Exercices 2011 - STAT

Où on a employé le fait que pour tout x ∈ R d , lim n→∞
(
1 +
x
n) n
= e x . Mais,
Alors,
lim
n→∞
n! 1
(n − k)! n k = 1
lim P(Y n = k) = e −λλk
n→∞ k!
Corrigé 91 a) Soient X 1 , X 2 , . . . , X n des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées.
Supposons que E(X 1 ) = 0 et que E(X 2 1) = 1. Alors,
X 1 + X 2 + · · ·X n
√ n
converge en distribution vers une variable alétoire gaussienne centrée réduite.
b) Soit X le nombre de faces obtenus. X est égal à la somme de 500 variables aléatoires indépendentes
de Bernoulli de paramètre 1/2. X est donc une v.a. binomiale de paramètres n = 500 et p = 1/2.
Son espérance et sa variance valent donc
m := E(X) = np = 500 · 1
2 = 250
et
σ 2 := V ar(X) = np(1 − p) = 500 · 1
2 · 1
2 = 125
Y étant une variable gaussienne centrée réduite, on a ensuite
P(250 − 10 ≤ X ≤ 250 + 10) = P(240 ≤ X ≤ 260)
( 240 − m
≈ P
≤ Y ≤ 260 − m )
σ
σ
( −10
= P
11, 18 ≤ Y ≤ 10 )
11, 18
= P(−0, 894 ≤ Y ≤ 0, 894)
= 2 · P(0 ≤ Y ≤ 0, 894)
= 2 · 0, 314
= 0, 628
Corrigé 92 En 25 journées de travail, 625 armoires sont produites; à chacune d’entre elles correspond
une variable de Bernoulli X i de paramètre p = 0, 95, prenant la valeur 1 si l’armoire est sans défaut, 0
sinon. Ces variables aléatoires sont indépendantes, leur somme a pour moyenne:
E( ∑ 625
i=1 X i) = 625 × 0, 95 = 593, 75
et pour variance: V ar( ∑ 625
i=1 X i) = ∑ 625
i=1 V ar(X i) = 625 × 0, 95 × 0, 05 = 29, 6875 .
En appliquant le Théorème Central Limite et en effectuant une correction de continuité, on obtient:
P {X 1 + ... + X 625 ≥ 600} = P {X 1 + ... + X 625 > 599}
= P {X 1 + ... + X 625 > 599, 5}
= P { X 1 + ... + X 625 − 593, 75 599, 5 − 593, 75
√ > √ }
29, 6875 29, 6875
∼= P {Z > 1, 0553},
où Z est une variable normale centrée réduite.
La lecture des tables donne ensuite: P {X 1 + ... + X 625 ≥ 600} ∼ = 0, 85.
Corrigé 93 a) Avec n mesures, l’intervalle de confiance à 90% pour m est:
[X n − σΦ α/2
√ n
; X n + σΦ α/2
√ n
]
(X n étant la moyenne arithmétique des n mesures).
Pour diminuer de moitié la longueur de cet intervalle de confiance à 90% pour m, il faut donc
quadrupler le nombre de mesures effectuées, autrement dit effectuer 75 mesures supplémentaires.
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