Exercices 2011 - STAT

X est donc poissonienne de paramètre pλ .
Ensuite, pour l entier ≥ 0 fixé:
P {Y = l} = ∑ n≥l
P {Y = l|Z = n}P {Z = n}
= ∑ n≥l
P {X = n − l|Z = n}P {Z = n}
= ∑ n≥l
C l n pn−l (1 − p) l e −λλn
n!
= e
−(1−p)λ((1 − p)λ)l
l!
,
Y est aussi poissonienne de paramètre (1 − p)λ . Enfin:
∀k, l , P {X = k et Y = l} = ∑ n≥0
P {X = k et Y = l|Z = n}P {Z = n}
X et Y sont bien indépendantes.
= P {X = k et Y = l|Z = k + l}P {Z = k + l}
= C k k+l pk (1 − p) l e −λλ( k + l)
l!
= e −pλ(pλ)k e
−(1−p)λ((1 − p)λ)l
k!
l!
,
Corrigé 58 a) f X (x) ≥ 0, −∞ < x < ∞ et
∫ ∞
∫
1
−∞ σ √ (x−m) 2
∞
√
1
2π e−1 2 σ 2 dx =
−∞ σ √ 2π e− 1 2
2πσ
y2
σdy = √ = 1, 2πσ
où on a fait le changement de variable y = (x − m)/σ.
b)
E(X) =
∫ ∞
−∞
∫
x
σ √ 1 (x−m) 2
∞
(σy + m)
2π e− 2 σ 2 dx =
−∞ σ √ 2π e−1 2 y2 σdy = 0 + m = m.
c)
∫ ∞
V ar(X) = E(X 2 ) − m 2 x 2
∫
=
−∞ σ √ 1 (x−m) 2
∞
2π e− 2 σ 2 dx − m 2 (σy + m) 2
=
−∞ σ √ 2π e−1 2 y2 σdy − m 2
∫ ∞
m 2 + 2σmy + (σy) 2
=
σ √ e − 1 2 y2 σdy − m 2 = m 2 + 0 + σ 2 − m 2 = σ 2 .
2π
−∞
Corrigé 59 a) f X (x) ≥ 0 pour −∞ < x < ∞ et
∫ ∞
0
λe −λx dx = −e −λx | ∞ 0 = 1, pour λ > 0.
V ar(X) =
E(X) =
∫ ∞
∫ ∞
b) La fonction de répartition de X, F X (x), est donnée par
F X (x) = P(X < x) =
0
0
λxe −λx dx = 1 λ ,
λx 2 e −λx dx − 1 λ 2 = . . . = 1 λ 2
∫ x
0
λe −λy dy = 1 − e −λx ;
P(X ≥ x + y|X ≥ y) =
P(X ≥ x + y)
P(X ≥ x)
= e−λ(x+y)
e −λy
= e −λx = 1 − F X (x) = P(X ≥ x).
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