Exercices 2011 - STAT

c) Trouver p K,k quand p = 1/2.
d) Montrer que, avec probabilité égale à 1, on quitte le casino.
Exercice 33 On considère 3 cartes à jouer de même forme. Cependant, les deux faces de la première
carte ont été colorées en noir, les deux faces de la deuxième carte en rouge tandis que la troisième porte
une face noire et l’autre rouge. On mélange les trois cartes au fond d’un chapeau, puis une carte tirée au
hasard en est extraite et placée au sol. Si la face apparente est rouge, quelle est la probabilité que l’autre
soit noire
Exercice 34 Pour dépister une maladie, on applique un test. Si le patient est effectivement atteint, le
test donne un résultat positif dans 99% des cas. Mais il se peut aussi que le résultat du test soit positif
alors que le consultant est en bonne santé, et ceci se produit dans 2% des cas. Sachant qu’en moyenne
un consultant sur 1000 est atteint de la maladie à dépister, calculer la probabilité pour qu’un client soit
atteint sachant que son test a été positif. Comment améliorer ce resultat
Exercice 35 Les Trois Prisonniers Trois prisonniers croupissent dans une prison, quelque part dans
un pays lointain. Deux d’entre eux ont été condamnés à mort et passeront par les armes le lendemain
matin, à l’aube comme le veut l’usage. Les prisonniers ne savent même pas lesquels d’entre eux seront
fusillés. Par contre le geôlier qui leur a appris la nouvelle connaît les deux victimes, mais il décide de ne
rien leur dire. Cependant, un des prisonniers (que nous appellerons A) s’adresse au gardien:
-
Écoute, geôlier, je sais que tu ne veux donner aucun renseignement, mais peut-être pourras-tu répondre
à une seule de mes questions
- Pas d’argent, pas de réponse, dit le gardien.
- Attend un peu, insiste le prisonnier, il s’agit d’une question telle que ta réponse ne peut me donner
aucune information ... Tu nous a déjà dit que deux d’entre nous allaient mourir. Parmi mes deux
collègues, au moins un va donc être fusillé demain.
- Beau raisonnement ...
- Au moins un, mais peut-être deux. Ce que tu ne veux pas me dire, c’est si c’est un seul ou les deux,
car cela me renseignerait immédiatement sur mon sort.
- Juste, je ne te le dirai pas !
- Par contre si tu me dis le nom d’un parmi eux qui va mourir, je n’ai aucune information, car je ne
saurais toujours pas si c’est celui-là tout seul qui va mourir, ou si tous les deux vont être fusillés.
Le gardien réfléchit un instant et dit :
- Oui, en effet, ça ne changerait rien pour toi.
- Alors, dis-moi le nom !
- D’accord. Je t’annonce que B va mourir.
- Merci ! Avant ton renseignement, j’avais deux chances sur trois de mourir. Mais maintenant tout se
passe entre C et moi puisque le sort de B est réglé. J’ai donc une chance sur deux d’être fusille !
Pouvez vous résoudre ce paradoxe
Indication: On peut supposer que si B et C vont mourir, alors le geôlier choisit de dire le nom de B avec
probabilité 1/2, et le nom de C avec probabilité 1/2.
Exercice 36 Pendant un concours à la télévision, le présentateur cache un prix derrière une porte (il
y a 3 portes: A, B et C). Il invite un concurrent à se présenter et à choisir l’une des trois portes, sans
l’ouvrir. A ce moment-là, le présentateur ouvre l’une des portes qui n’a pas été choisie par le concurrent,
en sachant que la voiture ne se trouve pas derrière. Ensuite, le présentateur offre au concurrent la
possibilité de changer la porte qu’il a choisie par l’autre que reste fermée. Quelle est le meilleur choix
pour le concurrent C’est à dire, est-ce que la probabilité de gagner en changeant de porte est plus grande
que la probabilité de gagner sans changer de porte
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