Exercices 2011 - STAT

Corrigé 65 Soit P l’événement “la pièce acheté est pirate” et O l’événement “la pièce acheté est originale”.
On a alors
On en déduit que
π(t) = P(P|T > t) =
=
=
P(T > t|P)P(P)
P(T > t)
1
4 e−5t
1
4 e−5t + 3 4 e−2t
1
1 + 3e 3t
lim π(t) = lim P(P|T > t) = 0
t→∞ t→∞
Corrigé 66 a) Soit I A le temps quand le coiffeur A a commencé a couper le cheveux du premier client.
On sait que I A est une variable aléatoire uniforme dans l’intervalle [−30, 0]. Alors,
{
x/30 si x ∈ [0, 30]
P(I A > −x) =
0 si x /∈ [0, 30]
Soit F A le temps quand le coiffeur A est libre pour s’occuper du client suivant. Étant donné que
chaque coupe dure 30 minutes, on a que
F A − I A = 30
Alors, la probabilité que, t minutes après que le client B soit entré, le coiffeur A soit encore occupé
avec le même client est
⎧
⎨ 1 si t ≤ 0
30−t
P(F A > t) = P(30 + I A > t) = P(I A > t − 30) =
⎩
30
si 0 < t < 30
0 si t ≥ 30
b) Soient A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 et A 6 les coiffeurs. Soient F i le temps quand le coiffeur A i est libre pour
s’occuper du client suivant, où 1 ≤ i ≤ 6. Le temps d’attente du client qui vient d’arriver est la
variable aléatoire T définie par
T := min
π∈P max{F π 1
, F π2 , F π3 , F π4 }
où P est l’ensemble de possibles permutations des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 (par exemple, π 1 = 2, π 2 =
4, π 3 = 3, π 4 = 6, π 5 = 1 et π 6 = 5 est une permutation qui appartient à P). Alors, la fonction
répartition de T est donnée pour 0 ≤ t ≤ 30 par
P(T ≤ t) = P(T 1 ≤ t, T 2 ≤ t, T 3 ≤ t, T 4 ≤ t, T 5 ≤ t, T 6 ≤ t)
+ C 1 6 P(T 1 ≤ t, T 2 ≤ t, T 3 ≤ t, T 4 ≤ t, T 5 ≤ t, T 6 > t)
+ C6 2 P(T 1 ≤ t, T 2 ≤ t, T 3 ≤ t, T 4 ≤ t, T 5 > t, T 6 > t)
( ) 6 ( ) 5 ( ) 4 ( t t 30 − t t 30 − t
= + 6 + 15
30 30 30 30 30
Remarquons que P(T ≤ t) = 0 si t ≤ 0 et P(T ≤ t) = 1 si t ≥ 30.
c) De la formule E(T) = ∫ 30
0
P(T > t)dt on obtient,
E(T) = 30 − 30 ( 30
7 − 6 6 − 30 ) ( ) 30 30
− 15 − 10 +
7 5 7
= 30 − 90
7
≈ 17.14
) 2
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