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En dimension un, cela revient à considérer un potentiel du type de celui décrit sur la figure II.3 (a). L’énergie de chaque site prend une valeur comprise entre − W 2 et + W 2 , avec une distribution de probabilité uniforme dans cet intervalle d’énergie. W est alors une mesure du désordre dans ce système. V est l’intégrale de recouvrement entre les états sur sites plus proches voisins. La question d’Anderson est de savoir si les états électroniques du système sont délocalisés sur tout le système, ou si les états ont une extension finie dans l’espace. Un état délocalisé est décrit par la superposition d’un nombre infini d’états sur sites avec des poids équivalents, alors qu’un état localisé est décrit par la superposition d’états sur sites avec des poids décroissant exponentiellement avec la distance par rapport à un site. Si tous les états électroniques d’un système sont localisés, alors la conductivité du système à température nulle est nulle. Anderson a montré que le paramètre critique est le rapport W V . Pour une valeur suffisamment élevée de W V , tous les états sont localisés. Lorsque ce rapport passe en dessous d’une valeur critiqueW c V , des états délocalisés commencent à apparaître en milieu de bande. Pour une valeur faible deW V , la région des états délocalisés devient large, recouvrant quasiment toute la bande figure II.3 (b). Etats délocalisés Etats localisés (a (b Figure II.3 : (a) Puits de potentiel dans le modèle d’Anderson, (b) densité d’état dans le modèle d’Anderson. - 27 -
Nous avons vu au chapitre I que la localisation d’Anderson est le résultat d’effets d’interférence quantique. Cette localisation forte génère un comportement d’isolant. Dans le modèle d’Anderson a une dimension, il n’existe pas d’état métallique, la localisation existe toujours quel que soit le degré de désordre. En dimension deux, la localisation existe toujours mais la longueur de localisation décroît exponentiellement avec le désordre [9]. En dimension trois, il existe une transition de phase entre état localise et délocalisé. Cette transition d’Anderson fait partie d’une classe de transitions de phase continues dites transitions de phase quantiques car leur comportement critique est gouverné non pas par des fluctuations d’origine thermique mais par des fluctuations quantiques [27]. Dans cette classe de transitions de phase, il existe une catégorie qui regroupe les transitions d’origine purement électronique : Les transitions de Mott induites par les corrélations électroniques et les transitions d’Anderson induites par le désordre. La transition d’Anderson est une transition dite continue ou de second ordre comme la transition superfluide ou la condensation de Bose Einstein [28]. Ce type de transition est caractérisé par la divergence d’une longueur caractéristique sous la forme : λ ≈ Λ − ) −ν ( g g c (II.8) Où λ est la longueur de localisation, ν est l’exposant critique, Λ la longueur caractéristique du système (par exemple le pas du réseau) et g c le paramètre critique de la transition (par exemple le degré de désordre). L’équation de Schrödinger (II.4) peut être écrite sous la forme récursive suivante : Φ i E ε (II.9) + 1 = ( − i ) Φ i − Φ i−1 Où Φ i est la fonction d’onde du ième site atomique, pouvant s’écrire sous la forme matricielle suivante : Φ + 1 i 1 ⎛ i ⎜ ⎝ Φ ⎞ ⎛E - ε i -1⎞ ⎛ Φ i ⎞ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝Φ i- ⎠ (II.10) ⎛ Φ i ⎞ = T i ⎜ ⎟ ⎝Φ i-1 ⎠ (II.11) i T est la matrice de transfert. Par conséquent la fonction d’onde pour le système désordonné de taille L, peut être généré en répétant l’application de la matrice de transfert : - 28 -
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IV.5 Conclusion A partir du calcul
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