Exercices 2011 - STAT

1 CHF dans chaque tourné de la roulette. C’est à dire P k (X q ≤ 0) ≥ (1 − p) k . On en déduit
que
P k ((A q ) c ) ≥ (1 − p) k ≥ (1 − p) K
Alors, P k (A q ) ≤ 1 − (1 − p) K et r = max k P k (A q ) ≤ 1 − (1 −p) K < 1 (parce que p < 1/2). En
employant ce fait dans (8) et (9) on obtient que
P k (∩ ∞ m=1A m ) ≤ r n
où n > 0 est arbitraire. Prenant la limite n → ∞, la preuve est finie.
Corrigé 33 Soient RR, NN et RN respectivement les événements, “la carte choisie est entièrement
rouge”, “entièrement noire” et “bicolore”. Soit encore R l’événement, “la face apparente de la carte tirée
est rouge”. On aura
P(RN|R) =
=
= 1 3
P(R|RN)P(RN)
P(R|RR)P(RR) + P(R|RN)P(RN) + P(R|NN)P(NN)
1 · 1
1 1
2 3
3 + 1 1
2
3 + 0 · 1
3
Corrigé 34 Soit M l’événement “le patient est atteint”, B l’événement “le patient est en bonne santé”,
et + l’événement “le résultat du test est positif”. De la formule de Bayes on a
P(M|+) =
=
=
P(+|M)P(M)
P(+|M)P(M) + P(+|B)P(B)
99
100
99 1
100 1000
1
1000 + 2
100
99
2097 ≈ 0.0472
Ceci n’est pas un très bon résultat. Pour essayer de l’améliorer il faut répéter le test. Pour m ≤ n soit
(+) n−m (−) m l’événement “lors de n tests, n − m ont donné un résultat positif et m un résultat négatif”.
Alors, la probabilité qu’un client soit atteint sachant que son test a été fait n fois et que n −m ont donné
un résultat positif et m un résultat négatif, est
P(M|(+) n−m (−) m ) =
=
=
=
=
999
1000
P((+) n−m (−) m |M)P(M)
P((+) n−m (−) m |M)P(M) + P((+) n−m (−) m |B)P(B)
( 99
) n−m ( 1
( 99
100
) n−m ( 1
100
100
99 n−m
) m 1
100 1000
) m 1
1000 + ( 2
100
99 n−m + 2 n−m 98 m · 999
1
1 + 999 · 98 m (2/99) n−m
1
1 + 999 · (49 · 99) m (2/99) n
) n−m ( 98
100
) m 999
1000
De cette formule on peut conclure que par exemple P(M|(+) 2 ) ≈ 0.710 et P(M|(+) 3 ) ≈ 0.992.
Corrigé 35 Le prisonnier a demandé un nom de condamné, mais on ne sait pas quel nom le geôlier va
choisir si les deux autres prisonniers, B et C son condamnés. Si l’on veut décrire complètement la situation
en termes probabilistes, il faut dire comment s’effectue le choix du nom. En l’absence de toute autre
information le prisonnier doit faire une hypothèse, la plus plausible étant celle qui tient compte de son
ignorance totale: Si B et C sont condamnés, le geôlier choisira de nommer B avec la probabilité 1/2 et par
conséquent il nommera C avec la probabilité 1/2. La formalisation du problème est maintenant possible.
L’ensemble fondamental est Ω = {(x, y)} où x prend ses valeurs dans l’ensemble {(AB, BC, CA} (la paire
de prisonniers condamnés) et y prend ses valeurs dans {B, C} (le prisonnier nommé par le gardien). On
définit les variables aléatoires X et Y comme les applications coordonnées de Ω:
{
X(w) = x
Y (w)
= y
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