Exercices 2011 - STAT

..., de (n −k +1)/(n −k) au (k −1) essai. Enfin, il faut que la bonne clé soit choisie au kième essai,
ce qui correspond à une probabilité de 1/(n − k + 1). La probabilité que la porte ouvre après le
kième essai est donc égale à
n − 1
n × n − 2
n − 1 × ...n − k + 1 1
×
n − k n − k + 1 = 1 n .
b) A chaque essai, la probabilité de choisir la bonne clé est de 1/n. Le nombre d’essais nécessaires suit
donc une loi géométrique de paramètre 1/n. La probabilité que la porte ouvre ap`res le kième essai
vaut
( ) k
1 n − 1
.
n n
Corrigé 107 Soit X le nombre d’échantillons à prélever. On introduit un ordre fictif en numérotant
les échantillons prélevés. L’expérience consiste alors à examiner les échantillons les uns après les autres
jusqu’à en trouver 5 qui conviennent. X suit donc une loi négative binomiale de paramètres n = 5 et
p = 0.8. Le calcul donne P(X = 9) = 0.98 et P(X = 10) = 0.998 donc il faut prélever au minimum 10
échantillons.
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