Exercices 2011 - STAT

) On ne peut donc pas rejeter l’hypothèse de non-respect de la norme de qualité de production.
Corrigé 97 a) On a pour Alain:
et pour Bernard:
puis:
V (y1,...,y n)(θ) = Π n i=1 f θ(y i )
{
1
= 2
θ n e −(P n
n i=1 yi)θ ( ∏ n
i=1 y2 i )θ2n , θ > 0
0, θ ≤ 0
V (z1,...,z m)(θ) = Π m i=1 P 2θ{z i }
{
e
=
−2mθ (2θ) z 1 +...+zm
z 1!...z m!
, θ > 0
0, θ ≤ 0
∀θ > 0, V (y1,...,y n)(θ) = Cte × exp
θ ↦→ 3n logθ − ( ∑ n
i=1 y i)θ atteint son maximum en
ˆθ(y 1 , ..., y n ) =
{
(−
}
n∑
y i )θ + 3n logθ ,
i=1
∑ 3n
n
i=1 y ,
i
qui est l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ pour Alain.
Enfin:
∀θ > 0, V (z1,...,z m)(θ) = Cte × exp {(z 1 + ... + z m )log 2θ − 2mθ}.
V (z1,...,z m)(.) atteint son maximum en
ˆθ(z 1 , ..., z m ) =
∑ m
i=1 z i
2m ,
qui est l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ pour Bernard.
b) Pour n = m, on a donc: ˆθ(y 1 , ..., y n ) = ˆθ(z 1 , ..., z m )
si et seulement si:
z 1 + ... + z n
=
2n
i.e. :
i=1
3n
y 1 + ... + y n
n∑ n∑
( y i ) × ( z i ) = 6n 2 .
Corrigé 98 a) Soient x 1 , ..., x 400 les données (≥ 0) de l’échantillon. Pour tout k > 0 :
V x1,...,x 400
(k) =
i=1
∏400
f k (x i )
i=1
k ↦→ 800 logk − ( ∑ x i )k atteint son maximum en
∏400
= k 800 ( x i )e −(P x i)k
i=1
{
= Cte exp 800 logk − ( ∑ }
x i )k ,
ˆk (x1,...,x 400) = 800 ∑
xi
= 2 x = 1.
b) La proportion de familles économisant moins de 1000 maravedis est donc:
ρ =
∫ 1
0
xe −x dx = 1 − 2 e ≃ 26%.
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