Exercices 2011 - STAT

) Soient: B n : ”n clients ont visité le supermarché” et A k : ”k produits ont été vendus”.
P(B n |A k ) =
P(A k |B n )P(B n )
∑ ∞
m=k P(A k|B m )P(B m )
Or:
∞∑
m=k
et:
C k m
Cn. k 1 1
2
.
=
k 2
.p n (1 − p)
∑ n−k ∞
m=k Ck m. 1 1
. .p
2 k 2 m (1 − p)
m−k
= Cn
k 1
∞∑
2 n+1pn−k (1 − p) × (
m=k
1
1 ∑ ∞
2 m+1 pm−k =
2 k+1 Cm+k k (p 2 )m
m=0
∞∑
Cm+kr k m = (1 − r) −(k+1) si 0 ≤ |r| < 1.
m=0
On obtient donc: P(B n |A k ) =
P(B n |A k ) =
C k n
C k n
C k m
1
1
2 n+1pn−k .
1
(1 − p 2 k+1 2 )−(k+1)
1
2 n+1pn−k .(2 − p) k+1 .
1
2 m+1pm−k (1 − p)) −1
Corrigé 52 Puisque: ∑ ∞
i=0 P {X = i} = 1 = c ∑ ∞
i=0 λi
i!
= ce λ nécéssairement: c = e −λ .
a) P {X = 0} = c λo
0!
= e −λ .
b) P {X > 2} = 1 − (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)) = 1 − e −λ (1 + λ + λ2
2 ) = ∑ e−λ ∞
i=3 λi
i!
c) E(X) = ∑ ∞ λi
i=0
i.(e−λ
i! ) = ∑ e−λ ∞ λ i
i=1 (i−1)! = ∑ λe−λ ∞
j=0 λj
j!
= λ,
E(X 2 ) =
∞∑
i=0
i 2 .(e −λλi
i! )
∑
∞
= λe −λ λ i−1
i
(i − 1)!
i=1
∑
∞
= λe −λ ((i − 1) + 1) λi−1
(i − 1)!
i=1
∞∑
= λe −λ λ j
(
j! ) + ∑
∞ λ i−1
λe−λ
(i − 2)!
j=0
= λ + λ 2 e −λ ∞ ∑
= λ + λ 2 ,
donc: V ar(X) = E(X 2 ) − (E(X)) 2 = λ .
Corrigé 53 a) X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, ..., n, et pour 0 ≤ k ≤ n on a: P {X = k} = C k np k (1 −
p) n−k .
b) Observons que: X = ∑ n
i=1 X i , où: X i = 1 si le résultat du ième jet est pile, 0 sinon, et que chaque
X i est une variable de Bernoulli de paramètre p .
Donc: E(X i ) = 0 × P {X i = 0} + 1 × P {X i = 1} = p , E(X) = ∑ n
i=1 E(X i) = np .
Comme les v.a. X i sont indépendantes (le résultat du 1er jet ne donne pas d’information sur le
résultat du 2ème), on a aussi:
n∑
V ar(X) = V ar(X i ),
et: V ar(X i ) = E(X 2 i ) − (E(X i) 2 ) = p − p 2 . Ainsi: V ar(X) = np(1 − p) .
k=0
i=1
λ k
k!
i=2
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