Exercices 2011 - STAT

c) Trouver Cov(X, Y ) et confirmer la réponse précédente à propos du signe de la corrélation.
d) Calculer la probabilité P(X < 0|X < Y ).
Exercice 80 Soit X une variable aléatoire distribuée uniformément dans l’intervalle ]0; 1[, i.e. : X prend
ses valeurs dans ]0; 1[ et P {α < X < β} = β − α, si 0 ≤ α < β ≤ 1.
a) On pose Y = lnX. Calculer l’espérance de Y et la variance de Y .
b) Si X 1 , ..., X 100 sont 100 variables indépendantes de même loi que X et si Z = X 1 X 2 ...X 100 , donner
une approximation de P {Z < 10 −40 } .
Exercice 81 Soit X une variable normale centrée réduite et Y = e X (on dit que Y est une variable
lognormale).
a) Calculer la moyenne et la variance de Y .
b) Quelle est la densité de Y
Exercice 82 Un représentant se présente dans les 1000 appartements d’une cité. La probabilité que ce
représentant place un contrat dans un appartement quelconque est estimée à 0,04. Ces événements étant
supposés indépendants, quelle est la probabilité pour qu’il place plus de 30 contrats
Exercice 83 Un livre de 350 pages contient 450 erreurs d’impression réparties au hasard. Calculer de
deux façons différentes la probabilité pour qu’il y ait au moins trois erreurs dans une page déterminée.
Exercice 84 On tire sans remise 5 boules dans une urne contenant 600 boules blanches et 400 noires.
Donner la valeur exacte de la probabilité que 3 des 5 boules tirées soient noires. Donner une valeur
approchée en utilisant l’approximation binomiale.
Exercice 85 Un professeur sait par expérience que la note de test d’un étudiant se présentant à un
examen final est une variable aléatoire d’espérance 75.
a) Donner une borne supérieure à la probabilité que la note de test d’un étudiant dépasse 85.
Supposons maintenant que le professeur sache en plus que la variance de la note de test d’un étudiant
est 25.
b) Que peut-on dire de la probabilité qu’un étudiant obtienne une note comprise entre 65 et 85
c) Combien faudrait-il qu’il se présente d’étudiants à cet examen pour assurer, avec une probabilité d’au
moins 0,9, que la moyenne de la classe soit de 75 plus ou moins 5 Ne pas utiliser le théorème
central limite.
d) Utiliser le théorème central limite pour résoudre la partie c).
Exercice 86 On arrondit 50 nombres à l’entier le plus proche et on effectue la somme. Si les erreurs
d’arrondi individuelles sont distribuées uniformément sur (−0, 5, 0, 5), quelle est la probabilité que la
somme obtenue ait un écart de plus de 3 par rapport à la somme exacte
Exercice 87 On a 100 ampoules dont les durées de vie sont des variables aléatoires indépendantes
exponentielles de moyenne 5 heures. Si l’on allume une ampoule à la fois et que chaque ampoule grillée
est instantanément remplacée par une neuve, qu’elle est la probabilité qu’il reste encore au moins une
ampoule intacte après 525 heures
Exercice 88 Quelle est la probabilité qu’un dé honnête jeté 120 fois produise moins de 16 fois le nombre
six
Exercice 89 Loi faible des grands nombres pour le processus de Poisson.
Montrer que si (N t ) t≥0 est un processus de Poisson de paramètre λ alors:
P {| N t
t
− λ| > ǫ} −→ t→∞ 0.
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