Exercices 2011 - STAT

Corrigé 69 Tout d’abord remarquons que
Mais P(X 1 ≥ t) = e −tλ . D’où
P(min(X 1 , . . .,X n ) ≥ t) = P(X 1 ≥ t, . . . , X n ≥ t) = P(X 1 ≥ t) n
P(min(X 1 , . . . , X n ) ≥ t) = e −tnλ
On en déduit que min(X 1 , . . .,X n ) est une variable aléatoire exponentielle de paramètre λn.
Corrigé 70 On regarde pour y ∈ R
P(Y ≤ y) =
∫ y
−∞
f Y (z)dz. (1)
Du fait que la fonction logarithme soit inversible (elle est strictemement croissante), on peut écrire
P(Y ≤ y) = P(log X ≤ y) = P(X ≤ exp(y)) =
On fait le changement de variable z = log x et on obtient
P(Y ≤ y) =
et on s’aperçoit en regardant (1) et (2) que
∫ y
−∞
∫ exp(y)
0
exp(−x)dx.
exp(z)exp(− exp(z))dz, (2)
f Y (z) = exp{z − exp(z)}.
Corrigé 71 D’abord on observe que f Z (z) = 0 pour z < 0. Pour z ≥ 0 on écrit
∫ z
f Z (r)dr = P( √ ∫
X 2 + Y 2 1
≤ z) =
( √ 2π) exp 2 (−x2 /2)exp (−y 2 /2)dxdy,
0
{(x,y): √ x 2 +y 2 ≤z}
où, pour la derniére égalité, on a utilisé le fait que X et Y sont indépendantes. Si on utilise les coordonées
polaires (r = √ x 2 + y 2 , tanθ = y/x) on obtient
∫ z
0
f Z (r)dr =
∫ z
0
r exp(−r 2 /2)dr.
Donc f Z (z) = z exp(−z 2 /2) pour z ≥ 0. La fonction de répartition est
si z ≥ 0 et P(Z ≤ z) = 0 si z < 0.
P(Z ≤ z) = 1 − exp(−z 2 /2),
Corrigé 72 Tout d’abord nous calculerons la loi de Y . C’est-à-dire,
P(Y ≥ x) = P(X ≥ lnx) = √ 1 ∫ ∞
e − y2 2 dy
2π
=
∫
1 ∞
√
2π
x
(ln y)2
− 1
e 2
y dy
où dans la dernière égalité on a fait le changement de variable y → lny ′ . On en déduit que la densité de
la loi de Y est
{
(ln y)2
√1
− 1
f(y) = 2π
e 2
y
si y ≥ 0
0 si y < 0
Corrigé 73 a) Soit f(x) la densité de X et f(y) la densité de Y . Remarquons que
∫ ∞
f(y) = f(x, y)dx = xe−x(1+y)
∞ ∣ −(1 + y) ∣ + e−x(1+y) ∣∣∣
∞
1
−(1 + y) 2 =
(1 + y) 2
0
On en déduit que Y a une loi donnée par P(Y < a) = a
1+a
. D’autre part,
f(x) =
∫ ∞
0
0
ln x
f(x, y)dy = e −x
On en déduit que X est une variable aléatoire exponentielle de paramètre 1. X et Y ne sont pas
indépendantes parce que f(x, y) ≠ f(x)f(y).
0
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