1 La densité d’état
La densité d’état est obtenue à partir des valeurs énergétiques de
l’hmiltonien d’Anderson en présence d’un désordre corrélé pour 100
échantillons de taille 40×40. Le désordre non diagonal est pris constant
tij
= 1 et w = 0 , avec le site i = ( n,
m)
. Les valeurs du désordre considérées sont 1,
2,5 et10 avec E
max
= 3.97,4.02 et 6.87 .
En introduisant la corrélation sur les sites d’énergieε i
, on constate qu’en
présence des deux types de désordres visibles figure III.2 et non visible figure
III.3 la densité d’état présente une singularité en centre de bande d’énergie E=0.
Remarquons que cette singularité est beaucoup plus pointue pour le désordre
non visible que le désordre visible ceci peut être expliqué par le faite que la
concentration des sites visibles est supérieure a celle des sites non visibles
(pour un réseau carré de taille 40×40………) et par conséquent on a une
distribution en sites non visibles différentes de celle des sites visibles par
création d’un mode de corrélation suivant la direction x et la direction y. Notons
aussi que pour un désordre fort NW=10 la singularité en E=0 persiste figure
III.3 (d).
- 45 -

(a)
4 VW=1
VW=2
0,48
(b)
3
0,40
DOS
2
DOS
0,32
0,24
0,16
1
0,08
0
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
0,00
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
E/E max
E/E max
0,40
(c)
VW=5
0,48
(d)
VW=10
0,32
0,40
DOS
0,24
DOS
0,32
0,24
0,16
0,16
0,08
0,08
0,00
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
0,00
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
E/E max
E/E max
Figure III.2 : Densité d’état pour le désordre visible. (a) VW=1, (b) VW=2,
(c) VW=5, (d) VW=10, le désordre non visible NW=0, pour la taille du système
N=40×40.
- 46 -

DOS
0,96
0,88
0,80
0,72
0,64
0,56
0,48
0,40
0,32
0,24
0,16
0,08
0,00
0,64
(a) NW=1
(b)
NW=2
DOS
0,24
0,16
0,08
0,00
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
0,56
0,48
0,40
0,32
E/E max
E/E max
DOS
0,64
0,56
0,48
0,40
0,32
0,24
0,16
0,08
0,00
0,96
(c)
NW=10
0,88
NW=5
DOS
0,80
0,72
0,64
0,56
0,48
0,40
0,32
0,24
0,16
0,08
0,00
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
(d)
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
E/E max
E/E max
Figure III.3 : Densité d’état pour le désordre non visible. (a) NW=1, (b) NW=2,
(c) NW=5, (d) NW=10, le désordre visible VW=0 pour la taille du système
N=40×40.
- 47-

On sait que pour un système bidimensionnel ordonné, la densité d’états
présente une singularité en centre de bande E=0. Dans le modèle d’Anderson
usuel, cette singularité est rapidement supprimée quand le désordre
augmente, Sur la figure III.4, nous examinons le comportement de la densité en
présence d’un désordre totale sur les sites visibles et non visibles au même
temps, on voit bien que cette singularité disparaît complètement pour
NW=VW=5 et NW=VW=10 figure III.4 (c) et (d).
0,56
(a)
NW=VW=1
0,32
(c)
NW=VW=5
0,48
0,40
0,24
DOS
0,32
DOS
0,16
0,24
0,16
0,08
0,08
0,00
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
E/E max
0,00
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
0,40
(b)
NW=VW=2
0,32
(d)
E/E max
NW=VW=10
0,32
0,24
0,24
DOS
DOS
0,16
0,16
0,08
0,08
0,00
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
0,00
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
E/E max
E/E max
Figure III.4 : Densité d’état pour le désordre total. (a) NW=VW=1,
(b) NW=VW=2, (c) NW=VW=5, (d) NW=VW=10, pour la taille du système
N=40×40.
- 48 -

Afin de mieux comparer l’effet du désordre non visible et visible, on a tracé la
densité d’état pour un désordre 2 figure III.5 (a) et un désordre 5 figure III.5
(b), on voit que le pic est plus important à l’énergie E=0 en présence d’un
désordre non visible NW=2, puis diminue pour VW=2 et diaprait quand
VW=NW=2. Pour NW=5 l’intensité du pic est moins importante.
Par conséquent, que le désordre soit visible ou non visible, la densité d’état
présente un comportement identique en centre de bande d’énergie, toute fois
pour la corrélation non visible l’intensité du pic est plus importante. Ceci a été
montré pour un désordre non diagonal par Eilmes et al [7] voir figure II.5, ainsi
que d’autres travaux [8-13].
1,2
1,0
0,8
(a)
VW=0, NW=2
VW=2, NW=0
VW=2, NW=2
N=40*40
DOS
0,6
0,4
0,2
0,0
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
E/E max
- 49 -

1,2
1,0
0,8
(b)
VW=0, NW=5
VW=5, NW=0
VW=5, NW=5
N=40*40
DOS
0,6
0,4
0,2
0,0
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
E/E max
Figure III.5 : Densité d’état pour différentes valeurs du désordre. (a) NW=2
VW=0, NW=0 VW=2 et NW= VW=2, (b) NW=0 VW=5, NW=5 VW=0 et W=VW=5,
pour la taille du système N=40×40.
III.4.2 Le rapport de participation
φ n m l’amplitude de la fonction d’onde de l’état normalisé j du site
Soit ( )
j
,
(n,m). Une simple mesure du nombre de sites qui contribuent à cette fonction
RP N
j . Il est défini par :
d’onde est le rapport de participation ( )
RP
N
( j)
=
⎡
2 ⎤
⎢∑ φ
j
( n,
m)
⎥
⎦
⎣
n,
m
∑
n,
m
φ
j
( n,
m) 4
2
(3.9)
- 50 -

φ n , m = δ
0,
δ
0,
correspondent
Donc les états complètement localisés
j
( )
n n m m
0
1
à RP N
= 1 ≈ N , pour des états étendus φ
j
( n, m) = 1 N on a RP N
≈ N .
La figure III.6 (a) et (b) montrent les variations du rapport de participation pour
tout le spectre énergétique. Les valeurs de RP pour les états voisins présentent
de grandes fluctuations ceci est du au nombre d’échantillon considéré (100
itérations), contrairement à la densité d’état le RP croit en bord de bande pour
un désordre faible et moyen de type non visible NW=1,2 (VW=0) et visible
VW=1,2 (NW=0), alors qu’en centre de bande RP décroît pour le même désordre.
Pour un désordre fort NW=5 (VW=0), VW=5 (NW=0), RP décroît en bord de
bande (cette décroissance est plus importante pour un désordre visible). Par
conséquent les états en bord de bande sont plus sensibles aux valeurs du
désordre que les états en centre de bande et sont donc moins localisés.
800
700
600
(a)
NW=1, VW=0
NW=2, VW=0
NW=5, VW=0
N=40*40
500
RP N
400
300
200
100
0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
j
- 51 -

900
800
700
600
(b)
VW=1, NW=0
VW=2, NW=0
VW=5, NW=0
N=40*40
RP N
500
400
300
200
100
0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
j
Figure III.6 : Rapport de participation en fonction des états propres j avec une
énergie croissante (0≤E j ≤E j+1 ). (a) pour le désordre non visible NW=1,2,5 avec
VW=0, (b) pour le désordre visible VW=1,2,5 avec NW=0.
Notons que les valeurs du rapport de participation RP N
ne reflètent pas
directement la localisation de l’état d’un système. On devrait plutôt voir la
dépendance de RP en fonction de N, puisque RP se comporte en :
N
RP N
κ
N
≈ (III.10)
Pour des états localisés κ = 0 alors que pour des états étendus κ = 1[7-9].
N
- 52 -

Dans la figure III.7 (a), nous montrons la dépendance de RP
N
en fonction de la
taille du système N pour un désordre NW=1,10 et VW=0 à l’énergie E=0 et E=+2
pour les tailles du système N=20×20, 30×30 et 40×40.Les valeurs de RP
N
sont
obtenues par une moyenne de différentes réalisations du désordre sur un
intervalle d’énergie ΔE = 0. 01.
Un fit linéaire donne la pente de la droite du tracé Log-Log : à E=0
κ = 0 .819 ± 0.013 pour NW=1 et κ = 0 .936 ± 0. 094 pour NW=10. Le résultat κ ≈ 1
suggère que les états au centre de bande sont délocalisés et que
1
RP N
≈ N quelque soit le degré du désordre non visible. En bords de bande à
E=+2 κ = 0 .949 ± 0. 055 pour NW=1 et κ = 0 .516 ± 0. 052 pour NW=10, ici on constate
que les états sont sensibles au degré de désordre et la pente diminue de κ ≈ 0. 9
à κ ≈ 0. 5 pour un désordre fort NW=10. Certe κ ≈ 0. 5 est loin du comportement
localisé κ = 0 mais aussi du comportement étendu κ = 1.On peut dire qu’à E=+2
il existe une transition localisation-délocalisation alors qu’à E=0 aucune
transition n’apparaît quelque soit le degré du désordre non visible. Le même
comportement est obtenu pour un désordre visible figure III.7 (b) à E=0
κ = 0 .915 ± 0.047 pour VW=1 et κ = 0 .964 ± 0. 011 pour VW=10 ; à E=+2
κ = 0 .767 ± 0.182 pour VW=1 et κ = 0 .371±
0. 267 pour VW=10.
10000
1000
(a) VW=0, NW=1, E=0
VW=0, NW=1, E=+2
VW=0, NW=10, E=0
VW=0, NW=10, E=+2
fit linéaire
log 10
RP N
100
10
500 1000 1500 2000
log 10
N
- 53 -

10000
1000
(b) NW=0, VW=1, E=0
NW=0, VW=1, E=+2
NW=0, VW=10, E=0
NW=0, VW=10, E=+2
fit linéaire
Log 10
RP N
100
10
500 1000 1500 2000
Log 10
N
Figure III.7 : Log 10
RPN
en fonction de Log 10
N en centre de bande E=0 et en
dehors du centre de bande E=+2. (a) pour le désordre non visible NW=1,10 avec
VW=0, (b) pour le désordre visible VW=1,10 avec NW=0.
Vu la limite de nos calculs à des tailles de 40×40 (temps de calcul grand pour
des tailles plus grandes), nous avons étudié le comportement de la pente pour
cette taille à E=0 et E=+2 pour différentes valeurs du désordre non visible et
visible. Sur la figure III.8 (a) et (b), on voit qu’à E=0 quelque soit le degré du
désordre la valeur de la pente ne varie pas beaucoup κ ∈ ] 0.8,1[
alors qu’à E=+2
κ ∈ 0,1 pour un désordre croissant.
] [
- 54 -

1,0
0,8
(a)
0,6
E=0
E=+2
κ
0,4
0,2
0,0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
NW
1,0
0,8
0,6
(b)
E=0
E=+2
κ
0,4
0,2
0,0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
VW
Figure III.8 : Variation de la pente κ en fonction du désordre corrélé à l’énergie
E=0,+2. (a) pour le désordre NW, (b) pour le désordre VW.
- 55 -

III.4.3 Distribution des espacements des niveaux d’énergie
On a vu aux paragraphes III.2 et III.3 que l’étude de la distribution des
niveaux d’énergie est un outil qui permet de caractériser l’état isolant ou
métallique [1,2], beaucoup de travaux [14-19] ont utilisé cet outil montrant
l’existence d’une transition d’une distribution de Wigner à une distribution de
Poisson pour un système désordonnés sans interactions et avec interactions.
Pour cela à partir des énergies propres, nous avons développé un petit
programme permettant de calculer les espacements s des niveaux d’énergie :
s = Δ Δ , avec Δ = Ei+1 − Ei
qui représente la valeur absolue de la différence
entre deux énergies successives et la valeur moyenne.
Afin de décrire le caractère isolant, on a appliqué un fit de fonction non linéaire
s
de la forme: p(
s)
= p0
+ Aexp(
− ) .
t1
• En présence d’un désordre corrélé fort VW=10 figure III.9 on trouve:
p
0
= −2.014E
− 04 ± 3.856E
− 04 ≈ 0 , A = 0.118 ± 0.003 ≠ 1, t1
= 0.860 ± 0.036 ≈ 1
• En présence d’un désordre corrélé fort NW=10 figure III.10 on trouve :
p = − .870E
− 04 ± 4.444E
− 04 ≈ 0 , A = 0.169 ± 0.004 ≠ 1, t = 0.716 ± 0.029 1
0
1
1
≈
La distribution des espacements des niveaux d’énergie s’approche d’une
Poissonienne: p( s)
≈ exp( −s)
.
Pour la description des états étendus on a utilisé un fit non linéaire de la
2
forme p(
s)
= P1 s exp( −P2
s ) .
En présence d’un désordre faible et moyen.
• Pour un désordre faible et moyen figure III.9 on a :
P
1
= 0.133
± 0.002 ≠ 1.57 , P2
= 1.410 ± 0.024 ≠ 0.785 pour VW=1
P = .135 ± 0.003 ≠ 1.57 , P = 0.786 ± 0.018 0.785 pour VW=5
1
0
2
=
• Pour un désordre faible et moyen figure III.10 on a :
P
1
= 0.188
± 0.003 ≠ 1.57 , P2
= 1.480 ± 0.025 ≠ 0.785 pour NW=1
P = .524 ± 0.001≠
1.57 , P = 1.480 ± 0.228 0.785 pour NW=5
1
0
2
≠
La distribution des espacements des niveaux d’énergie s’approche de la
π π 2
distribution de Wigner surmise: P W
( s)
≈ s exp( − s ) .
2 4
- 56 -

0,125
0,100
VW=1
VW=5
VW=10
W igner surmise
Poisson
0,075
P(s)
0,050
0,025
0,000
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
s
Figure III.9 : Distribution des espacements d’énergie pour les valeurs du
désordre visible VW=1, 5, 10 avec NW=0 et pour la taille du système N=40×40.
0,175
0,150
0,125
NW=1
NW=5
NW=10
Wigner surmise
Poisson
0,100
P(s)
0,075
0,050
0,025
0,000
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
s
Figure III.10 : Distribution des espacements d’énergie pour les valeurs du
désordre non visible NW= 1, 5, 10 avec VW=0 et pour la taille du système
N=40×40.
- 57 -

Donc p(s) présente le même comportement avec VW ou NW fort respectivement
faible et moyen. La seule différence qui existe pour les deux types de désordre
est le point de croisement entre les deux distributions, il est à s ≈ 0. 5pour VW et
s ≈ 0.75.Ce croisement a été décrit comme étant une signature d’un
changement d’état soit d’un état localisé vers un état délocalisé ou bien d’une
transition métal-isolant.
• Si le désordre est total figure III.11, p(s) tend vers une distribution de
poisson pour un désordre fort W=NW=10 on a :
P = − E − 05 ± 1.510E
− 04 ≈ 0 , A = 0.115 ± 0.001 ≠ 1, t = 1.183 ± 0.018 1.
0
5
1
≈
P(s) s’ajuste moins bien avec une distribution de Wigner surmise en présence
d’un désordre faible et moyen avec :
P
1
= 0.108
± 0.001≠
1.57 , P2
= 1.151±
0.019 ≠ 0.785 pour VW=NW=1
P = .130 ± 0.003 ≠ 1.57 , P = 0.514 ± 0.014 0.785 pour VW=NW= 5.
1
0
2
≠
0,125
0,100
VW=NW=1
VW=NW=5
VW=NW=10
Wigner surmise
Poisson
0,075
P(s)
0,050
0,025
0,000
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
s
Figure III.11 : Distribution des espacements d’énergie pour les valeurs du
désordre VW=NW= 1, 5, 10 et pour la taille du système N=40×40.
- 58 -

III.5 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons montré qu’en étudiant la densité d’états les
états en centre de bande présentent une singularité pour une corrélation visible
ou non visible diagonal ceci est en accord avec les résultats de Eilmes et al pour
un désordre non diagonal. Mais l’étude du scaling du rapport de participation
montre un comportement contraire à celui de la densité. Seuls les états en
dehors de bande présentent une transition localisation-délocalisation. Par une
étude de la distribution spectrale cette transition est retrouvée.
- 59 -

[1] B.L.Altshuler et B.I.Shklovski, Zh.Eksp.Teor.Fiz.91, 220 (1986), Sov. Phys.
JETP. 64, 127 (1986).
[2] B.I.Shklovskii, B.Shapiro, B.R.Sears, P.Lambrianides et H.B.Shore,
Phys.Rev.B47, 1487 (1993).
[3] M.L.Mehta, Random matrices, Academic Press, London (1990).
[4] C.W.J.Beenakker, Rev.Mod.Phys.69, 731 (1997).
[5] F.J.J.Dyson, Math. Phys.3, 157 (1962).
[6] C E.Porter, Statistical Theories of Spectra : Fluctuations, Academic, New
York(1965).
[7] A.Eilmes, R.A.Römer et M.Schreiber, Eur. Phys.J.B1, 29 (1998).
[8] M.Morgensterna, J.Klijna, C.Meyera, R.A.Romer, R.Wiesendanger, Physica
B329-333, 1536 (2003).
[9] Z.Ye, Phys.Lett.A319, 416 (2003).
[10] M.Hilke, Phys.Rev.Lett.22, 226403 (2003).
[11] V.Z.Cerovski, R.K.Brojen Singh et M.Schreiber, J.Phys:Conden.Matter.18,
7155 (2006).
[12] H.C.Nuñez et P.A.Schulz, Phys.Rev.B78, 235404 (2008).
[13] S.Nishino, K.S.Yakubo et H.Shima , Phys.Rev.B 79, 033105 (2009).
[14] I.KH.Zharekeshev et B.Kramer, Phys.Rev.B51, 17239 (1995).
[15] I.KH.Zharekeshev, M.Batsch et B.Kramer, Europhysics.Lett.34, 587 (1996).
[16] M.Batsch, L.Schweitzer et B.Kramer, Physica B249-251, 792 (1998).
[17] A.D.Mirlin, Physics Reports 326, 259 (2000).
[18] S.N.Evangelou et D.E.Katsanos, J.Phys.A: Math.Gen.36, 3237 (2003).
[19] S.N.Evangelou, J.Phys.A: Math.Gen.38, 363 (2005).
-60 –

IV.1 Introduction
IV.2 Formalisme de la méthode de la matrice de transfert
IV.3 Calcul de la longueur de localisation en dimension deux
IV.4 Résultats et discussion
IV.4.1 Effet du désordre
IV.4.2 Effet de taille
IV.5 Conclusion
- 61–

IV.1 Introduction
La méthode de la matrice de transfert (MMT) [1-5] est particulièrement
fructueuse, elle permet un calcul direct de la longueur de localisation et donc
de valider l'hypothèse d’échelle par une preuve numérique de l'existence d’une
fonction d'échelle.
Généralement, la longueur de localisation n'est pas calculée à partir des valeurs
propres d’un état en utilisant sa définition du chapitre 1, mais itérativement
par la MMT. Il y’a deux avantages lors de l'utilisation de cette méthode. En
premier lieu, il n'est pas nécessaire de calculer les fonctions d'onde. Puisque la
taille du système considéré est du même ordre de grandeur que la longueur de
localisation. En deuxième lieu, la précision peut être choisi avant de
commencer les calculs .Quand on utilise les valeurs propres, l'erreur sur la
longueur de localisation doit être estimée en calculant la moyenne sur un
certain nombre de valeurs propres.
Dans ce chapitre nous étudions le comportement de la longueur de localisation
pour différents paramètres tels que le désordre, la taille du système. Ceci pour
des énergies en centre de bande et en dehors du centre de bande afin de
pouvoir caractériser la nature des états soit par l’existence d’une transition
métal-isolant où d’une transition localisation-délocalisation.
IV.2 Formalisme de la méthode de la matrice de transfert
La connaissance des propriétés de localisation des états d’un système
désordonné sans interactions nécessite le calcul de l’étendu de la fonction
d’onde. Pour cela on considère une barre ou une bande quasi unidimensionnel
de larguer M et de longueur L tel que L>>M figure IV.1.
Figure IV.1 : La géométrie d’une barre en MMT.
-62 –

Comme la diagonalisation, le point de départ de la MMT est l’équation de
Schrödinger stationnaire H Ψ = EΨ
.Au chapitre 2, nous avons établie la forme
matricielle équation (II.2) de cette équation. Récrivons l’équation de Schrödinger
sous la forme suivante :
ψ = ε ψ ψ ψ ψ (IV.1)
⎪⎪
⊥
⊥
⎪⎪
t
n+ 1,
m n+
1, m
(E -
n,m
)
n,
m
− tn,
m+
1 n,
m+
1
− tn,
m
n,
m −1−
tn,
m n−1,
m
Où
ψ
n, m
est la fonction d’onde du site (n,m) , t ⊥ n , m
représente l’énergie de saut du
site (n,m) au site (n,m-1) et t ⎪⎪ n , m
représente l’énergie de saut du site (n-1,m) au
site (n,m). L’équation (IV.1) peut être écrite sous la forme matricielle suivante:
⎛ψ
n+
⎜
⎝ ψ
n
1
⎞ ⎛
⎜
⎟ =
⎠
⎜
⎝
−1
⎪⎪
⎪⎪
[ t ] ( E − ε − H ) − [ t ]
n+
1
I
n
⊥
⎞ ⎛ ψ
⎟
n
⎜
⎟
⎠ ⎝ψ
n−1
−1
⎪⎪
n+
1
tn
n
0 n 1
⎞
⎟ = T
⎠
⎛ ψ
n
⎜
⎝ψ
−
⎞
⎟
⎠
(IV.2)
T
Avec ψ n = ( ψ n, 1,
ψ n,2
,......., ψ n,
M ) est la fonction d’onde de tous les sites de la nièmes
couche, ε
n
=diag( ε
n, 1
, ε
n, 2
,…………… , ε
n, M
), H
⊥
est l’hamiltonien des éléments de
saut de la nième tranche, I et 0 sont la matrice unité et la matrice nulle ,
⎪⎪
⎪⎪
t ⎪⎪ n = diag( t n,1
,........., t n,
M ) est une matrice diagonale représentant les éléments de saut
reliant la couche (n-1) a la couche (n) et T
n
est la matrice de transfert.
L’évolution de la fonction d’onde est donnée par le produit des matrices de
transfert :
Q
L
L
= ∏ Tn
= TL
× TL−
1
× ...................
× T1
. (IV.3)
n=
1
Selon le théorème d’Oseledec [6], on a l’existence de la limite de la matrice
Γ définie par :
-63 –

L→
1
t 2L
Q Q ) L L
Γ = lim(
(IV.4)
∞
En introduisant les valeurs propres { e }
γ i
{ u i
} de la matrice symétrique Γ on obtient :
et les vecteurs propres normalisés
1
t t 2L
γ i
lim ( u QLQLui
) = e
(IV.5)
L→∞
i
Ou bien
γ iL
lim Q L
ui
= e
(IV.6)
L→∞
Puisque Γ est symplectique, ses valeurs propres apparaissent par paires de
signe opposé. Les exposants de Lyapunov correspondants { ± γ ; i = 1,M
2
i
}
déterminent la croissance ou la décroissance exponentielle de la fonction d’onde
sur des longues distances. La longueur de localisation caractérise l’extension la
plus large possible d’un état et par conséquent elle est définie par l’inverse du
plus petit exposant de Lyapunov positifγ min
.
1
λ = (IV.7)
γ
min
À partir de l’équation (IV.6), on peut obtenir l’expression de l’exposant de
Lyapunov :
-64–

1
γ
i
= lim ln QLui
(IV.8)
L L→∞
Les vecteurs propres u i
de Γ sont aussi vecteurs propres de
Q L
et jusqu'à
présent inconnues. Par itération de l’équation (IV.8) avec un vecteur initial
0
0
arbitraire u au lieu deu i
. La composante de u a l’exposant de Lyapunov le plus
grande a la plus grande variation et l’équation (4.8) converge versγ max
.
Pour obtenirγ min
, on commence avec une matrice unité d’un vecteur initial A
1
.
0
A est la matrice zéro, donc { u } ⎟
0
vecteurs { ~ 0} { Q
0 }
u = perdront leur orthogonalité.
i Lu i
i
⎛ I ⎞
= ⎜ . Durant l’itération de l’équation (IV.8) les
⎝ 0 ⎠
En utilisant la méthode de Gram-Schmidt les vecteurs sont reorthonormalisés
après n
M
multiplications.
m m m m
( u~
+ 1
, u~
) u~
+ ⎞
⎟ u
m+
1 ⎛ m
1
u ~
i
= ⎜ u~
i
−
⎝
⎠
i−1
∑ n i n
i
(IV.9)
n=
1
Tout en répétant cette procédure, avec n M
multiplications des matrices de
transfert et faire après une reorthonormalisation, le premier vecteur u m
1
vers le
vecteur propre correspondant àγ
max
, le deuxième vecteur u m
2
vers le vecteur
propre du second grand exposantγ , a la fin, le dernier vecteur s’approche du
vecteur propre deγ
min
. De cette façon tous les vecteurs propres sont obtenus.
L’introduction de l’étape de la reorthonormalisation aussi le problème
numérique des over flow qui pourrait se produire durant l’itération de la
0
croissance exponentielle de u . Mais maintenant l’équation (IV.8) n’est pas
Q
L
i
m
directement applicable. Avec l’hypothèse que les vecteurs ui
ont convergé vers
les vecteurs propres u i
et que leurs directions ne changent plus durant
m m
l’itération, on peut utiliser la norme b
i
u~
2
=
i
de l’étape m de la
reorthonormalisation et on obtient :
-65 –

γ =
i
1
lim
n
ο
∑
L nο
→∞
m=
1
ln b
m
i
(IV.10)
Ou nο
est le nombre de reorthonormalisation et L = n ο
× nM
. Pour avoir les valeurs
exactes deγ i
, on doit avoir L → ∞ . Heureusement, l’équation (IV.10) donne une
bonne approximation desγ i
même si L est fini [7] avec une erreur relative :
nο
m 2
∑(ln
bi
)
i m=
1 1
−
n
2
ο
i ⎛
n
m
⎞ ο
⎜∑ln
bi
⎟
m=
1
σ ( γ )
=
γ
⎝
⎠
(IV.11)
L’erreur relative de λ et γ
min
(IV.7).
est la même du faite qu’ils sont reliés par l’équation
Notons que pour des largeurs de bande M grande, n M
doit être grand le plus
possible. Il est automatiquement ajuste durant les calculs par comparaison du
vecteur ui
tendant vers γ min
avant et après la reorthonormalisation. Si la norme
est supérieure à une certaine valeur rmax
définie par la précision de la machine,
n
M
est réduit de 1. Il croit de 1, si la norme est inférieure à r
min
[8].
Généralement, nM
converge rapidement vers une valeur comprise entre 5 et 30,
ou 30 est la limite supérieure fixée dans le programme. Ensuite, elle fluctue
légèrement. Par conséquent l’équation (IV.11) est toujours une bonne
n ο
i
approximation l’erreur, L devient ∑ n M
dans l’équation (IV.10).
i=
1
-66 –

IV.3 Calcul de la longueur de localisation en dimension deux
L’algorithme pour le calcul de λ comporte les étapes suivantes :
0- Initialiser les vecteurs de départ { u
0 i
}
m n m
1- Effectuer nM
multiplications de matrices de transfert { u~ M
i
} = T { ui
}
m m
2- Stocker b = u~
et reorthonormaliser { ~ m
u } → { u
+1 }
i
i
σ ( λ)
3- Calculer et approximer λ et l’erreur
λ
4- Ajuster n
M
5- Continuer avec l’etape1 si la précision voulue n’est pas atteinte
La figure IV.2 montre l’évolution de γ min
et son erreur relative durant les
itérations [2,9].
i
m i
Figure IV.2 : Comportement typique de γ
min
d’itération [2 ,9].
σ
min
et
( γγ )
min
durant le processus
-67–

IV.4 Résultats et discussion
Comme nous l’avons déjà indiqué, la MMT détermine la longueur de
localisation λ(M
) dans de très longues barres (L>>M) de section M×M. Dans de
tels systèmes quasi unidimensionnel, tous les états sont localisés et λ (M ) sera
également fini en régime métallique. Par conséquent la longueur de localisation
elle-même ne distingue pas le système infini (M→∞) s’il est métallique ou
isolant. Au lieu de cela, il faut étudier la dépendance de la longueur de
localisation réduite Λ
M
= λ( M , W ) M en fonction de la largeur M. Pour un
régime isolant, la longueur de localisation réduite Λ M
croit avec M et λ reste
finie à la limite thermodynamique. D’autre part la longueur de localisation
réduite Λ
M
croit pour les états étendus. A la transition métal isolant TMI la
longueur de localisation réduite est constante. Donc il est possible de
déterminer le désordre critique en traçant λM ( W ) M en fonction de M. Par
équivalence, on peut tracer λM ( W ) M en fonction du désordre pour plusieurs
valeurs de M. Quand M augmente la longueur de localisation réduite croit pour
un faible désordre W (états étendus) et décroît pour un désordre W fort (états
localisés). Le désordre critique est défini par un point fixe au quel la
dépendance en fonction de M change de signe et la longueur de localisation
réduite est constante.
IV.4.1 Effet du désordre
En appliquant la MMT à notre système isotrope et en considérant une
corrélation des énergies ε i
des sites, l’énergie de saut d’un site à un autre est
constante t = 1 (c=1 et w=0). Le nombre d’échantillon réalisé est 50000, le
ij
nombre d’orthonormalisation est 10 et une précision de 1%.
La figure IV.3 respectivement la figure IV.4 montre le comportement de la
longueur de localisation λ en fonction du désordre non visible NW à l’énergie
E=0 respectivement à l’énergie E=+2.
La longueur de localisation ne présente aucun comportement critique quelque
soit le degré du désordre ou la taille de la barre M, sauf qu’aux faibles
désordres NW ≤ 1 les valeurs de λ sont supérieures à la taille de la barre. Pour
un désordre 0.2
≤ NW ≤ 10 , la longueur de localisation décroît exponentiellement
en fonction du désordre et ses valeurs sont inférieures à la largeur de la barre
caractérisant les états localisés.
-68 –

Le même comportement est observé pour un désordre visible VW figure IV.5 et
figure IV.6. On remarque que dans les deux cas du désordre non visible et
visible à l’énergie E=0, la longueur de localisation λ ≅ M . Par contre à l’énergie
E=+2, la longueur de localisation λ >> M ( λ = 4. 5× M ).
λ
160 M=140
M=120
140
M=100
M=80
120
M=60
M=40
100
M=20
M=10
80
VW=0, E=0
60
40
20
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
NW
Figure IV.3 : Longueur de localisation λ en fonction du désordre NW à l’énergie
E=0 avec VW=0 pour différentes largeurs M (M=10,20,…..140).
-69 –

λ
600
500
400
300
M=140
M=120
M=100
M=80
M=60
M=40
M=20
M=10
VW=0, E=+2
200
100
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
NW
Figure IV.4 : Longueur de localisation λ en fonction du désordre NW à l’énergie
E=+2 avec VW=0 pour différentes largeurs M (M=10,20,…..140).
λ
180 M=140
M=120
160
M=100
M=80
140
M=60
120
M=40
M=20
100
M=10
NW=0, E=0
80
60
40
20
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
VW
Figure IV.5 : Longueur de localisation λ en fonction du désordre VW à l’énergie
E=0 avec NW=0 pour différentes largeurs M (M=10,20,....140).
-70 –

λ
600
500
400
300
M=140
M=120
M=100
M=80
M=60
M=40
M=20
M=10
NW=0, E=+2
200
100
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
VW
Figure IV.6 : Longueur de localisation λ en fonction du désordre VW à l’énergie
E=+2 avec NW=0 pour différentes largeurs M (M=10,20,…..140).
IV.4.2 Effet de taille
Un calcul direct de la longueur de localisation par la MMT, pour un système
quasi 1D de largeur M et de longueur L ( L ≈ 10000)
nous a permis d’étudier le
λ( M )
comportement de la longueur de localisation réduite M
en fonction de la
largeur M pour différentes valeurs du désordre diagonal VW et NW ∈ [0.2,10] à
l’énergie E=0,+2. En présence d’un désordre non visible NW à E=0, on
λ(M )
remarque sur la figure IV.7 que décroît quand M croit, ce comportement
M
λ(
M )
caractérise les états localisés, on remarque aussi que ≈ 1 pour NW=0.5 et
M
λ(
M )
NW∈[1,10] et > 1 pour un désordre faible NW=0.2.
M
Ce comportement a été montré par S.J Xiong et al [10] pour les états
électroniques d’un réseau de graphène à 2D figure IV-8 pour un désordre
purement diagonal à E=0 voir figure IV.9. Le même résultat a été trouvé par en
1992 par M.Schreiber et al [11] voir figure IV.9 pour un réseau en nid d’abeille
et un réseau triangulaire.
-71 –

λ/Μ
10
1
NW=0.2
NW=0.5
NW=1
NW=2
NW=3
NW=4
NW=5
NW=6
NW=7
NW=8
NW=9
NW=10
VW=0,E=0
0,1
10 100
M
Figure IV.7 : Longueur de localisation réduite M
λ en fonction de la largeur de la
barre M (M=10,20, …150) à l’énergie E=0 avec VW=0 pour différentes valeurs
du désordre non visible NW.
-72 –

Figure IV.8 : Longueur de localisation réduite M
λ en présence d’un désordre
diagonal. (a) M
λ en fonction de M à E=0 pour différents degrés de désordre W,
(b) M
λ en fonction de M pour W=2 et différentes valeurs d’énergie [10].
Figure IV.9 : Structure d’un réseau de graphène.
-73 –

λM
Figure IV.10 : Longueur de localisation réduite M
en fonction de la largueur M
en centre de bande E=0 pour différentes valeurs du désordre W d’un réseau en
nid d’abeille et d’un réseau triangulaire [11].
A l’énergie E=+2 et en présence d’un désordre diagonal NW, on a toujours une
λ( M )
λ(
M )
décroissance de quand M croit figure IV.11 mais > 1pour
M M
λ(
M )
NW=0.2,0.5,1,2 particulièrement pour NW=0.2 ≈ 10 . Donc le fait que la
M
longueur de localisation devient supérieure à la largeur du système peut être
considéré comme une délocalisation ou une faible localisations des états
électroniques.
-74 –

λ/Μ
10
1
NW=0.2
NW=0.5
NW=1
NW=2
NW=3
NW=4
NW=5
NW=6
NW=7
NW=8
NW=9
NW=10
VW=0,E=+2
0,1
10 100
M
Figure IV.11 : Longueur de localisation réduite M
λ en fonction de la largeur de
la barre M (M=10,20, …150) à l’énergie E=+2 avec VW=0 pour différentes
valeurs du désordre non visible NW.
Sur la figure IV.12 et la figure IV.13, on voit que la longueur de localisation
réduite en présence d’un désordre VW décroît quand M augmente à E=0 et
λ(
M )
E=+2. Avec ≥ 1 pour VW=0.2,0.5,1,2 à E=+2 ce qui montre aussi que pour
M
un désordre visible, on a l’existence d’une délocalisation. Les résultats trouvés
impliquent que les états en centre de bande sont plus localisés que les états en
dehors du centre par l’introduction d’un désordre corrélé contrairement à ce
qui a été trouvé par Eilmes et al [12] qu’en présence d’un désordre non diagonal
les états en centre de bande présentent un comportement critique qui disparaît
en présence d’un désordre diagonal tés très faible. Par conséquent le modèle
du désordre considéré dans notre étude favorise une délocalisation en dehors
du centre de bande , ce qui a été montré au chapitre III par l’étude du rapport
de participation et la statistique des espacements des niveaux d’énergie.
-75 –

λ/Μ
1
0,1
VW=0.2
VW=0.5
VW=1
VW=2
VW=3
VW=4
VW=5
VW=6
VW=7
VW=8
VW=9
VW=10
NW=0,E=0
0,01
M
Figure IV.12 : Longueur de localisation réduite M
λ en fonction de la largeur de
la barre M (M=10,20, …150) à l’énergie E=0 avec NW=0 pour différentes valeurs
du désordre visible VW.
λ/Μ
10
1
0,1
VW=0.2
VW=0.5
VW=1
VW=2
VW=3
VW=4
VW=5
VW=6
VW=7
VW=8
VW=9
VW=10
NW=0,E=+2
0,01
10 100
M
Figure IV.13: Longueur de localisation réduite M
λ en fonction de la largeur de la
barre M (M=10,20, …150) à l’énergie E=+2 avec NW=0 pour différentes valeurs
du désordre visible VW.
-76 –

IV.5 Conclusion
A partir du calcul de la longueur de localisation par la technique de la MMT
, nous avons trouvé que les états en centre de bande sont localisés en présence
d’un désordre diagonal corrélé, ce qui est en accord avec la théorie d’échelle
pour un système 2D. Cependant loin de l’énergie nulle, les états sont
considérés comme faiblement localisés ou bien délocalisés. Cette délocalisation
est inconsistante avec la théorie d’échelle, et existe seulement à l’énergie E=+2
pour la corrélation utilisée dans notre étude. La non existence d’une limite
λ(M )
caractérisée par le fait que ne dépend pas de M qui est le point de
M
séparation de deux régions états étendus et localisés montre qu’il n’ y’a pas de
transition métal-isolant dans les systèmes 2D comme elle existe dans les
systèmes à 3D figure II.11 (b).
-77 –

[1] B.Kramer et A.Mackinnon, Rep.Prog.Phys.56, 1469 (1993)
[2] A. MacKinnon et B. Kramer, Z. Phys. B 53, 1 (1983).
[3] A. MacKinnon et B. Kramer,Phys.Rev.Lett.47, 1546 (1981)
[4] J.L. Pichard et G. Sarma, J. Phys. C 14, L217 (1981).
[5] J.L. Pichard et G. Sarma, J.Phys.C: Solide State Physics.14, L617 (1981).
[6] V.I.Oseledec, Trans.Moscow Math.Soc.19, 197 (1968).
[7] G.Benettin, L.Galgani, A.Giorgilli et J.M.Strelcyn, Part1: theory, Mecanica
15, 9 (1980).
[8] O.Halfpap, Interaction induced delocalization of electrons in disordered
systems, Thèse de Doctorat, Université de Hamburg (1996).
[9] M.Schreiber, NATO ASI Series B: Physics, vol.258, Plenum, New York (1991)
[10] S.J.Xiong et Y.Xiong, Arxiv : 0801.0027v1,cond-mat.dis-nn (29 dec2007).
[11] M.Schreiber et M.Ottomeier, J.Phys : condens.Matter4, 1959(1992).
[12] A.Eilmes et R.A Römer, Phys.Stat.Sol. (b)241, 9, 2079 (2004).
-78 –

Dans cette thèse, nous avons utilisé le modèle d’Anderson pour étudier
l’effet du désordre corrélé sur la nature des états électroniques dans un
système bidimensionnel sans interactions. Deux méthodes sont utilisées : la
diagonalisation directe de l’hamiltonien d’Anderson et la méthode de la matrice
de transfert (MMT).
Dans un premier lieu, nous nous sommes intéressés aux valeurs propres
et aux vecteurs propres de l’hamiltonien, ce qui nous a permis de voir le
comportement de la densité d’état (DOS), le rapport de participation (RP) ainsi
que la distribution des espacements des niveaux d’énergie (DEE).
Nous avons trouvé que la densité d’état présente une singularité en centre de
bande d’énergie pour un désordre purement diagonale de type visible et non
visible, particulièrement cette singularité est plus importante pour un désordre
non visible et disparaît quand le désordre augmente pouvant ainsi être un signe
d’une transition localisation-délocalisation. Ceci est en accord avec les résultats
trouvés par Eilmes et al pour un système 2D avec un désordre purement non
diagonale ou purement diagonale.
Sachant que le rapport de participation RP mesure le nombre de sites qui
contribuent à la fonction d’onde, particulièrement le scaling du rapport de
participation est un outil permettant de vérifier la nature des états à différentes
κ
valeurs de l’énergie ( RP N
≈ N avec κ = 0 pour des états localisés et κ = 1pour des
états étendus), nos résultats suggèrent l’existence d’états étendus à E=+2 avec
une pente κ → 1 et l’existence d’états localisés en centre de bande E=0
avecκ
→ 0. Donc les états à E=0 n’ont pas un comportement similaire que l’état
critique à la transition métal isolant (TMI). Cependant la pente non nulle pour
E=+2 peut être due à l’effet de taille finie et la courbe de RP deviendrait plate
pour des tailles plus grandes.
L’étude de la distribution des espacements des niveaux d’énergies nous a
aussi permis de montrer qu’en présence des deux types du désordre visible et
non visible , la distribution P(s) passe d’une Wigner surmise (caractéristiques
d’un régime métallique) à faible désordre à une Poissonienne (caractéristique
d’un régime isolant) à désordre fort. Notons que plusieurs travaux ont montré
l’existence de cette transition métal isolant.
Dans un deuxième lieu, nous avons utilisés la méthode de la matrice de
transfert qui est un outil plus puissant pour caractériser la nature des états,
permettant ainsi le calcul d’un paramètre très important qui est l’exposant de
Lyapunov γ mesurant par son inverse la longueur de localisation λ qui
comparée à la taille du système permet de savoir si l’état est localisé ou étendu.
- 79 -

Pour cela nous avons examiné l’effet du désordre de la taille sur la
longueur de la localisation.
Nous avons trouvé que la longueur de localisation décroît en puissance
ou exponentiellement en fonction des deux types de désordre pour différentes
tailles du système. Le calcul de la longueur de localisation réduite M
λ , nous a
permis de voir que celle-ci est de l’ordre de 10 pour E=+2 alors que pour E=0
λ
≈ 1 à faible valeur de désordre VW et NW. Mais la décroissance de la
M
longueur de localisation réduite quand la taille du système augmente quelque
soit le degré du désordre prouve la non existence d’une transition métal-isolant
comme dans les systèmes 3D.
Il est utile d’étudier les distributions de l’exposant de Lyapunov et de la
conductance dans les systèmes 2D en présence d’un désordre corrélé.
De plus, on peut aussi tenir compte des interactions et voir leur effet sur
la transition métal-isolant à 2D.
- 80 -

Communications:
1. Conférence internationale sur la physique et ses applications. CIPA’2003 8-10
décembre 2003 USTOM.B Oran Algérie. « Etude de la transition métal Isolant
dans les matériaux bidimensionnels avec désordre corrélé ».
2. Sixièmes journées maghrébines des sciences des matériaux. JMSM’2004 8-10 Mai
2004 Es-senia Oran Algérie. « Etude de la localisation dans les systèmes
bidimensionnels en présence d’un désordre corrélé ».
3. 2 ème work shop du L.E.P.M département de physique 16 Février 2005 U.S.T.O.M.B
Oran Algérie. « Etude de l’effet d’un désordre corrélé sur la nature des états des
systèmes 2D ».
4. Conférence internationale sur l’ingénierie de l’électronique.CIIE’28-29 Mai 2006
U.S.T.O.M.B Oran Algérie. « Evaluation de la longueur de localisation dans les
systèmes bidimensionnels en présence d’un désordre corrélé ».
5. 1 er congrès international sur la basse dimensionnalité et la nanotechnologie.
BDNT1’1-3 Novembre 2006 El Jadida Maroc. « Effects of correlated disorder on
localization in two dimensional systems ».
6. Conférence internationale sur la physique et ses applications. CIPA’2007 2-4
décembre 2007 USTOM.B Oran Algérie. « Calcul des niveaux d’énergies dans les
systèmes 2D avec désordre corrélé ».
Publications:
1. A.Djeraba, K.Senouci, N.Zekri, Physica B 405, 1558-1561(2010), « Localizationdelocalization
transition in two-dimensional system with correlated disorder
».
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